精品解析：云南省楚雄第一中学等校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册（除去导数综合应用）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的定义和规律求解即可. 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 2. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】. 3. 在正项等比数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 27 【答案】A 【解析】 【详解】由题意及等比数列的性质可得，又是正项等比数列，则，故. 4. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为①，则②，由①②得到， 则数列是周期为2的周期数列，又，故. 5. 已知为函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，再代入求值即可． 【详解】由，得， 所以，解得. 6. 已知正四棱柱的体积为1000，则其所有棱长的和的最小值为（ ） A. 120 B. C. 144 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合棱柱的体积列出棱长的和的关系式，根据导数与最值的关系求解即可. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，即， 正四棱柱的棱长之和，定义域为， 则，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，取到极小值，也是最小值， 即正四棱柱的所有棱长的和的最小值为120. 7. 已知为等比数列的前项和，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合题意计算可得. 【详解】因为，可知， 由，得， 由，得，所以， 所以. 故选：D. 8. 若函数在区间上有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导确定函数单调性，结合极值和端点处函数值的符号即可求解. 【详解】由，得， 令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以时，取到极大值， 又在区间上有2个零点， 需满足且， 解得， 即的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由导数的四则运算逐项判断即可. 【详解】由导数的运算公式，得： ， AD错误，BC正确． 10. 在某次足球比赛中，运动员甲带球突破，其运动路线可视为直线运动，且位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则（ ） A. 在这段时间内，运动员甲的平均速度为 B. 在这段时间内，运动员甲的平均速度为 C. 运动员甲在时的瞬时速度为 D. 运动员甲在时的瞬时速度为 【答案】BC 【解析】 【详解】已知， 在这段时间内，运动员甲的平均速度如下， 为，故A错误； 在这段时间内，运动员甲的平均速度如下， 为，故B正确； 由，得， 运动员甲在时的瞬时速度为，故C正确； 运动员甲在时的瞬时速度为，故D错误． 11. 如图，在纸片中，，，且的面积为32，取边的中点，在该纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，以此类推得到纸片，设的周长为，面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题中定义结合累加法求通项公式、等比数列前项和公式以及图形的变化情况逐项分析即可. 【详解】对于A，在纸片中，，，且的面积为32， 边的中点为，所以且， 由题意，得，， 比多了两条边，，少了线段， 又是等边三角形，所以， 可得，故A正确； 对于B，由，，， 得，所以， 当时，， ， …， ， 以上各式相加，得， 所以， 又满足上式，所以，故B正确； 对于C，比少了一个以为边的等边三角形， 所以，故C错误； 对于D，由，得，， 当时，， ， …， ， 以上各式相加得： ， 所以，又满足上式， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前项和，则________． 【答案】 【解析】 【详解】已知， ． 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为在上恒成立，结合，可得，利用二次函数性质可求结论. 【详解】由，得， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即，又在上的最小值为， 所以，即实数的取值范围是． 14. 已知数列的通项公式为，若满足的正整数恰有2个，则的可能取值为________. 【答案】100或102或106 【解析】 【分析】对分类讨论，当，通过等差数列求和公式得出，结合韦达定理计算即可. 【详解】当时，， 解得，此时等式成立的每个值，都只有一个值，不符合题意； 当时， ， 即，若整数恰有2个，则，解得， 设该方程有两实数根，，则，， 若，显然不合题意，则，则， 若，，此时，解得，满足，符合题意； 若，，此时，解得，满足，符合题意； 若，，此时，解得，满足，符合题意， 故可取到的值有106或102或100. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导即可代入求解. （2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解. 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 由，得， 所以曲线在处的切线方程为，即 16. 已知数列是等差数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，进而列方程组求解即可； （2）根据数列的正负性求出最值. 【小问1详解】 设数列的公差为，则，得，则. 【小问2详解】 得； 得， 故当时有最小值，为. 17. 在数列中，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)利用等差数列的定义即可证明； (2)由（1）先写出数列的通项，即得数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以数列是公差为1的等差数列. 【小问2详解】 因为数列是公差为1的等差数列，，所以， 所以于是 设数列的前项和为， 则. 18. 已知函数的极小值为. （1）求的值； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得， 又，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以有极小值，解得. 【小问2详解】 由，，得， 又，所以， 因为对恒成立，所以，. 令，，则， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以有极大值，也是最大值，即. 所以，即的取值范围是. 19. 设数列的前项和为，且，数列满足，其中. （1）证明为等差数列，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为； （3）求使不等式，对任意正整数都成立的最大实数的值. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数列递推式可得，整理变形结合等差数列定义即可证明结论，并求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法即可求得答案； （3）将原不等式化为，即可分离参数，继而构造函数，判断其单调性，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即可求得答案. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，， 即，即是以为首项，公差为1的等差数列， 故 【小问2详解】 由（1）可得， 故， 故， 则 ， 故； 【小问3详解】 ，则， 即， 即对任意正整数都成立， 令， 则， 故， 即随着n的增大而增大， 故，即， 即实数的最大值为. 【点睛】关键点睛：第三问根据数列不等式恒成立问题求解参数的最值问题时，要利用分离参数法推得对任意正整数都成立，之后的关键就在于构造函数，并判断该函数的单调性，从而利用最值求得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册（除去导数综合应用）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 3. 在正项等比数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 27 4. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 已知为函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱柱的体积为1000，则其所有棱长的和的最小值为（ ） A. 120 B. C. 144 D. 7. 已知为等比数列的前项和，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 8. 若函数在区间上有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在某次足球比赛中，运动员甲带球突破，其运动路线可视为直线运动，且位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则（ ） A. 在这段时间内，运动员甲的平均速度为 B. 在这段时间内，运动员甲的平均速度为 C. 运动员甲在时的瞬时速度为 D. 运动员甲在时的瞬时速度为 11. 如图，在纸片中，，，且的面积为32，取边的中点，在该纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，以此类推得到纸片，设的周长为，面积为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前项和，则________． 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________． 14. 已知数列的通项公式为，若满足的正整数恰有2个，则的可能取值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程. 16. 已知数列是等差数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值. 17. 在数列中，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知函数的极小值为. （1）求的值； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 19. 设数列的前项和为，且，数列满足，其中. （1）证明为等差数列，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为； （3）求使不等式，对任意正整数都成立的最大实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $