精品解析：上海市长宁区2025-2026学年第二学期高三数学教学质量调研试卷

2025学年第二学期高三数学教学质量调研试卷 考生注意： 1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码. 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分. 3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，，则______. 2. 已知正实数a、b满足 ，则的最小值等于____________． 3. 已知向量，，若，则实数________. 4. 在的展开式中，含项的系数为______． 5. 函数 ，的值域为________. 6. 已知随机变量的分布为 则的期望为________. 7. 设等比数列的前项和为，若，，则_______ 8. 在 中， 是 的中点，，，则_________. 9. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 10. 已知复数满足： ，且，则的最小值为________. 11. 如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点 、 、 、 在同一条直线上，点在边 上，点在边上，测得 、 两点间距离为.为了使，则 、 两点间距离为_________cm.（精确到） 12. 等腰 的三个顶点均在椭圆上，且 、 、 中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的 共有________个. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 对于随机事件 、 ，，“”是“ 、 互相独立”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 15. 将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（ ）. A. B. C. D. 16. 已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误； B. ①错误，②正确； C. ①正确，②正确； D. ①错误，②错误. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86. （1）求该组数据的极差和第25百分位数； （2）依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高 （单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1） （3）体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下 列联表. 男生 女生 总计 观察值 预期值 观察值 预期值 不肥胖 99 168 肥胖 总计 120 200 求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）. 18. 如图， 是圆锥顶点， 是底面圆心，点 、 在底面圆周上，，. （1）若圆锥的侧面积为 ，求圆锥的体积； （2）若直线与平面 所成角为，求二面角的平面角的正切值 19. 已知（其中 ，）. （1）若函数的图象过点，求不等式的解集； （2）若恰有两个不同的实数 ，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 20. 双曲线经过点，不垂直 轴的直线与交于不同于 的 、 两点，直线、分别与轴交于点 、 . （1）求的离心率； （2）设直线与 轴交于点 ，且，求点 的横坐标； （3）若 、 关于原点对称，证明：直线 经过定点. 21. 设连续函数定义域为，区间 ，记函数在区间 上的最大值为，最小值为 . （1）设 ，，若，求实数的值； （2）设，，若 ，且 ，求 的值； （3）已知 ， ，且对任意闭区间，与 均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高三数学教学质量调研试卷 考生注意： 1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码. 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分. 3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】集合，，则. 2. 已知正实数a、b满足 ，则的最小值等于____________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用基本不等式计算得到答案. 【详解】，当 ，即，时等号成立， 则的最小值为4． 故答案为：4． 3. 已知向量，，若，则实数________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，，又， 所以， 则. 4. 在的展开式中，含项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式通项，令 的指数为，求出参数的值，再代入通项可得出项的系数. 【详解】二项式展开式的通项为， 令，因此，在的展开式中，含项的系数为，故答案为. 【点睛】本题考查利用二项式通项求指定项的系数，考查运算求解能力，属于基础题. 5. 函数 ，的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据正弦函数的单调性判断函数的最大值及最小值，进而可得函数值域. 【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数 在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数有最小值 ，当时，函数有最大值. 所以函数在上值域为. 6. 已知随机变量的分布为 则的期望为________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据分布列求离散型随机变量的期望可得. 【详解】因为随机变量的分布为 所以. 7. 设等比数列的前项和为，若，，则_______ 【答案】63 【解析】 【详解】因为等比数列，所以也成等比数列，即，填63. 8. 在中， 是的中点，，，则_________. 【答案】7 【解析】 【详解】因为在中， 是的中点，所以，所以. 又，所以，所以. 所以，. 9. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 【答案】 【解析】 【分析】利用分组分配法与古典概型概率公式计算即得. 【详解】4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为 种； 要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种. 由古典概型概率公式，可得概率为：. 10. 已知复数满足： ，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意易得，，表示出即可求出答案. 【详解】设 则， 化简得：， ， 又 所以 所以 所以的最小值为. 11. 如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点 、 、 、 在同一条直线上，点 在边 上，点在边上，测得 、 两点间距离为.为了使，则 、 两点间距离为_________cm.（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】在中，分别求得，，再利用三角形相似及正弦定理可求解. 【详解】中，，所以. 所以，. 延长 ，交 于点，则与相似，所以. 所以，所以， 所以. 中，由正弦定理得，即， 所以. 所以 所以 、 两点间距离为. 12. 等腰的三个顶点均在椭圆上，且 、 、 中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个. 【答案】20 【解析】 【详解】如图所示： 由题意可得 以或或或为等腰三角形的底边， 在两侧可各作一个等腰三角形，共有个； 以或或或为等腰三角形的腰， 则， 设另一点为， 若， 即， 由，解得，符合题意；(舍去)； 同理，若， 即， 由，解得，不符题意； 故只能， 这样的点关于 轴对称，共有2个， 故共有个； 以为腰， 因为， 设另一点为， 若， 即， 由，解得， 同理若， 即， 由，解得， 这样的点关于 轴对称，共有4个； 若为底，则三角形中有三个点是椭圆的顶点，不合题意； 综上，共有个这样的等腰三角形. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一分析四个选项的奇偶性和单调性即可得出答案. 【详解】A选项，因为是偶函数，且在上递减，故A错误； B选项，因为是奇函数，在R上是增函数，故B正确； C选项，因为是非奇非偶函数，故C错误； D选项，因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故D错误. 故选：B. 14. 对于随机事件 、 ，，“”是“ 、 互相独立”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式、独立事件的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，又，所以， 从而有，所以 、 互相独立，充分性成立； 当 、 互相独立时，则，所以，必要性成立. 综上，“”是“ 、 互相独立”的充要条件. 15. 将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】该几何体上的点是一条棱的两端点.对于A，C，D项，在折叠时，这两点会被带到几何体的两个不同顶点，所有面可以无重叠地闭合，形成完整的双三棱锥. 而对于B，折叠后，点 和点 是相对的两个顶点. 16. 已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误； B. ①错误，②正确； C. ①正确，②正确； D. ①错误，②错误. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的正负分析单调性，利用导数的几何意义来求切线斜率即可得到判断. 【详解】对求导得：  因为，对 ，的最小值为 ， 若取，则，即对任意恒成立， 此时在上严格递增，结论①正确； 设直线与曲线的切点为, 切线斜率等于直线斜率:， 代入导数得， 因为 ,故 ，得, 切点同时在曲线和直线上：， 得,同时满足的解为， 对任意 ，都有无数个这样的切点，因此直线恒与曲线相切且有无数切点， 当时，， 所以每个切点的横坐标都不是函数的极值点，故结论②正确. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86. （1）求该组数据的极差和第25百分位数； （2）依据体检数据，求得这10名学生体重 （单位：kg）关于身高 （单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1） （3）体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下 列联表. 男生 女生 总计 观察值 预期值 观察值 预期值 不肥胖 99 168 肥胖 总计 120 200 求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）. 【答案】（1）36；55 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）先将数据从小到大排列，进而最大值减最小值可得极差，利用求百分位数步骤可得第25百分位数； （2）先求，将代入回归方程可求； （3）根据列联表的性质可得，因肥胖与性别无关，故. 【小问1详解】 将数据从小到大排列：52，54，55，56，58，62，68，74，86，88， 故极差， 因不为整数，故第25百分位数是第三个数为55. 【小问2详解】 ， 因回归方程为过样本中心点，故， 得 【小问3详解】 由列联表的性质，女生不肥胖人数为，女生人数总计 ， 所以， 男生肥胖的预期值. 18. 如图，是圆锥顶点， 是底面圆心，点 、 在底面圆周上，，. （1）若圆锥的侧面积为 ，求圆锥的体积； （2）若直线 与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求圆锥的高，再求体积； （2）首先根据线面角求 ，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可求解. 【小问1详解】 设圆锥的底面半径为，母线为，， 圆锥的侧面积，所以， 则圆锥的高， 则圆锥的体积； 【小问2详解】 因为平面 ，平面 ， 所以 ，又因为，，平面， 所以平面，则 与平面所成角为 ，所以， 又因为，所以，取 的中点 ，连结 ，， 因为，， 所以， ，为二面角的平面角, 因为，， 所以，， 所以二面角的平面角的正切值为. 19. 已知（其中，）. （1）若函数的图象过点，求不等式的解集； （2）若恰有两个不同的实数 ，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可； （2）先根据等差数列得方程有两个不同的实数根，且两根都大于，进而对讨论，结合二次函数根的分布理论可得. 【小问1详解】 将代入，可得，得， 故 ，该对数函数为定义在上的减函数， 故由可得，解得 ， 故不等式的解集为 【小问2详解】 由已知可得， 即，故， 整理可得，故，得， 由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于， 设， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，解得， 当 时，，即函数在区间上有两个零点， 故，不等式无解， 综上可得实数的取值范围为 20. 双曲线经过点，不垂直 轴的直线与交于不同于的 、 两点，直线 、 分别与 轴交于点 、 . （1）求的离心率； （2）设直线 与 轴交于点 ，且，求点 的横坐标； （3）若 、 关于原点对称，证明：直线 经过定点. 【答案】（1） （2） （3）设 ，由 关于原点对称得 ， 计算得直线 的斜率可得 所以有 ， 设直线 ，联立 ， 可得： ， 设 ， 由韦达定理得， 由 可得： ， 整理得： ， 所以 ， 所以 ， 代入韦达定理可得： ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，则 或 ， 当 时，直线 恒过点 ，不符合题意， 故 ，此时直线 恒过点 . 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可； （3）先求得 ，设直线 ，与双曲线方程联立 ，由韦达定理得 ，即可求解定点. 【小问1详解】 将 代入双曲线方程 可得： ， 因为双曲线中 ，所以 ， 即离心率： ； 【小问2详解】 设 ，直线 方程为 ， 令 ，得，即可知 ， 令，得，即可知 ， 由，可得： ， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为 ，代入得 ， 解得或 （因为此时与点 重合故舍去），即； 【小问3详解】 略 21. 设连续函数定义域为，区间 ，记函数在区间 上的最大值为，最小值为 . （1）设 ，，若，求实数的值； （2）设，，若 ，且 ，求 的值； （3）已知 ， ，且对任意闭区间，与 均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【答案】（1） （2） 或 或 （3）必要性：若在区间上严格增， 设 ， 因为在区间上严格增， 所以 ， 又 ， ， 所以 ，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在 ，使得 ， 令 ，设 ， ， 由函数在区间连续， 所以必存在 ，使得 ， 令 ，则 ， ， 由于 ，函数在区间 上不可能是严格增函数， 若函数在区间 上为常数，可取 ， 则，与题设矛盾；若函数在区间 上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、 ， 当 ，且 时，均有.” 【解析】 【分析】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案； （2）讨论 ， ， ，分别求出 ，即可求出答案； （3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性. 【小问1详解】 由题意知函数 ，在区间上的最小值为 ， 由题意得 ， ①当时， 恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当 时，当 时， ， 在区间 上单调递减， 当 时， ， 此时在区间 上单调递增， 此时 ，满足题意； ③当 时， 恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. 【小问2详解】 由题意得 , 当 或 时， ，函数单调递增， 当 时， ，函数单调递减， 又 ， ①当 时，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 此时 ， 因为 ，所以 ， 又在区间 上单调递减，即 ， 所以 ，故 ； ②当 时，在区间 上单调递减， 此时 ，满足 ； ③当 时，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 此时 ， 因为 ，在区间 上单调递减， 所以 ，则 ，得到 ，解得 ， 综上所述： 或 或 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $