精品解析：上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷

2025学年第二学期学习能力诊断卷 高三数学试卷 2026.4 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名､考号等相关信息. 2.所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分. 3.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔､水笔或圆珠笔作答非选择题. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果， 1. 不等式的解集为__________. 2. 函数的零点是__________. 3. 计算：________． 4. 若函数在处的切线方程为，则__________. 5. 若幂函数在区间 上是严格减函数，则实数 的取值范围是________. 6. 若，则 ______. 7. 若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 8. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则 __________. 9. 已知实数满足，则的方差的最大值为__________. 10. 设 是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 11. 已知复数满足，记满足的复数 组成的集合为 .若且，则的取值范围是__________. 12. 如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为 的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 15. 设，函数在区间上没有最大值和最小值，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 设. 定义点的相伴集合为且，其中 为正实数. 给出以下两个命题： ①若 ，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数 及任意，集合所对应平面图形与抛物线 均无公共点，则. 则正确的选项是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤； 17. 如图，在四棱锥中， 为等边三角形，底面 为直角梯形， ， . （1）求证： ； （2）若四棱锥的体积为，求直线 与平面所成角的大小. 18. 为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房､体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点､街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（岁且岁）和中老年组（岁），从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 社区公共运动场 50 合计 80 170 （1）请补充列联表，并根据表中数据判断能否有 的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关； （2）用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量 表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求 的分布和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数，其中且. （1）设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数 ，使得函数为奇函数，说明理由； （2）设.若关于 的方程的解集为单元素集合，求正数 的值. 20. 已知无穷数列为严格增数列，且 .双曲线的方程为为双曲线上两个不同的动点，其中在双曲线的右支上. （1）若 ，求双曲线的渐近线方程和焦点坐标； （2）若 ，且点为线段的中点，求实数 的取值范围； （3）已知直线过双曲线的右顶点.若在双曲线的右支上，则称弦为双曲线的“同支弦”，否则称其为双曲线的“异支弦”.是否存在等差数列，使得对于任意正整数 ，双曲线“同支弦”弦长的最小值均大于双曲线“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数与函数的定义域均为 ，且在 上的导函数分别为和.若存在常数 ，使得对任意实数恒成立，则称是的“ 调整函数”，并称 为调整系数. （1）设 .求证：是的“2-调整函数”； （2）设 .若存在实数，使得是的“ 调整函数”，求调整系数 的取值范围； （3）已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合 ，函数的值域记作集合 .若 ，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期学习能力诊断卷 高三数学试卷 2026.4 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名､考号等相关信息. 2.所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分. 3.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔､水笔或圆珠笔作答非选择题. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果， 1. 不等式的解集为__________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以，即 ，所以解集为 2. 函数的零点是__________. 【答案】0 【解析】 【详解】令，即，解得 ， 所以函数的零点是0. 3. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案. 【详解】. 故答案为： . 4. 若函数在处的切线方程为，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】根据导数的定义，函数在处的导数为：， 根据导数的几何意义，就是函数在该点处切线的斜率， 因为在处的切线方程为，所以切线斜率为 ， 所以. 5. 若幂函数在区间 上是严格减函数，则实数 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的性质进行求解即可. 【详解】因为幂函数在区间 上是严格减函数， 所以 ， 故答案为： 6. 若，则 ______. 【答案】5 【解析】 【详解】由， 则. 7. 若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于 的等式，即可得解. 【详解】根据二项式定理，其展开式的第项通项为： ， 当时，第5项为为常数， 则， 解得：. 8. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则 __________. 【答案】 【解析】 【详解】因为在方向上的投影向量是，且，所以 9. 已知实数满足，则的方差的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】设分别对应，（）. 则， 所以的方差为： ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且. 所以当 或 时，该组数据的方差相等，且取得最大值，为. 所以该组数据方差的最大值为：. 10. 设 是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用对立事件的概率公式，以及全概率公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得，且， 则，可得， 即，可得. 11. 已知复数满足，记满足的复数 组成的集合为 .若且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先对已知条件进行化简，得出的值，再根据确定集合 中元素的轨迹，最后分析且时的取值范围. 【详解】，. 设，则，即，，. 已知，根据复数模的几何意义，表示复数 所对应的点到复数所对应的点的距离， 集合 中的元素 对应的点的轨迹是以为圆心，半径分别在 范围内的圆环上的点. 题干要求对都满足，因此 是两个圆环的交集： 两个圆环分别以为圆心，内半径 ，外半径 ， 建立如图所示的坐标系： 是非空闭区域，当都在 处时，最小距离可取到 ， 中最远的两点距离是两个外圆的交点距离， 因为两个外圆半径都是 ，圆心距 ， 由勾股定理可得两交点距离为： 因此∣的取值范围是 12. 如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为 的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 【答案】 【解析】 【详解】 作垂直于无人机航线与平面 的平面，与无人机航线交于点A,与平面 交于直线BC， 线段BC的长为农药条带的宽度，BH为水平线 作于D，于H,由坡角为 易得， 由题意得, 则，， 所以， ， 因为，所以，， . 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】等价于，等价于， 可以推出，但无法推出，因为还存在这种可能性，所以“”是“”的充分不必要条件. 14. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知： 的对称轴为，的对称轴为 ，因此； 曲线更矮胖，因此​，故选项A、B错误；  由正态分布的对称性：，，C正确；  ，而，所以，因此，D错误 15. 设，函数在区间上没有最大值和最小值，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 由， . 因为函数在上没有最大值和最小值， 所以函数的半个周期的区间长度不小于，即 . 结合正弦函数性质，则有或， 解得或. 即 的取值范围为：. 16. 设. 定义点的相伴集合为且，其中 为正实数. 给出以下两个命题： ①若 ，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数 及任意，集合所对应平面图形与抛物线 均无公共点，则. 则正确的选项是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，先判断出相伴集合的对应平面图形为正方形，即可得到面积；对于②，根据无交点的限制得出正方形的点应满足，然后对不同的自变量范围分类讨论，综合得到 的范围，进而得到的范围. 【详解】根据定义点 的相伴集合即为以 为中心的边长为的正方形， 若 ，则其相伴集合对应平面图形的面积为 ，①是假命题； 集合对应一系列正方形，它们与抛物线 即均无公共点， 则意味着这些正方形都在抛物线下方即正方形内的点均满足，对每一个正方形内的点， 有，则需满足，有， 设， 在上的最小值记为， 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以； 当时，，此时应有，以 为变量， 的最大值为，所以； 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以 ， 综上所述，要使对任意实数 及任意均满足无交点条件，则，②是真命题. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤； 17. 如图，在四棱锥中， 为等边三角形，底面 为直角梯形， ， . （1）求证： ； （2）若四棱锥的体积为，求直线 与平面所成角的大小. 【答案】（1）取 的中点 ，连接 ， 因为 ， ， 则 ，所以四边形 是平行四边形， 又，四边形 是矩形， 所以 ， 为等边三角形， 为 的中点， 所以 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ，所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，利用等边三角形性质和直角梯形的性质证明 面 ，进而证明 ； （2）首先利用体积公式求出四棱锥的高，结合几何特征得到 面 ，然后建立空间直角坐标系，求出面的法向量，利用向量夹角公式求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 梯形 的面积为 ， 设四棱锥的高为 ，体积为， 得 ， 所以 平面 ， 以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ， ， ， ， ， 设面的法向量为 ， ， ， ，， 取， 则 ， ， 设直线 与平面所成角为 ， . 直线 与平面所成角的大小为. 18. 为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房､体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点､街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（岁且岁）和中老年组（岁），从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 社区公共运动场 50 合计 80 170 （1）请补充列联表，并根据表中数据判断能否有 的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关； （2）用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量 表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求 的分布和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 40 100 社区公共运动场 20 50 70 合计 80 90 170 有95%的把握认为年龄与健身场所选择有关 （2） 1 3 5 7 ​ 数学期望为（或约） 【解析】 【分析】（1）先补全 2×2 列联表，再代入卡方独立性检验公式计算统计量，与 95% 置信度临界值比较，判断年龄与健身场所选择是否有关联； （2）先按分层抽样确定抽取的青壮、中老年人数，再用超几何分布计算随机变量 X 的各取值概率，列出分布列并代入期望公式求数学期望. 【小问1详解】 根据已知数据计算空缺值，得到完整列联表如下： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 40 100 社区公共运动场 20 50 70 合计 80 90 170  因为， 因此有95%的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关. 【小问2详解】 选择社区公共运动场的居民共70人，其中青壮年20人、中老年50人，抽样比为， 因此抽取的样本中青壮年人数：，中老年人数：. 设抽取的7人中中老年人数为，则青壮年人数为，. 因为青壮年共4人，故，解得，又， 因此，对应 的可能取值为. 总情况数为， （对应或 ）时，， （对应 ）时，， （对应）时，， （对应）时，， 因此， 的分布列为： 1 3 5 7 ​ 所以 19. 已知函数，其中且. （1）设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数 ，使得函数为奇函数，说明理由； （2）设.若关于 的方程的解集为单元素集合，求正数 的值. 【答案】（1）， ； （2）或或 【解析】 【分析】（1）由分母不等于 解出定义域，由奇函数的定义域关于原点对称求出 的值，再利用奇函数的定义检验即可； （2）令，则原命题可等价于方程的解集为单元素集合，分一元二次方程有两相等实根且不等于 与一元二次方程有两不相等实根且有一个根等于 ，分别求出 的值即可. 【小问1详解】 由题意知：， 分母不等于 得：， 解得：， 所以函数的定义域为， 要使函数为奇函数，则定义域关于原点对称， 则，解得 ， 当 时，，定义域为， 此时，满足奇函数的定义， 所以存在正数 ，使得函数为奇函数. 【小问2详解】 由题意知：， 则等价于，其中且， 化简得：， 令， ， 原命题等价于：的解集为单元素集合， ①方程有两相等实根，且不等于 ， 所以， 化简得：， 解得：， 验证根是否等于 ， 当时，根，满足题意， 当时，根，满足题意， ②方程有两不等实根，且其中一个根为 ， 则将代入方程：， 当时，此时方程为， 解得：（舍）或 ，满足题意. 综上所述：正数 的取值为或或. 20. 已知无穷数列为严格增数列，且 .双曲线的方程为为双曲线上两个不同的动点，其中在双曲线的右支上. （1）若 ，求双曲线的渐近线方程和焦点坐标； （2）若 ，且点为线段的中点，求实数 的取值范围； （3）已知直线过双曲线的右顶点.若在双曲线的右支上，则称弦为双曲线的“同支弦”，否则称其为双曲线的“异支弦”.是否存在等差数列，使得对于任意正整数 ，双曲线“同支弦”弦长的最小值均大于双曲线“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）渐近线方程 ；焦点坐标为 . （2） （3）不存在，理由如下： 的右顶点为 . 若直线的斜率为0，此时 ，为异支弦，. 若直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入， 得 . 当 时， 设 ，则 . 设 ，则 . 当为异支弦时， ，所以 ，即. 所以，所以异支弦最小值为. 当为同支弦时， . 因为 ，所以 . 所以同支弦长最小值为，由已知，所以. 若 是等差数列，设公差为 ，则一定存在一个充分大的 ，使 . 此时，不合题意，所以不存在这样的等差数列 . 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的标准方程求出的值，进而得到渐近线方程和焦点坐标. （2）先设出的坐标，再根据中点坐标公式得到 关于的表达式，最后结合双曲线的性质求出 的取值范围. （3）先设出直线的方程，然后分别联立直线与双曲线的方程，求出“同支弦”和“异支弦”弦长的表达式，再根据条件列出不等式，进而判断是否存在满足条件的等差数列 . 【小问1详解】 当 时，双曲线的方程为 ，此时 . 根据双曲线渐近线方程 可得 . 根据可得，焦点在 轴上，所以焦点坐标为 . 【小问2详解】 ， ， ， ， ①， ，代入上式 ②， 联立①②，得 ， ； 【小问3详解】 略 21. 已知函数与函数的定义域均为 ，且在 上的导函数分别为和.若存在常数 ，使得对任意实数恒成立，则称是的“ 调整函数”，并称 为调整系数. （1）设 .求证：是的“2-调整函数”； （2）设 .若存在实数，使得是的“ 调整函数”，求调整系数 的取值范围； （3）已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合 ，函数的值域记作集合 .若 ，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【答案】（1）因为 ， 所以 . 所以 所以是 的“2-调整函数”； （2） （3） 不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合 ，函数 的值域为集合 ，满足 . 又 ，满足对任意实数 恒成立，即满足是 的“ 调整函数”， 此时 不是常值函数. 【解析】 【分析】（1）对 分别求导，并根据是 的“k-调整函数”的定义判断即可； （2）对 分别求导，根据是 的“k-调整函数”的定义，得 恒成立， 时显然成立；当 时，设 ，利用导数，分和两种情况分析，可得.并分析此时时，满足题意，即可确定 的取值范围； （3）对题意所述函数举出实例说明 不一定是常值函数即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由 ，得 . 由于是 的“ 调整函数”，那么存在常数 ，使得 恒成立， 即 ，即. 因为存在实数 ，满足上式，所以，即 . 1)若 ，则 成立； 2)若 ，则 ，所以，且 . 设 ，则 在单调递增. 当 时，因为 ， 所以存在 ，当 时，， 单调递增， 所以当 时， ，不满足题意； 当时， ， ，所以 ， 在上单调递减， 所以 恒成立. 3)当时，对 ， 恒成立. 综上，调整系数 的取值范围是 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $