精品解析：江苏仪征中学、江都中学、高邮中学2025-2026学年度第二学期高三4月份联合测试数学试卷

江苏省仪征中学、江苏省江都中学、江苏省高邮中学 2025–2026学年度第二学期高三4月份联合测试数学试卷 命题单位：江都中学 命题人： 审核人： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合是绝对值小于的整数，，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】是绝对值小于的整数，即满足（为整数），可得， 已知，根据并集定义，得：  因此，共个元素. 2. 已知复数，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， . 3. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】在正方形中，为的中点，所以， 又因为，所以，则. 4. 若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理和判定定理结合充要条件的判定可得. 【详解】若，由线面平行的性质定理可得，充分性成立； 若，，由线面平行的判定定理可得，必要性成立. 所以是的充要条件. 故选：C 5. 在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质有，易知是方程的两个根，再由已知及等比数列的通项公式求公比. 【详解】由题设，易知是方程的两个根， 又为递增的等比数列，所以，故公比. 故选：B 6. 已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥的结构特征及弧长的求法得，再逐项验证即可得. 【详解】设圆锥的母线长为，则圆锥的底面半径， 因为侧面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长，所以，即， 因为，所以，又，即， 逐个验证各选项可知，当时符合题意． 7. 已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据指数函数的性质求出定点的坐标，再将其代入直线方程得到与的关系式，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】过定点，所以， 因为点在函数的图象上，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为4. 8. 如图，以为圆心，2为半径的圆与x轴交于A，B两点，P是上异于A，B的动点，直线PA，PB分别交y轴于C，D两点，以CD为直径的与x轴交于E，F两点，则EF的长为（ ） A. B. C. 6 D. 随P点而变 【答案】B 【解析】 【分析】通过证明相似三角形的方法，结合圆的几何性质求得EF． 【详解】连接NE，设圆的半径为，，则，， 依题意，，，， ，所以， 所以，即，， 又， 所以，故． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，其中，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点到轴的距离为6 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】设直线方程，联立直线和抛物线方程，根据韦达定理得到的关系.结合角平分线定理和焦半径公式求解斜率可以判断A；由横坐标可得到轴的距离，进而判断B；结合和面积公式求解面积即可判断C；利用斜率公式和倾斜角关系即可判断D. 【详解】如图所示，抛物线的焦点为 ，已知 ， 故 ，抛物线方程为 . 设直线 ，联立 ，得：， 由韦达定理得：，， . 由，得是的角平分线， 则由角平分线定理可得. 过点向轴作垂线，交轴于,易知和相似， 所以. 因为， 所以，代入，可得， 解得，即. 直线的斜率 ，由，A 错误； 的横坐标，到轴距离为 ，B正确； 面积，C正确； 直线斜率 ，斜率为时倾斜角， 斜率为时倾斜角，D正确. 11. 已知函数，满足，且函数无零点，则（ ） A. 方程有解 B. 恒成立 C. 方程有解 D. 恒成立 【答案】BD 【解析】 【分析】先由无零点且，判断恒成立；再推出以及，从而逐项判断各选项. 【详解】设，则. 又为二次函数，且无零点，所以在实数范围内恒正或恒负. 由于，故，. 于是，，即，. 对于 D，由于对任意实数都成立，所以把换成，得恒成立，故 D 正确. 对于 B，由可得，即. 再由知恒成立，故 B 正确. 对于 A，方程若有解，则有零点，这与题意矛盾，故 A 错误. 对于 C，若方程有解，则由 B 可知应有，矛盾，故 C 错误. 综上，正确选项为 BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象得到函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而求得不等式的解集． 【详解】由图象可知，在，上单调递增，在上单调递减， 故当，时，，当时，. 原不等式等价于或，则或. 所以不等式的解集为. 13. 设，是非零向量，且，，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】采用换元法，令，再将题干及目标向量的模全部转为的关系式即可求解． 【详解】令，则，， 解得， 而， 则 又，当时，取得最小值， 即，因此． 14. 设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设集合，对于任意，，，计算出此时的最大值即可得到k的最小值． 【详解】解：根据题意，， 设集合，对于任意，，， 现计算此时的最大值， 要使最大，则数列的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小， 所以，则应该是满足的最小整数，故， ， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即， 又且， 的最大值为，例如， 则k的最小值是． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求的值； （2）若是边上一点，，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合分式有意义得到，根据二倍角公式、辅助角公式得到，进而求出角及. （2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，即，即. 因为，所以， 即， 所以， 又，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以，则. 【小问2详解】 方法一：设，则，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，， 所以的周长为. 方法二：设，则，，即， 故，故， 所以，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，，所以的周长为. 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 , 所以 故 所以 ， . 17. 某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． （1）现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； （2）从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 【答案】（1） （2） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. 【小问2详解】 设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 18. 已知函数． （1）证明：仅有一个极值点； （2）若有两个极值点，求的取值范围； （3）记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：． 【答案】（1） 由，得， 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又，， 则存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则仅有一个极值点. （2） （3） 由题意，对任意的恒成立， 即，设，则， 因为，由（2）知，函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 又，时，， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 即，所以， 设，则，即，， 所以，设， 则， 令，得， 由（1）知该方程当且仅当，即时等号成立，即， 则有唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则. 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，进而求解即可； （2）求导，分、两种情况，结合极值点的定义求解即可； （3）转化任意的恒成立为恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而得到，设，可得，设，利用导数分析其单调性，进而求证即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，得， 设，则， 当时，，则函数在上单调递减， 则最多只有1个根，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，时，， 要使有两个极值点，需使， 又，则得，即. 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 如图，锐二面角的大小为γ，α，β均为半平面， ，过A作 垂直于，垂足为 过B作 垂直于，垂足为 ，且 （1）若 ，求γ的值； （2）在(1)的条件下，设 P为内任意一点，且，满足 ，求点 P到的距离； （3）设点 M为二面角 内部的一个点，且，，且点 M满足: ①； ② 与所成的角为 ，射线 与所成的角为 设点M到直线. 的距离为，若对满足上述条件的任意和，均有 恒成立，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的运算律即可得到方程，解出即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量，得到相关方程，解出即可； （3）首先求出，再代入表达式，最后分析其最小值即可. 【小问1详解】 因为， 故， 即，解得，故． 【小问2详解】 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 因为，所以的一个法向量为， 设，则， 故， 从而，即，① ， 即，② 由①②得，代入（1）可得，故， 从而点到的距离为． 【小问3详解】 同（2）建系，设，因为，则， 又点到直线的距离为，则， 因为的一个单位法向量为的一个单位法向量为， 则， 因为点为二面角内部的一个点， 故，故， 从而，从而有， 代入可得， 即， 又， ， 故， 又因为， 故． 因为任意和，均有恒成立， 一方面：必有当，即时，不等式成立， 此时， 化简得，解得，故必有． 另一方面：当时，， 故恒成立，符合题意. 根据最值定义知，的最小值为． 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省仪征中学、江苏省江都中学、江苏省高邮中学 2025–2026学年度第二学期高三4月份联合测试数学试卷 命题单位：江都中学 命题人： 审核人： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合是绝对值小于的整数，，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则=（　　） A. B. C. D. 3. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 2 4. 若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. 4 D. 8. 如图，以为圆心，2为半径的圆与x轴交于A，B两点，P是上异于A，B的动点，直线PA，PB分别交y轴于C，D两点，以CD为直径的与x轴交于E，F两点，则EF的长为（ ） A. B. C. 6 D. 随P点而变 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，其中，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点到轴的距离为6 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为或 11. 已知函数，满足，且函数无零点，则（ ） A. 方程有解 B. 恒成立 C. 方程有解 D. 恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________. 13. 设，是非零向量，且，，则的最小值是______． 14. 设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求的值； （2）若是边上一点，，，求的周长. 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． （1）现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； （2）从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 18. 已知函数． （1）证明：仅有一个极值点； （2）若有两个极值点，求的取值范围； （3）记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：． 19. 如图，锐二面角的大小为γ，α，β均为半平面， ，过A作 垂直于，垂足为 过B作 垂直于，垂足为 ，且 （1）若 ，求γ的值； （2）在(1)的条件下，设 P为内任意一点，且，满足 ，求点 P到的距离； （3）设点 M为二面角 内部的一个点，且，，且点 M满足: ①； ② 与所成的角为 ，射线 与所成的角为 设点M到直线. 的距离为，若对满足上述条件的任意和，均有 恒成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $