湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期数学测试四

襄阳四中2024级高二下学期数学测试四 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.物体甲、乙在时间到范围内,路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是( ) A. 在到范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 在到范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度 C. 在时,甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D. 在时,甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 2.某个弹簧振子在振动过程中的位移单位:与时间单位:之间的关系为,则当位移时,弹簧振子的瞬时速度大小为 . A. B. C. D. 3.函数的图象如图所示,则下列数值排序正确的是( ) A. B. C. D. 4.若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则( ) A. B. C. D. 5.如图,直线和圆,当从开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动转动角度不超过时,它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数,这个函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 6.已知函数,,若对任意的恒成立,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.若,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 8.已知函数是定义在上的可导函数,其导函数为若,且,则使不等式成立的的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9.已知函数的导函数的图象如下图所示,则( ) A. 函数的图象在处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 当时,函数取得极值 D. 当时,函数取得极值 10.下列命题正确的有( ) A. 已知函数,若,则 B. 已知函数在上可导,若,则 C. D. 设函数的导函数为,且,则 11.已知,若不等式的解集为,则下列说法中正确的是( ) A. B. 函数的对称中心为 C. 过点可作一条直线与曲线相切 D. 当时, 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知函数在处取得极大值,则实数的值是 . 13.已知函数,则不等式的解集为 . 14.设为坐标原点,若曲线和曲线上分别存在两点,使得,则的取值范围为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.已知函数. 求曲线在点处的切线方程; 求的单调区间和极值. 16.已知函数的两个极值点分别为和. 求的解析式; 若直线与曲线有且仅有两个公共点,求的值. 17.现有一张长为,宽为的长方形铁皮,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求铁皮材料的利用率为剪切与焊接不可避免,不考虑剪切与焊接处的损耗与增加,如图,在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形,高为,体积为. 求无盖长方体铁皮盒的表面积用,表示; 写出关于的函数关系式,并写出的范围; 要使得无盖长方体铁盒的容积最大、对应的为多少?并求出的最大值. 18.已知函数. 若是单调递减函数,求实数的取值范围; 当时,证明:. 19.已知函数. 当时,的图象与直线的有个交点,求的范围; 对任意的,恒成立,求的值; 证明:,. 参考答案 1.【答案】 【解析】解:在到范围内,甲、乙的平均速度都为,故 A、B错误; 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率, 故在处,甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度,故 C正确,D错误. 故选:. 2.【答案】 【解析】【分析】根据导数的意义求解即可得答案. 【解答】解:由题可得瞬时速度, 当位移时,可得,解得:,所以, 所以, 则当位移时,弹簧振子的瞬时速度大小为, 故选: 3.【答案】 【解析】解:由函数 的图像可知: 当 时,函数 单调递增, 又 在各点处的切线的斜率越来越大且为正, 所以 , 即 . 4.【答案】 【解析】解:对求导,得, 当时,切线斜率, 由点斜式方程,切线方程为,即; 设公切线与曲线的切点为, 对求导,得, 因为切线斜率为,所以,解得,即, 所以, 又因为切点在曲线上,所以,即, 因为,所以,解得. 5.【答案】 【解析】解:由几何特征可知,直线扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数,且由圆的对称性, 将此函数的图像只看一半,且图像是类似对称的, 可知面积关于时间的函数的变化率是逐渐变大的, 然后随着扫过一半的圆后,面积关于时间的函数的变化率是逐渐变小的, 故此函数的图像的切线的斜率应为逐渐变大的,然后在某一点达到最大值后逐渐变小的, 可知选项符合题意. 故选:. 6.【答案】 【解析】解:由题意得, 即, 设, 则在上单调递增, 即上恒成立, 则恒成立,即, 设,则, 令,则, 当时,,单调递减, 当时,,单调递增, 所以, 所以. 7.【答案】 本题考查利用导数判断函数单调性,利用导数比较大小,属于中档题. 构造函数,,利用导数判断函数单调性,从而求得函数最小值,得到和,分别令,即可比较大小. 【解答】 解:令,则, 当时,,所以,所以在上单调递增; 当时,,所以,所以在上单调递减, 所以在处取最小值, 所以恒成立,即恒成立,当且仅当时等号成立, 令,可得, 令,,则, 当时,,所以在上单调递增; 当时,,所以在上单调递减; 所以,在处取最小值, 所以对任意恒成立,即对任意恒成立, 令,可得, 综上所述,,即. 故选:. 8.【答案】 【解析】解:设,则, ,, ,即在定义域上单调递减. ,, 不等式等价于,即,解得. 故选:. 根据已知条件构造函数,要求解的不等式可化为,判断单调性即可求解. 9.【答案】 【解析】解:从导函数的图象可知,,则A错误; 又在上大于等于且仅当时,, 则函数在区间上单调递增,所以B正确; 为的变号零点,所以当时,函数取得极值, 不是的变号零点,且函数在区间上单调递增,所以不是函数的极值点,所以对错, 故选BC. 10.【答案】 【解析】选项 A:函数,根据复合函数求导法则,。令,则,解得,,,故A错误。 选项 B:由导数定义。则,故B正确。 选项 C:根据除法求导法则,其中,,,。则,故C错误。 选项 D:设,则。求导得。将代入得。又因为,所以,解得,,故D正确。 11.【答案】 【解析】解:由题意,,不等式的解集为, 说明方程的根为二重根和, 分解得:, 对比系数得,,故 对于,,故A错误 由选项A知,则, 所以,即的一个对称中心为,故B正确 由选项A知,,设过点的切线方程为, 设切点为, 则,,得,整理得,即,解得,此时切点为,说明过点只能作一条直线与曲线相切,故C正确; 对于,,, 求导得,函数在为增函数,为减函数,,, 可得,故D正确. 故选BCD. 12.【答案】 【解析】由得,因为函数在处取得极大值,所以是方程的根,所以或,即或若,则当时,,单调递增;当时,,单调递减;当时,,单调递增此时函数在处取得极小值,不符合题意若,则当时,,单调递增;当时,,单调递减;当时,,单调递增此时函数在处取得极大值,符合题意故. 13.【答案】 【解析】解:函数的定义域为,恒成立, 所以是增函数, 又, 所以是奇函数, 由得, 所以,即,解得. 故答案为:. 先判断函数的奇偶性和单调性,然后利用这两个性质解不等式即可. 14.【答案】 【解析】解:设,则直线的斜率为, 设,则, 令,, 所以函数在上单调递增,在上单调递减, 故,即; 设,当时,直线的斜率不存在; 当时,直线的斜率为, 设,则, 令,, 所以函数在上单调递减,在上单调递增, 故当时,,即. 作出函数的图象,如图, 由图可知,要使, 需满足在第一象限,最大,最小,且, 此时, 解得,即实数的取值范围为. 故答案为:. 15.【答案】解:由题意知, 则, 所以曲线在点处的切线方程为,即. 的定义域为,由知, 令,得或 令,得或, 所以的单调递增区间为和,单调递减区间为和 易知的极大值为,极小值为. 16.【答案】解:因为, 由题意,得和是关于的方程的两根, 由根与系数的关系,得,解得 此时, 则当或时,,当时,, 所以在和上单调递增,在上单调递减, 则是的极大值点,是的极小值点,符合题意, 综上,; 直线与曲线有且仅有两个公共点, 等价于关于的方程仅有两个实根, 即关于的方程仅有两个实根, 设,则, 故当或时,,当时,, 所以在和上单调递增,在上单调递减, 则是的极大值点,是的极小值点, 且,, 根据题意,得或 解得或. 17.【答案】解:设无盖长方体铁皮盒的表面积为,则; 因为材料利用率为,所以,即, 因为长方形铁皮长为,宽为, 故,综上,; 铁皮盒体积, 其中,令,得,列表如下: 单调递增 极大值 单调递减 所以,函数在区间上为增函数,在上为减函数, 则当时,取最大值,且最大值为. 利用长方体表面积公式即可求得结果; 根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式,结合实际意义可得出的取值范围; 求出关于的函数关系式,利用导数可求出的最大值及其对应的的值,即可得出结论. 18.【答案】解:因为是单调递减函数, 所以,恒成立, 所以,恒成立,即,, 令,则, 所以在上单调递减, 所以, 所以,即的取值范围是. 证明:令, 所以, 因为,所以, 令,则, 因为,所以,所以在单调递增, 所以,所以,所以, 所以, 因为,所以, 所以在上单调递减, 所以, 所以. 19.【答案】解:当时,,定义域为, 得,令,解得, 当时,,单调递增;当时,,单调递减, 因此在处取得最大值, 当时, 当时, 当时, 当时,, 所以的大致图象如图所示. 当时,的图象与直线的交点个数为. 等价于, 令,则不等式等价于, , 当,则在上单调递减,, 时不合题意; 当,令得,令得, 故的递增区间为,递减区间为, 若, ,则当时,,不合题意; 若,,适合题意; 若, ,则当时,,不合题意; 综上,. 证明:由知:当时,有,当且仅当时等号成立, 时,, , , , , ,即, . 第7页,共7页 学科网(北京)股份有限公司 $