精品解析：2025届上海市徐汇区高三4月二模考试数学试卷

2025年上海市徐汇区数学二模试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知全集，，则______. 2. 复数（其中为虚数单位）的虚部是________． 3. 在空间直角坐标系中，向量若，则____. 4. 已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是_____________． 5. 如下是一个列联表，则__________. y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 6. 已知，则的值为_____________. 7. 已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是_____. 8. 已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为__________. 9. 已知两个随机事件，若，，，则_______. 10. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为________. 11. 如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米. 12. 设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 15. 在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①、②都正确 D. ①、②都错误 16. 已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm．    （1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小； （2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比． 18. 已知函数，其中. （1）解关于的不等式； （2）若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 19. 某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. （1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； （2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 20. 已知抛物线，点是抛物线的焦点． （1）求点的坐标及点到准线的距离； （2）过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； （3）过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 21. 对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. （1）已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； （2）设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； （3）设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上海市徐汇区数学二模试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知全集，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求解绝对值不等式解得集合，再根据补运算求解即可. 【详解】，又，故. 故答案为：. 2. 复数（其中为虚数单位）的虚部是________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据复数除法，化简，进而直接写出虚部即可. 【详解】，故其虚部为. 故答案为：. 3. 在空间直角坐标系中，向量若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】若，则， 解得，，故. 故答案为：. 4. 已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 5. 如下是一个列联表，则__________. y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 【答案】90 【解析】 【分析】完善列联表即可求解. 【详解】由表格有， 故答案为：. 6. 已知，则的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 7. 已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是_____. 【答案】 【解析】 【分析】取中点为，连接，通过证明，从而证明点到的距离为，再结合已知条件求出即可. 【详解】取中点为，连接，如下所示： 因为为等腰三角形，又为中点，故； 因为平面，面，故； 又面，故面，又面，故， 故点到直线的距离，即为； 在△中，； 因为平面，面，故，则△为直角三角形； 在△中，，故, 故点到直线的距离为. 故答案为：. 8. 已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用数量积即可求解. 【详解】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设， 则有，由有，所以， 所以，所以， 即，所以， 故答案为：. 9. 已知两个随机事件，若，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式有，由乘法公式有求出，最后利用条件概率公式即可求解. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故答案为：. 10. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，再结合双曲线定义，求得，结合△为直角三角形，利用勾股定理，建立的等量关系，进而求解即可. 【详解】设中点为，连接，作图如下所示： 在△中，因为分别为的中点，故//，且； 由题可知，，且，故，且； 根据双曲线定义可知，，又， 故在△中，由勾股定理，也即， 整理得，故，也即该双曲线的离心率为. 故答案为：. 11. 如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米. 【答案】 【解析】 【分析】过点作，设,，根据正弦定理求得，求得阴影的面积为，令，求得，得出函数的单调性，得到时， 取得最小值，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为： 12. 设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先证明，再说明满足条件，即可得到的最小值是. 【详解】假设，则由可知，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 假设，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 以上结果表明必有，而当时，对任意，由可知，故. 而，，所以一定存在，使得，即，满足条件. 综上，的最小值是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用是否推出关系，可判断必要不充分条件. 【详解】由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件， 所以，即是的必要不充分条件， 故选：B. 14. 在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据回归模型性质判断即可. 【详解】若样本数据所对应的点都在直线上， 则两组数据和的线性相关系数为. 故选：A. 15. 在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①、②都正确 D. ①、②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】首先通过分析正四面体的翻转操作，找出操作n次后正四面体与桌面贴合的面是的概率​的递推关系，再根据递推关系计算​，并分析​的性质判断​与​的大小关系. 【详解】开始时正四面体与桌面贴合的面为，进行一次操作后，正四面体与桌面贴合的面不可能再是，所以. 要得到操作2次后正四面体与桌面贴合的面是，那么第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是，且第二次操作能回到. 第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是，有3种情况（正四面体共4个面，除去ABC面），从这3个面中的任意一个面进行第二次操作回到面的概率为, 根据分步乘法计数原理，，因为，所以，故①正确, 当时，操作次后正四面体与桌面贴合的面是，则操作次后正四面体与桌面贴合的面不是，且第次操作能回到, 操作次后正四面体与桌面贴合的面不是的概率为， 从不是的面进行一次操作回到面的概率为， 所以可得递推关系 将上式变形为, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列, ,即， ，显然，故②正确. 故选：C 16. 已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若对应的的取值的情况可以有1个，2个或3个，且对应2个根的情况的时候即可判断A，根据若对应的根的个数为2，2，3即可判断C，根据若对应的根的个数为3，3，3即可判断D. 【详解】由题意可得，若对应的的取值的情况可以有1个，2个或3个，且对应2个根的情况的时候， 的取值只要2个，若对应的根的个数为1，1，2， 则符合要求的集合的个数为，A有可能； 若对应的根的个数为2，2，3， 则符合要求的隹合的个数为，C有可能； 若对应的根的个数为3，3，3， 则符合要求的集合的个数为，D有可能. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm．    （1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小； （2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正四棱台的结构特征，利用几何法求出二面角的平面角. （2）利用圆台、棱台的体积公式计算得解. 【小问1详解】 设正方形，的中心分别为，连接，则平面， 分别取，的中点，，连接，则，， 由，分别为等腰梯形底边，的中点，得， 由，得四边形是一个直角梯形， ，又，为侧面与底面所成二面角的平面角， 由条件知，则， 所以侧面与底面所成二面角的大小为. 【小问2详解】 依题意，圆台上底面半径cm，下底面半径cm，高cm， 则圆台的体积为， 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与正四棱台的体积之比为. 18. 已知函数，其中. （1）解关于的不等式； （2）若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由在单调递增，得即可求解； （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解. 【小问1详解】 由函数在单调递增， 所以 【小问2详解】 原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 19. 某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. （1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； （2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 . 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解； （2）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，二项分布即可求解. 【小问1详解】 由题意，，的概率等于. 令，则. 因此， . 故净含量误差超过5g的概率约为. 【小问2详解】 可能的取值为0、1、2、3. 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为. 故服从二项分布，记， ， 从而的分布为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此. 20. 已知抛物线，点是抛物线的焦点． （1）求点的坐标及点到准线的距离； （2）过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； （3）过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 【答案】（1）坐标为，距离为 （2）由已知可知直线的斜率均存在且不等于并过点， 设的方程为，则的斜率为，设与相交于， 由得，则，， ，同理可得， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的标准方程的定义即可得到焦点坐标和点到准线的距离； （2）设的方程为，与相交于，联立直线与抛物线方程，可得，又，得到关于的等式，同理可得，取倒数相加可求得其为定值； （3）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立即可得点坐标，则可求得，再利用角平分线的性质得，由此可求得点的轨迹为一个挖去了两个点的圆，且圆心在直线上，进而得到面积的最大值. 【小问1详解】 由已知可得，即， 所以点的坐标为，点到准线的距离为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知可得直线的方程为， 由，解得，， 不妨令， 则，， 在中，， 在中，， 由及得 设点，于是， 整理得， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上（除去与直线的两个交点）， 因为圆心在直线上，则点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 21. 对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. （1）已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； （2）设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； （3）设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 【答案】（1） 证明：因为， ， ， ， 所以，对任意实数，都有. （2） （3），证明： 因为， 所以，由得， 又因为， 所以， 有，于是， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据“最小导周期”的定义即可证明； （2）由题意有对任意实数恒成立，令，得，令，得，根据的取值验证函数的最小导周期为即可得，由可视为点与点之间的距离，利用数形结合即可求解； （3）记，由在上恒成立及存在使，可知是函数的极大值点，即，，解得，由，得，由得，又，即，即得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 由题意知，对任意实数恒成立， 令，则，即， 令，则，则， 所以或. 若，则，，最小导周期不是，矛盾； 若，则，，，最小导周期为，符合要求，所以. 可视为点与点 之间的距离，当实数变化时，点在直线上运动，点在曲线上运动， 因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值， 而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切， 则切点到直线的距离即为所求. 设切点，，切线斜率，得，切点为， 点到直线距离. 即的最小值为. 【小问3详解】 ，， 记，即. 由在上恒成立及存在使， 可知是函数的极大值点，于是， 则①， 又，则②， 由①②得，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $