精品解析：陕西渭南市2026届高三下学期教学质量检测（Ⅱ）数学试题

渭南市2026届高三教学质量检测（Ⅱ） 数学试题 考生注意： 1.本试题满分150分，考试时间120分钟． 2.答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡上． 3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题卡上的指定区域内． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据，，，，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数计算公式计算即可. 【详解】因为，所以这组数据的第60百分位数是. 故选：B 2. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，得出，计算出，即可求出焦距. 【详解】因为双曲线方程为，所以，因为，所以，所以双曲线的焦距为4. 故选：D 3. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，再依次计算，即可. 【详解】由题知， 所以， 所以. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以， 所以. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦两角和差公式，求出和，进而求出结果. 【详解】， 则，， 解得，得， 即， 故选：B. 6. 若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（ ） A. B. 8 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线的定义结合韦达定理即可求得结果. 【详解】由题意可知，抛物线的准线为，设， 则根据抛物线的定义可知. 因为直线与抛物线交于，两点， 所以联立方程可得，化简得. 根据韦达定理得，所以. 7. 已知是圆上一动点，若直线上存在两点，，使得成立，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定信息，结合几何图形得知为直径的圆与圆外切，且圆心连线与垂直时，线段长度最小，然后求即可. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线上存在两点，使得成立， 以为直径的圆与圆有公共点，当长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图，    圆心到直线的距离， 所以. 8. 集合，集合，，则满足的集合对有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用分步计数原理，对每个元素独立分析它在中的可能状态，再将所有元素的情况数相乘. 【详解】对于中的任意一个元素，要满足， 分析在集合中的归属情况：且；且；且 这三种情况都能保证，而只有且这一种情况不满足条件. 因此，每个元素有种有效的归属方式. 因为中共有个元素，且每个元素的选择相互独立， 所以满足条件的集合对的个数为：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上单调递增 B. 若，则的图象关于点中心对称 C. 若在上恰有三个零点，则 D. 若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得，当，可得， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以A错误； 对于B，若，可得，令，解得， 当时，，所以是函数的一个对称中心， 所以函数的图象关于点中心对称，所以B正确； 对于C，当，可得， 要使得函数在上恰有三个零点，则需要包含， 则满足，解得，所以C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后，可得， 要使得函数的图象关于轴对称，则满足， 解得，因为，所以的最小值为，所以D正确. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 当时， C. ，，都有 D. 若方程有三个解，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由时求出函数的零点，再根据奇函数的性质可得另外两个零点；B选项，根据奇函数的定义即可求对称区间的函数表达式；C选项，利用导数分析函数在时的单调区间和极值，从而可得函数任意两点差的最大值范围；D选项，方程的解转化为函数图象的交点情况，结合函数的大致图象即可得范围. 【详解】对于A：当时，令，得， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 所以有三个零点，故A正确； 对于B： 当时，，则， 因为是定义在上的奇函数，所以，故B错误； 对于C：当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在取到极大值，极大值为， 且当时，；，， 所以根据是奇函数，可作出的大致图象如下： 由图可知，，，都有， 所以，故C正确； 对于D：若方程有三个解，则与有三个公共点， 所以，即，故D错误. 11. 在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（ ） A. 的最小值为 B. 点的轨迹形成图形的面积为 C. 点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D. 当点在侧面上时，的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由图通过折叠相关平面，使共面，据此可判断选项正误；对于B和C，由题设可得M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的，据此可判断选项正误；对于D，注意到，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，由图注意到，将平面沿折叠至平面处，使共面， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A正确； 对于B，注意到，则M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的， 则点M的轨迹所形成图形的面积为：，故B错误； 对于C，由B分析，点M的轨迹与正方体表面的交线长度为：，故C正确； 对于D，注意到，过N作平行线交于，则， 从而，当且仅当三点共线时取等号，故D正确. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况求解一元二次不等式的解集，最后求并集即得到结果. 【详解】当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 所以不等式的解集为. 13. 若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正弦定理和余弦定理求出三角形三条边和角的正弦值，进而根据三角形面积公式求出结果. 【详解】根据题意，设三角形的三条边长分别为， 对应的三个角分别为，因为最大角是最小角的2倍，所以. 根据正弦定理得，而， 所以，化简得①. 根据余弦定理得②， ①②联立得，化简解得，所以三角形三条边长分别为. 又，所以，所以. 所以该三角形的面积为. 14. 数列的前项和为，且满足，．设由，，，组成无重复数字的所有四位数的和为，则______． 【答案】6666 【解析】 【分析】先根据数列等式进行变形化简确定数列为常数列，进而求出，然后求得的值，然后根据数字1，2，3，4组成无重复数字的四位数求出值，最后求出结果. 【详解】由题意，当时，， 化简得，所以数列为常数列，所以， 所以，所以，所以. 用数字1，2，3，4组成无重复数字的四位数，共个， 每个数字在千位出现次，千位总和为； 每个数字在百位出现6次，百位总和为； 每个数字在十位出现6次，十位总和为； 每个数字在个位出现6次，个位总和为； 因此总和. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列为等差数列，是其前项和，且，．数列满足：，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式、通项公式以及等比数列的通项公式求解即可. （2）先根据（1）中的结果求出，然后根据等比数列前项和公式求出，进而证明结论. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，是其前项和，且，． 设数列的首项为，公差为，则， 化简得，解得，所以数列的通项公式为. 因为数列满足：，， 所以数列是首项为1公比为的等比数列，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 证明：因为， 所以数列是首项为公比为的等比数列， 由于数列的前项和为，所以， 因为对于恒成立，所以. 16. 已知函数． （1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性； （2）当时，证明存在唯一的极小值点，且． 【答案】（1）；在上单调递减，在上单调递增. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据极值点求出值，进而确定函数的单调性. （2）先判断函数的单调性和极值点，进而确定极值的范围. 【小问1详解】 对函数求导得，因为是的极值点， 所以，解得. 所以，定义域为. 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 所以在上单调递减，在上单调递增，满足题设. 【小问2详解】 当时，，求导得. 令，求导得. 因为，所以，所以在上单调递增， 又，所以且唯一，使得. 即且唯一，使得，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以存在唯一的极小值点， 又，所以. 且，因此. 17. 2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）可应用二项分布求解3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）应用互斥事件的和事件的概率和条件概率求解即可； （3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，分别求出，进而可得不同取值时的概率，列出分布列，求出期望即可. 【小问1详解】 记3人中通过第一轮的人数为， 由题意可知， 记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件， 则. 【小问2详解】 记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为， 则由题意可知， 则， 所以. 【小问3详解】 记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为， 则， ， ， 由相互独立可知， ， ， 所以的分布列是 0 1 2 3 则的数学期望是． 18. 如图所示，在四棱锥中，底面，四边形中，，，，． （1）求证：平面平面． （2）设． ①直线与平面所成的角为，求线段的长； ②线段上是否存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等？说明理由． 【答案】（1）平面，平面， ， 又，，平面， 平面， 又平面， 平面平面. （2）①； ②不存在，解法一：如图所示，假设线段上存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等． 设，则，，． 因此由，得，即， 又由，得， 联立两式，消去并化简，得，由 ∵方程没有实数根， ∴在线段上不存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等． 解法二：假设在线段上存在一个点到、、、的距离都相等， 由，得， 从而，即， 所以， 设，则，， 在中， ， 这与矛盾， 所以在线段上不存在一个点，使得点到、、的距离都相等， 从而，在线段上不存在一个点，使得点到点、、、的距离都相等． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）①以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据线面角的定义，结合空间向量夹角公式进行求解即可； ②解法一：假设存在，设，利用空间距离公式得到方程，推出方程无解，即可判断；解法二：假设存在，根据题意，结合勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）， 在平面内，作交于点， 则 在中，， 设，则，， 由，得， 所以，，, ， 设平面的法向量为， 由，，得， 取得平面的一个法向量为， 又， 故由直线与平面所成的角为得， 即 解得或（舍去，因为），所以； ②略 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）若圆可以将椭圆完全覆盖，求的最小值； （3）设点为椭圆上在第一象限的点，直线，直线分别过的左、右焦点，与椭圆分别交于点，，记直线，，的斜率分别为，，，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出的值，进而求得椭圆的方程. （2）先求出圆心到椭圆任意点的距离的最大值，进而确定的最小值. （3）分别求出直线的方程，然后与椭圆方程联立，求出的坐标，进而由已知列出方程求出未知数即可. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，短轴长为， 所以，所以. 又，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 圆完全覆盖椭圆，意味着椭圆上任意一点到圆心的距离均不超过半径， 设椭圆上任意一点为，则该点与圆心的距离的平方为. 由椭圆方程知， 代入得， 对称轴为，椭圆中的取值范围为，所以当时，函数取最大值， 即，因此，的最小值为5. 【小问3详解】 由题意可知，椭圆的左右焦点坐标为，设， 则且，易得， 所以. 设， 直线的方程为，直线的方程为，其中， 由，消去得， 则， 从而， 所以. 同理可得， 则 ， 所以， 因为，所以，解得，所以. 因为，所以， 则的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南市2026届高三教学质量检测（Ⅱ） 数学试题 考生注意： 1.本试题满分150分，考试时间120分钟． 2.答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡上． 3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题卡上的指定区域内． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据，，，，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. 9 D. 11 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（ ） A. B. 8 C. 10 D. 7. 已知是圆上一动点，若直线上存在两点，，使得成立，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 集合，集合，，则满足的集合对有（ ）个． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上单调递增 B. 若，则的图象关于点中心对称 C. 若在上恰有三个零点，则 D. 若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为2 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 当时， C. ，，都有 D. 若方程有三个解，则实数的取值范围是 11. 在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（ ） A. 的最小值为 B. 点的轨迹形成图形的面积为 C. 点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D. 当点在侧面上时，的最小值为1 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 13. 若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为______． 14. 数列的前项和为，且满足，．设由，，，组成无重复数字的所有四位数的和为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列为等差数列，是其前项和，且，．数列满足：，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 16. 已知函数． （1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性； （2）当时，证明存在唯一的极小值点，且． 17. 2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 18. 如图所示，在四棱锥中，底面，四边形中，，，，． （1）求证：平面平面． （2）设． ①直线与平面所成的角为，求线段的长； ②线段上是否存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等？说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）若圆可以将椭圆完全覆盖，求的最小值； （3）设点为椭圆上在第一象限的点，直线，直线分别过的左、右焦点，与椭圆分别交于点，，记直线，，的斜率分别为，，，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $