上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷

2025学年第二学期学习能力诊断卷 高三数学试卷 2026.4 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名､考号等相关信息. 2.所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分. 3.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔､水笔或圆珠笔作答非选择题. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果， 1. 不等式的解集为__________. 2. 函数的零点是__________. 3. 计算：________． 4. 若函数在处的切线方程为，则__________. 5. 若幂函数在区间 上是严格减函数，则实数 的取值范围是________. 6. 若，则 ______. 7. 若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 8. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则 __________. 9. 已知实数满足，则的方差的最大值为__________. 10. 设 是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 11. 已知复数满足，记满足的复数 组成的集合为 .若且，则的取值范围是__________. 12. 如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为 的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 15. 设，函数在区间上没有最大值和最小值，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 设. 定义点的相伴集合为且，其中 为正实数. 给出以下两个命题： ①若 ，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数 及任意，集合所对应平面图形与抛物线 均无公共点，则. 则正确的选项是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤； 17. 如图，在四棱锥中， 为等边三角形，底面 为直角梯形， ， . （1）求证： ； （2）若四棱锥的体积为，求直线 与平面所成角的大小. 18. 为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房､体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点､街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（岁且岁）和中老年组（岁），从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 社区公共运动场 50 合计 80 170 （1）请补充列联表，并根据表中数据判断能否有 的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关； （2）用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量 表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求 的分布和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数，其中且. （1）设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数 ，使得函数为奇函数，说明理由； （2）设.若关于 的方程的解集为单元素集合，求正数 的值. 20. 已知无穷数列为严格增数列，且 .双曲线的方程为为双曲线上两个不同的动点，其中在双曲线的右支上. （1）若 ，求双曲线的渐近线方程和焦点坐标； （2）若 ，且点为线段的中点，求实数 的取值范围； （3）已知直线过双曲线的右顶点.若在双曲线的右支上，则称弦为双曲线的“同支弦”，否则称其为双曲线的“异支弦”.是否存在等差数列，使得对于任意正整数 ，双曲线“同支弦”弦长的最小值均大于双曲线“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数与函数的定义域均为 ，且在 上的导函数分别为和.若存在常数 ，使得对任意实数恒成立，则称是的“ 调整函数”，并称 为调整系数. （1）设 .求证：是的“2-调整函数”； （2）设 .若存在实数，使得是的“ 调整函数”，求调整系数 的取值范围； （3）已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合 ，函数的值域记作集合 .若 ，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 2025学年第二学期学习能力诊断卷 高三数学试卷 2026.4 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名､考号等相关信息. 2.所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分. 3.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔､水笔或圆珠笔作答非选择题. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果， 【1题答案】 【答案】## 【2题答案】 【答案】0 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】5 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】D 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤； 【17题答案】 【答案】（1）取 的中点 ，连接 ， 因为 ， ， 则 ，所以四边形 是平行四边形， 又，四边形 是矩形， 所以 ， 为等边三角形， 为 的中点， 所以 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ，所以 . （2） 【18题答案】 【答案】（1） 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 40 100 社区公共运动场 20 50 70 合计 80 90 170 有95%的把握认为年龄与健身场所选择有关 （2） 1 3 5 7 ​ 数学期望为（或约） 【19题答案】 【答案】（1）， ； （2）或或 【20题答案】 【答案】（1）渐近线方程 ；焦点坐标为 . （2） （3）不存在，理由如下： 的右顶点为 . 若直线的斜率为0，此时 ，为异支弦，. 若直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入， 得 . 当 时， 设 ，则 . 设 ，则 . 当为异支弦时， ，所以 ，即. 所以，所以异支弦最小值为. 当为同支弦时， . 因为 ，所以 . 所以同支弦长最小值为，由已知，所以. 若 是等差数列，设公差为 ，则一定存在一个充分大的 ，使 . 此时，不合题意，所以不存在这样的等差数列 . 【21题答案】 【答案】（1）因为 ， 所以 . 所以 所以是 的“2-调整函数”； （2） （3） 不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合 ，函数 的值域为集合 ，满足 . 又 ，满足对任意实数 恒成立，即满足是 的“ 调整函数”， 此时 不是常值函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $