精品解析：陕西省渭南市2025届高三教学质量检测(Ⅱ)数学试题

渭南市2025届高三教学质量检测（Ⅱ） 数学试题 命题人：王建龙 韩黎波 刘增峰 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡上. 3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题卡上的指定区域内. 第Ⅰ卷选择题（共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合，再根据集合交集的概念及运算即可求解. 【详解】，. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数，再由复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：A. 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用辅助角化简，再由正弦函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】，其中满足，. 所以函数的最小正周期为. 故选：C. 4. 已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，计算出底面圆的周长，得出该圆锥的母线长与底面半径的比. 【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由题意可知，底面圆的周长为，故，，则该圆锥的母线长与底面半径的比为. 故选：A 5. 若双曲线的焦距为6，则（ ） A. 5或 B. 3 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线焦点的不同位置分类，列出不等式组，解之即得. 【详解】若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得； 若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得. 综上可得：. 故选：D. 6. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量公式求解即可. 【详解】在上的投影向量是， 故选：B. 7. 函数的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分，，三种情况结合导数分析函数单调性求解即可. 【详解】当时，， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则； 当时，， 函数在上单调递增，则； 当时，， 则，函数在上单调递增， 则. 综上所述，函数的最小值为6. 故选：A. 8. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项对合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据5，7，9，11，13，14，15，22的平均数为12 B. 数据的第30百分位数为7 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平均数、百分位数的定义，给合二项分布、正态分布的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，这个数的平均数为：，故A正确； 对于B，由可知：这个数据的第30百分位数为，故B错误； 对于C，因为， 所以由， 因此，故C正确； 对于D，因为， 所以， 因此，故D正确； 故选：ACD 10. 如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在正三棱柱的表面运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 若为的中点，则到平面的距离为 C. 的周长的最小值为 D. 若，则点的轨迹的长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等体积法求出体积及点到平面的距离判断AB；将侧面和侧面沿展开到一个平面内，求出长判断C；求出点的轨迹长度判断D. 【详解】正三棱柱的所有棱长均为4， 对于A，点到平面的距离即为正边上的高， 则，A错误； 对于B，在中，，由为的中点，得， 的面积为，由选项A得三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为，则，解得，B正确； 对于C，将正三棱柱的侧面和侧面沿展开到一个平面内， 当且仅当三点共线时，取得最小值，， 又，因此的周长的最小值为，C正确；    对于D，取的中点，连接，由三棱柱是正三棱柱，得侧面， ，连接，由，得， 因此点在平面的轨迹是以为圆心，2为半径的半圆弧，点的轨迹的长度为， 点在平面的轨迹是半径为4的四分之一圆弧，长度为， 所以点的轨迹的长度为，D正确. 故选：BCD 11. 设直线系，则下列四个命题为真的是（ ） A. 中所有直线均经过一个定点 B. 存在定点不在中的任一条直线上 C. 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D. 对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，利用同角三角函数的恒等式，结合消参法可推导出直线系表示圆的切线的集合，逐项计算并判断即可. 【详解】对于A，可令，消去可得， 故直线系表示圆的切线的集合，故A错误； 对于B，对任意，存在定点不在直线系中的任一条直线上，故B正确； 对于C，中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等，故面积也不一定相等，如图中的等边三角形和，故C错误； 对于D，由于圆的外切正边形，其所有边均在直线系中的直线上，故D正确. 故选：BD. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】设所对的边为，则 由余弦定理可得：， 解得，所以的面积为. 故答案为：. 13. 若函数，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，由，代入计算，即可得到结果. 【详解】设， 则 ， 所以. 故答案为： 14. 如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出从点出发沿实线走到点的情况数，再求出从点出发沿实线走到点经过点C的情况数，两个作商即可. 【详解】从点A到点C一共有（一共六步需要向下走两步）， 点C到点B一共有（一共四步向右走一步）， 则根据分步计数原理得从点出发沿实线走到点经过点C的情况数为； 计算从点点出发沿实线走到点： 如图连接,则从点点出发沿实线走到点又经过的情况为：, 同理经过另外一条不连上的线情况为， 则从点点出发沿实线走到点的情况为； 故距离最短的走法中，经过点的概率为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：计算从点点出发沿实线走到点的情况时先假设所有的线都是连着的情况数为， 再将经过不连着的两条线时的情况数求出来，相减即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中药是中华民族的瑰宝，除用来治病救人外，在调理身体､预防疾病等方面也发挥着重要的作用.某研究机构为了解草药A对某疾病的预防效果，随机调查了100名人员，数据如下： 未患病 患病 合计 服用草药 48 12 60 未服用草药 22 18 40 合计 70 30 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析草药对预防该疾病是否有效； （2）已知草药对该疾病的治疗有效的概率的数据如下：对未服用草药的患者治疗有效的概率为，对服用草药的患者治疗有效的概率为.若用频率估计概率，现从患此疾病的人中随机抽取1人使用草药进行治疗，求治疗有效的概率. 附：参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有效 （2） 【解析】 【分析】（1）由列联表中数据求得的值，再与临界值表对照下结论； （2）分别求得患者未服用草药A和已服用草药A”的概率，利用全概率公式求解. 【小问1详解】 解：由列联表中数据得：， 根据小概率值的独立性检验，可以推断零假设不成立， 即认为草药对预防该疾病有效； 【小问2详解】 设事件M表示“草药B的治疗有效”，事件表示“患者未服用草药A”，事件表示“患者已服用草药A”， 则， ， 所以由全概率公式得：， . 16. 已知等差数列满足是关于的方程的两个根. （1）求. （2）求数列的通项公式. （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理，结合等差数列公式即可求解； （2）利用韦达定理可直接得到； （3）利用裂项相消法即可求和. 【小问1详解】 数列是等差数列，设公差为， 由根与系数关系得， 于是有，则， 故，则； 【小问2详解】 由（1）知，故， 由根与系数关系知； 【小问3详解】 由（2）得， 所以 17. 如图，在四棱锥中，，是棱的中点，. （1）求证：平面. （2）求二面角的余弦值. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取为中点，连接， 由中位线定理易得：， 又， 所以，且，所以四边形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取为中点，连接，即可证明为平行四边形，由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，取的中点为，连接，由二面角的定义可得即为二面角的平面角，再结合余弦定理代入计算，即可得到结果. （3）根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接， 由，可得四边形为矩形， 所以，又，又平面平面 所以即为二面角的平面角. 又平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，由， 得，又， 所以. 即二面角的平面角的余弦值为. 【小问3详解】 以为原点，分别为轴，轴正向，垂直面向上为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 根据，即， 取，可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导函数求出切线斜率，结合切点坐标得到直线的点斜式方程，再计算与坐标轴围成三角形的面积； （2）利用分离参数法，将零点个数转化成直线与函数图象交点个数，利用导函数分析函数单调性，得出函数的大致图象，数形结合即可得出结论； （3）根据（2）小问中的结论，分类讨论得到实数的取值范围，最后取交集即可. 【小问1详解】 当时，，所以. 又，所以，则切线方程为. 令得，令得， 所以切线与坐标轴围成三角形的面积为. 【小问2详解】 由得，显然不是方程的解，所以. 设函数， 则， 令得或；令得或. 所以在上单调递增，在和单调递减，在上单调递增. 又当时，，当时，， 当时，，当时，. 所以的大致图象如图： 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点， 由图象可知，或，即的取值范围为. 【小问3详解】 由得， 显然当时，不等式恒成立. 当时，有恒成立，由（2）可得； 当时，有恒成立，由（2）可得. 综上，，即的取值范围为. 19. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点. （i）求的值； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）2；（ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定的值，从而得到椭圆的方程；（Ⅱ）（i）设，，由题意知，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定的值; （ⅱ）设，利用方程组结合韦达定理求出弦长，选将的面积表示成关于的表达式，然后，令，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出的面积的最大值，并结合（i）的结果求出面积的最大值. 试题解析：（Ⅰ）由题意知，则,又可得, 所以椭圆C的标准方程为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为, （i）设，，由题意知因为, 又，即,所以，即. （ⅱ）设 将代入椭圆E的方程， 可得 由，可得① 则有 所以 因为直线与轴交点的坐标为 所以的面积 令,将代入椭圆C的方程可得 由，可得② 由①②可知 因此,故 当且仅当，即时取得最大值 由（i）知，面积为,所以面积的最大值为. 考点：1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南市2025届高三教学质量检测（Ⅱ） 数学试题 命题人：王建龙 韩黎波 刘增峰 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡上. 3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题卡上的指定区域内. 第Ⅰ卷选择题（共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 若双曲线的焦距为6，则（ ） A. 5或 B. 3 C. 5 D. 6. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项对合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据5，7，9，11，13，14，15，22的平均数为12 B. 数据的第30百分位数为7 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量，且，则 10. 如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在正三棱柱的表面运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 若为的中点，则到平面的距离为 C. 的周长的最小值为 D. 若，则点的轨迹的长度为 11. 设直线系，则下列四个命题为真的是（ ） A. 中所有直线均经过一个定点 B. 存在定点不在中的任一条直线上 C. 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D. 对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则的面积为__________. 13. 若函数，则__________. 14. 如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中药是中华民族的瑰宝，除用来治病救人外，在调理身体､预防疾病等方面也发挥着重要的作用.某研究机构为了解草药A对某疾病的预防效果，随机调查了100名人员，数据如下： 未患病 患病 合计 服用草药 48 12 60 未服用草药 22 18 40 合计 70 30 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析草药对预防该疾病是否有效； （2）已知草药对该疾病的治疗有效的概率的数据如下：对未服用草药的患者治疗有效的概率为，对服用草药的患者治疗有效的概率为.若用频率估计概率，现从患此疾病的人中随机抽取1人使用草药进行治疗，求治疗有效的概率. 附：参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知等差数列满足是关于的方程的两个根. （1）求. （2）求数列的通项公式. （3）设，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，，是棱的中点，. （1）求证：平面. （2）求二面角的余弦值. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点. （i）求的值； （ⅱ）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $