期中解答题突破训练2025-2026学年北京版数学八年级下册

期中解答题突破训练2025-2026学年北京版八年级下册 板块一：一次函数 1.已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值． 2.已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式． 3.在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 4.如图，已知一次函数与的图象交于点． (1)求a，k的值； (2)根据图象，关于x的不等式的解集为______； (3)结合两个一次函数图象与x轴的交点坐标，求不等式组的解集． 5.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为18． (1)求一次函数的解析式； (2)点C在直线上，且，求点C的坐标． 6．乐乐从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的文具店，买到文具后继续骑车去学校．如图是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的关系图．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）乐乐在文具店停留了　 　分钟，文具店到学校的距离是　 　米； （2）在整个上学途中，哪个时间段乐乐骑车速度最快？最快的速度是多少？ （3）如果乐乐不买文具，以往常的速度去学校，需要多长时间？ 7.12辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如下表： 甲型号大客车 乙型号大客车 满座载客量（人/辆） 55 35 租车费用（元/辆） 1200 800 （1）若租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？ （2）设租用甲型号大客车x辆，租车总费用为y元． ①求出y（元）与x（辆）的函数关系式，并求出x的取值范围； ②当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？ 8．如图， 直线交轴于点，交轴于点， (1)求直线 的解析式； (2)在坐标轴上是否存在点，使得 是直角三角形? 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 板块二：四边形 1.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 2.已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE． 求证：（1）△ABF≌△CDE． （2）四边形AECF是平行四边形． 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，若四边形AEBO是菱形，求证：四边形ABCD是矩形． ． 4.如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 5.如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 6.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长． 7.如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，求的度数． 8.已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若正方形的边长为，，求正方形的边长． 板块三：一元二次方程 1．按要求解下列方程： (1) x2﹣8x+1＝0（用配方法）； (2) 3x2﹣5x+1＝0（用公式法）． 2．解方程： (1) (2) 3.已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 4.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 5.某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元． （1）求二月份的销售额； （2）求三、四月份销售额的平均增长率． 6.如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少m？ 7.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，通过调查发现，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．为了扩大销售量，增加利润，超市准备适当降价销售． （1）若将这种饮料每箱降价x元，则每天的销售量是 　 　箱（用含x的代数式表示） （2）如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？ 【答案】 期中解答题突破训练2025-2026学年北京版八年级下册 板块一：一次函数 1.已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值． 【答案】（1）y＝2x； （2）a＝． 【解答】解：（1）设y＝kx（k≠0）， 当x＝2，y＝4时，则4＝2k， 即k＝2， y与x之间的函数关系式为：y＝2x； （2）∵点（a，3）在这个函数的图象上， ∴3＝2a， ∴a＝． 2.已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式． 【答案】解：设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3）， 则y＝y1+y2＝k1x+k2（x﹣3）， 由题意得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝4x﹣2（x﹣3）， 即y＝2x+6， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x+6． 3.在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【详解】（1）解：一次函数的图象如图： 令，解得，令，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴平移3个单位长度得，即或． 4.如图，已知一次函数与的图象交于点． (1)求a，k的值； (2)根据图象，关于x的不等式的解集为______； (3)结合两个一次函数图象与x轴的交点坐标，求不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， 把代入得，， ∴， ∵一次函数的图象过点， 把代入得，， 解得； （2）解：由图可得，x的不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入得，， 解得， ∴一次函数与x轴交于点， 由（1）可得，，即一次函数， 把代入得，， 解得， ∴一次函数与x轴的交点为， 由图象可得，不等式组的解集为． 5.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为18． (1)求一次函数的解析式； (2)点C在直线上，且，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)（12，18）或（-12，-6） 【详解】（1）解：令x=0，则y=b，令y=0则x=-b， ∴点A（-b，0），b（0，b）， ∵b＞0， ∴OB=b，OA=b， ∵的面积为18， ∴， 解得：b=6或-6（舍去）， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 设点C的横坐标为m， ∴，即， 解得：， ∵点C在直线上， 当时，； 当时，； ∴点C的坐标为（12，18）或（-12，-6）． 6．乐乐从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的文具店，买到文具后继续骑车去学校．如图是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的关系图．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）乐乐在文具店停留了　 　分钟，文具店到学校的距离是　 　米； （2）在整个上学途中，哪个时间段乐乐骑车速度最快？最快的速度是多少？ （3）如果乐乐不买文具，以往常的速度去学校，需要多长时间？ 【答案】解：（1）由图象可知，乐乐在文具店停留了12-8 =4(分钟)， 文具店到学校的距离是1500- 600= 900(米)， 故答案为：4，900； （2）根据图象，可知第12～14分钟这一时间段的线段最陡， 所以乐乐在第12～14分钟这一时间段的骑车速度最快， 此时速度为：（1500 —600）÷ （14-12）= 450（米/分）， 答：在整个上学途中，第12～14分钟这一时间段的骑车速度最快，最快速度为450米/分； （3）乐乐往常的速度为：1200 ÷6 =200(米/分)， 去学校需要花费的时间为：1500 ÷200= 7.5(分)； 答：乐乐不买文具，以往常的速度去学校，需要花费7.5分钟. 7.12辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如下表： 甲型号大客车 乙型号大客车 满座载客量（人/辆） 55 35 租车费用（元/辆） 1200 800 （1）若租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？ （2）设租用甲型号大客车x辆，租车总费用为y元． ①求出y（元）与x（辆）的函数关系式，并求出x的取值范围； ②当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）解：设租用甲型号的大客车x辆，则租用甲型号的大客车辆， 依题意得， 解得， ， 答：租用甲型号的大客车8辆，租用甲型号的大客车4辆 （2）解：①设租用甲型号的大客车x辆，则租用甲型号的大客车辆， 依题意得， ，解得， ∴； ②∵， ∴当时，y有最小值，最小值为12800， ， 答：租用甲型号的大客车8辆，租用甲型号的大客车4辆时，费用最少，为12800元． 8．如图， 直线交轴于点，交轴于点， (1)求直线 的解析式； (2)在坐标轴上是否存在点，使得 是直角三角形? 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标、和 【详解】（1）解：直线交轴于点，交轴于点， 设直线：，将、代入得 ，解得， 直线 的解析式； （2）解：存在， 根据题意，分三种情况讨论：①；②；③； 当时，如图所示： 点的坐标是； 当时，如图所示： 设， 在中，，则， 在中，，则， 由等面积法可知，即，则，解得，故； 当时，如图所示： 设， 在中，，则， 在中，，则， 由等面积法可知，即，则，解得，故； 综上所述，点的坐标、和． 板块二：四边形 1.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角， ∴∠EOB＝∠FOD， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（ASA）； ∴OE＝OF， ∵AE＝CF， ∴OA＝OC， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 2.已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE． 求证：（1）△ABF≌△CDE． （2）四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）见解析过程； （2）见解析过程． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（ASA）； （2）∵△ABF≌△CDE， ∴AF＝CE，BF＝DE， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，若四边形AEBO是菱形，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝AC，OB＝BD， ∵四边形AEBO是菱形， ∴OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． 4.如图，点E为的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 5.如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 6.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长． 【答案】（1） 略（2）10 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）解：∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°， ∴∠BFC＝90°， 在Rt△BCF中，CF＝6，BF＝8， ∴BC＝＝＝10， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵AB∥DC， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF， ∵AD＝BC， ∴DF＝BC， ∴DF＝10． 7.如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴ 8.已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)正方形的边长为 【详解】（1）证明：如图，作于，于， 得矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）解：正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 连接， ， ， 正方形的边长为． 板块三：一元二次方程 1．按要求解下列方程： (1) x2﹣8x+1＝0（用配方法）； (2) 3x2﹣5x+1＝0（用公式法）． 【答案】（1）解：x2﹣8x+1＝0， 移项得：x2﹣8x＝-1 配方得：x2﹣8x+16＝15， 即：（x﹣4）2＝15， ∴x﹣4＝±， ∴x1＝4+，x2＝4﹣； （2）解：a＝3，b＝﹣5，c＝1， ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝25﹣12＝13＞0， ∴x＝ ＝， ∴x1＝，x2＝ 2．解方程： (1) (2) 【答案】（1）解： 移项，得 ， 提公因式，得 ， ， 或， ，； （2）解： ， 或， ，． 3.已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）证明见解析 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 4.已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根． （2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0， 解得：x1＝m+3，x2＝m﹣3． ∵x1+x2＝6， ∴2m＝6， 5.某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元． （1）求二月份的销售额； （2）求三、四月份销售额的平均增长率． 【答案】解：（1）125×（1﹣20%）＝125×80%＝100（万元）． 答：二月份的销售额为100万元． （2）设三、四月份销售额的平均增长率为x， 依题意得：100（1+x）2＝144， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：三、四月份销售额的平均增长率为20%． 6.如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少m？ 【答案】解：设道路的宽应为x米， 由题意得，． 整理得： 解得x=1或x=19． 经检验：不符合题意，舍去，取 答：道路的宽应设计为1米． 7.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，通过调查发现，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．为了扩大销售量，增加利润，超市准备适当降价销售． （1）若将这种饮料每箱降价x元，则每天的销售量是 　 　箱（用含x的代数式表示） （2）如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？ 【答案】解：（1）设这种饮料每箱降价x元，则每天的销售量为100+2x， 故答案为：（100+2x）； （2）根据题意得：（120﹣x）（100+2x）＝14000， 整理得：﹣2x2+140x+12000＝14000， 解得x1＝20，x2＝50， ∵为了扩大销售量， ∴x＝50． 答：每箱应降价50元． 学科网（北京）股份有限公司 $