精品解析：2025年江西省九江市永修县一模数学试题

永修县2025年初中学业水平模拟考试 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 2. 据网络平台数据，截至3月15日影片《哪吒2》累计票房（含海外及预售票房）超150.19亿元，进入全球票房榜前五！将数据“150.19亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 砚台，亦称为研，是中国传统手工艺品之一，与笔、墨、纸合称中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图，这是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，交的延长线于点，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：x2-16= ________________． 8. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长________．（填“大”或“小”） 9. 如图，在Rt中，，，，则的值为_______． 10. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 11. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有一个“以碗知僧”的问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意：山上有一座古寺叫都来寺．在这座寺庙里，位和尚合吃一碗饭，位和尚合分一碗汤，一共用了只碗．设都来寺里有位和尚，则可列方程：______． 12. 如图，在中，点，，，是线段的中点，，分别是边，上的动点，当以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，点的坐标为______． 三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）解不等式组： 14. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中过点作的中线． （2）在图2中作的平分线． 15. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的三个小球，小球上分别标有数字1，2，3． （1）随机从布袋中摸出一个小球，则摸出的小球上所标的数字为偶数的概率为______． （2）小明先从布袋中随机摸出一个小球，不放回，再从布袋中随机摸出另一个小球．请用列表法或画树状图法，求两次摸出的小球上的数字是相邻整数的概率． 16. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，求的面积． 17. 图1是某路灯的实物图，图2是其平面示意图．某数学项目学习小组要测量某路灯的顶部到地面的距离．已知该小组测得，，．根据以上测量结果，请你帮助该小组计算路灯顶部到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某工厂生产型号和型号两种扎染图案挂件，每天只能生产一种型号的挂件．如果生产2天型号挂件和3天型号挂件，一共可以生产2100个；如果生产1天型号挂件和2天型号挂件，一共可以生产1300个． （1）每天能生产型号挂件或型号挂件多少个？ （2）工厂接到一个旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个挂件，在完成订单任务的前提下，请问至少要安排生产型号挂件多少天？ 19. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π） 20. 如图1，某款抛物线型帐篷底面的宽度为，顶部高度h为，以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）图2为一张椅子摆入这款帐篷后的简易视图，椅子高度为，宽度为．若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放这种椅子的数量． 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2024年11月20日，教育部印发《教育部办公厅关于加强中小学人工智能教育的通知》，通知要求通过构建系统化的课程体系，让中小学生感知和体验人工智能技术，要在日常教学中持续融入人工智能教育元素．某校为了解八年级学生对人工智能技术的掌握情况，从八年级500名学生中随机抽取部分学生进行人工智能技术的应用测试．依据评价标准给出相应的成绩，并将他们所取得的成绩分组（满分：100分，：；：；：；：；：）、整理，部分等级信息如下． 在：这一组的成绩是70，70，70，71，71，72，73，74，74，75，77，78，79，79． 根据以上信息，解答下列问题． （1）补全条形统计图．（图形上标上数字） （2）本次调查数据的中位数为______． （3）通过这次测试后的成绩分析，认为80分以上（包含80分）的学生为优秀，请你通过计算估计八年级学生中对人工智能技术的应用测试成绩为优秀的学生有多少人？ 22. 课本再现 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：，分别是的边，的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）①如图2，在中，，，分别是，，的中点．以这些点（，，，，，）为顶点，在图中能画出 个平行四边形． ②如图3，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 六、解答题（本题共12分） 23. 综合与探究 【问题背景】 如图1，在矩形中，对角线与交于点O，且． 【问题探究】 （1）求证：为等边三角形． （2）如图2，将沿方向平移，得到，且交于点交于点N．在平移过程中，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （3）如图3，继续平移，使得顶点E与点O重合，然后将绕点顺时针旋转，此时边交于点K，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永修县2025年初中学业水平模拟考试 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是． 故选D． 2. 据网络平台数据，截至3月15日影片《哪吒2》累计票房（含海外及预售票房）超150.19亿元，进入全球票房榜前五！将数据“150.19亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：150.19亿． 故选B． 3. 砚台，亦称为研，是中国传统手工艺品之一，与笔、墨、纸合称中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图，这是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，会画简单几何体的俯视图是解题的关键． 根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，可得如图： 故选：C． 4. 如图，，交的延长线于点，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选A． 5. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数图像所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图像所经过的象限，然后再判断即可． 【详解】解：当，正比例函数图像经过第一、三象限，则一次函数图像经过第一、三、四象限，故A选项错误，选项错误； 当，正比例函数图像经过第二、四象限，则一次函数图像经过第一、二、三象限，选项正确、C选项错误． 6. 据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得第二根绳上共有个，结合一个结表示5个，故有(个)，解答即可． 本题考查了计算方法，正确理解数位的内涵是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得第二根绳上共有个， 由一个结表示5个， 故有(个)， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：x2-16= ________________． 【答案】（x-4）（x+4） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行分解即可 【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4） 故答案为（x-4）（x+4） 8. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长________．（填“大”或“小”） 【答案】小 【解析】 【分析】根据题意，五边形的周长为，六边形的周长为，作差，结合三角形两边之和大于第三边，解答即可． 本题考查了图形的周长，三角形三边关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得：五边形的周长为，六边形的周长为， 故 ， 由，得， 得， 该六边形的周长一定比原五边形的周长小． 故答案为：小． 9. 如图，在Rt中，，，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为： 10. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式，即可列出关于的不等式，求出的取值范围即可．对于一元二次方程“（a、b、c是常数，且）”中，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 11. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有一个“以碗知僧”的问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意：山上有一座古寺叫都来寺．在这座寺庙里，位和尚合吃一碗饭，位和尚合分一碗汤，一共用了只碗．设都来寺里有位和尚，则可列方程：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设都来寺里有位和尚，由题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设都来寺里有位和尚， 由题意得：， 故答案为：． 12. 如图，在中，点，，，是线段的中点，，分别是边，上的动点，当以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形综合，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．先求出点，再求出直线的函数解析式是，设点，．分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：点，，是线段的中点， 点， 设直线的解析式为：，把、代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式是， 设点，． 分三种情况： ①当时，如图1．过点作，交于点，过点作，交于点， 点，，，， ∵，， ∴， ∴， ，， ∴， 解得， 点的坐标为； ②当时，如图2．过点作交于点，过点作，交于点， 点，， 同理，可得， ，， 解得 点的坐标为； ③当时，如图3．过点作，，， 点，． 同理，可得， ， 解得 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集． （1）先代入特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 14. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中过点作的中线． （2）在图2中作的平分线． 【答案】（1） 如图1，即为所求． （2） 如图2，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线、角平分线、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握三角形中线、角平分线、勾股定理的性质，从而完成求解． （1）根据题意，结合矩形的性质，首先找到的中点，连接即可完成作图； （2）在上，从点起往下数格得点，使，结合网格的特点找到的中点，连接交于点，即为的角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的三个小球，小球上分别标有数字1，2，3． （1）随机从布袋中摸出一个小球，则摸出的小球上所标的数字为偶数的概率为______． （2）小明先从布袋中随机摸出一个小球，不放回，再从布袋中随机摸出另一个小球．请用列表法或画树状图法，求两次摸出的小球上的数字是相邻整数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的小球上的数字是相邻整数的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 ∵共有质地、大小均相同的三个小球，小球上所标的数字为偶数的有1个 ∴随机从布袋中摸出一个小球，则摸出的小球上所标的数字为偶数的概率为； 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下． 由图可知，共有6种等可能的结果，其中是相邻整数的结果有4种， 两次摸出的小球上的数字是相邻整数的概率为． 16. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，求的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点代入可求得a值，把点代入解析式可求得k值，即可求得反比例函数的解析式． （2）先求出点，然后根据解答即可． 【小问1详解】 将点代入， 得， 点． 将点代入， 得， 该反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 当时，， 点， ， ． 17. 图1是某路灯的实物图，图2是其平面示意图．某数学项目学习小组要测量某路灯的顶部到地面的距离．已知该小组测得，，．根据以上测量结果，请你帮助该小组计算路灯顶部到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，过点作于点，则，．先求出，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，． 在中，， ， ． 答：路灯顶部到地面的距离约为． 四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某工厂生产型号和型号两种扎染图案挂件，每天只能生产一种型号的挂件．如果生产2天型号挂件和3天型号挂件，一共可以生产2100个；如果生产1天型号挂件和2天型号挂件，一共可以生产1300个． （1）每天能生产型号挂件或型号挂件多少个？ （2）工厂接到一个旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个挂件，在完成订单任务的前提下，请问至少要安排生产型号挂件多少天？ 【答案】（1）每天能生产型号挂件300个，或型号挂件500个 （2）4天 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设该工厂每天能生产型号挂件个，或型号挂件个．根据如果生产2天型号挂件和3天型号挂件，一共可以生产2100个；如果生产1天型号挂件和2天型号挂件，一共可以生产1300个，再建立方程组解题即可； （2）设应安排生产型号挂件天，则生产型号挂件天．根据用10天时间至少交付3800个挂件，再建立不等式解题即可. 【小问1详解】 解：设该工厂每天能生产型号挂件个，或型号挂件个． 根据题意，得， 解得， 答：该工厂每天能生产型号挂件300个，或型号挂件500个． 【小问2详解】 解：设应安排生产型号挂件天，则生产型号挂件天． 根据题意，得， 解得． 答：至少要安排生产型号挂件4天． 19. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π） 【答案】（1）证明：如图连接OD． ∵四边形OBEC是平行四边形， ∴OC∥BE， ∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠DOC=∠AOC， 在△COD和△COA中， ， ∴△COD≌△COA， ∴∠CAO=∠CDO=90°， ∴CF⊥OD， ∴CF是⊙O的切线． （2）S阴=4﹣． 【解析】 【详解】试题分析：（1） 根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，证明 ,利用全等三角形“SAS”判定定理，证明 ，得到OD⊥CD，所以CF为⊙O的切线. （2） 利用三角函数和角度的关系，计算出OA，OC的长度和∠DOA的度数，分别求出四边形OACD和扇形OAD的面积，相减即可得到阴影部分的面积. 试题解析：（1）略 （2）解：∵∠F=30°，∠ODF=90°， ∴∠AOD=120°， ∵OD=OB， ∵∠DOC=∠AOC=60°， ∵EB=4，∴OD=2，CD=， ∴ . 20. 如图1，某款抛物线型帐篷底面的宽度为，顶部高度h为，以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）图2为一张椅子摆入这款帐篷后的简易视图，椅子高度为，宽度为．若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放这种椅子的数量． 【答案】（1） （2）6把 【解析】 【分析】（1）由题意，可得点，，顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可． （2）先将代入，计算出靠近两头的最远的两把椅子的自变量值，计算出安置椅子的有效距离，设最多可放置x把椅子，根据题意，应小于等于有效距离，取整数解解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值，求不等式的整数解，熟练掌握待定系数法，求不等式的整数解是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意，可得点，，顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：椅子的高度，宽度， 将代入， 得， 解得，， ， 设最多可放置x把椅子，根据题意，， 解得， 根据椅子把数是正整数， 最多可摆放6把这种椅子． 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2024年11月20日，教育部印发《教育部办公厅关于加强中小学人工智能教育的通知》，通知要求通过构建系统化的课程体系，让中小学生感知和体验人工智能技术，要在日常教学中持续融入人工智能教育元素．某校为了解八年级学生对人工智能技术的掌握情况，从八年级500名学生中随机抽取部分学生进行人工智能技术的应用测试．依据评价标准给出相应的成绩，并将他们所取得的成绩分组（满分：100分，：；：；：；：；：）、整理，部分等级信息如下． 在：这一组的成绩是70，70，70，71，71，72，73，74，74，75，77，78，79，79． 根据以上信息，解答下列问题． （1）补全条形统计图．（图形上标上数字） （2）本次调查数据的中位数为______． （3）通过这次测试后的成绩分析，认为80分以上（包含80分）的学生为优秀，请你通过计算估计八年级学生中对人工智能技术的应用测试成绩为优秀的学生有多少人？ 【答案】（1） 补全条形统计图如下． （2）70.5 （3）140人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图恶化扇形统计图综合，中位数，以及用样本估计总体． （1）先根据B的人数和B的百分比求出样本容量，再求出C的人数，然后补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用500乘以A，B两组人数所占的比例即可． 【小问1详解】 人， 由题意可知，C组有14人， E组有：人； 【小问2详解】 ∵从大到小排序，排在第25和第26位的是71和70， ∴中位数为． 故答案为：70.5； 【小问3详解】 （人）． 答：估计八年级学生中对人工智能技术的应用测试成绩为优秀的学生有140人． 22. 课本再现 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：，分别是的边，的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）①如图2，在中，，，分别是，，的中点．以这些点（，，，，，）为顶点，在图中能画出 个平行四边形． ②如图3，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：如图1，延长到点，使，连接，，． ，， 四边形是平行四边形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形， ，且． 又， ，且； （2）①3； ②证明：如图2，连接． ，，，分别是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（）延长到点，使，连接，，．证明四边形是平行四边形，可得，且，再证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得结论； （）①连接，由三角形中位线的性质得，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论； ②连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证． 【详解】解：（1）略 （2）①如图，连接， ∵，，分别是，，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，都是平行四边形． 故答案为：3； ②略 六、解答题（本题共12分） 23. 综合与探究 【问题背景】 如图1，在矩形中，对角线与交于点O，且． 【问题探究】 （1）求证：为等边三角形． （2）如图2，将沿方向平移，得到，且交于点交于点N．在平移过程中，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （3）如图3，继续平移，使得顶点E与点O重合，然后将绕点顺时针旋转，此时边交于点K，直接写出此时的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 又， 为等边三角形； （2）菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据特殊角的正切值得到，即可证明结论； （2）由矩形的性质得到，进而得到，根据平移的性质可证四边形是平行四边形，再证明，求出，，进而得到，即四边形是菱形； （3）利用旋转和三角形内角和定理，得出平分，再结合角平分线的性质，得到，，设，利用勾股定理，得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中， ，， ， ， ， 由平移的性质可知，，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ，， ， 平行四边形是菱形； （3）解：如图，是平移后顶点E与点O重合时的位置，令与的交点为，过点作，过点作， 由旋转的性质可得，，，，，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ， 在中，，， ，， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，平移的性质，角平分线的性质，二次根式的运算等知识，掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $