江苏省仪征市第二中学2024-2025学年高三下学期第一次月考数学试卷

高三第一次月考数学试卷参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B A C 0 D AD AD 题号 11 答案 BCD 1.A 【分析】求出集合B,利用交集的定义可求得集合A⌒B 0<x2 [x≠0 【详解】不等式0<x2<3,可解得： <3则5<x<5 综合可得A={-√5<x<0或0<x<V5 而B={-2.-1,0,1,2,因此，A∩B={-1,1 故选：A 2.B 【分析】把ā-b仁2两边同时平方，结合向量的模长可得结果 【详解】由1a-b=2得，a2-2a.b+b2=4, |a=b=2,4-2a.6+4=4,即a,b=2 故选：B. 3.B 【分析】利用等差数列前n项和公式求解. 【详解】解：设等差数列{a}的首项为a,公差为d,由S为等差数列a,}的前n项和， S4=12,Sg=40, 4×3d=12 4a 2 ,解得a 8×7 2,4=1, 8a1+ 2 d=40 则S。=10×4+ 10× d=10x3+10x9 1=60. 2 2 故选：B 4.B 【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，引入中间量0,1，可判断a,b,c的大小关系 【详解】因为函数y=l0g。6x在(0，+o)上单调递减，所以log。0.5>log.0.6=1,即a>1: 因为函数y=0.5在R上单调递减，所以0<0.56<0.5”=1，即0<b<1: 因为函数y=logosx在(0，+∞)上单调递减，所以log。s6<l0gs1=0,即c<0 所以：c<b<a 故选：B 5.A 【分析】由z=x+xy∈R),代入z+1=z+3-21,利用模长公式整理得z在复平面内 对应点的轨迹方程 【详解】z在复平面内对应的点为(x,y),则z=x+i(x,y∈R), 由z+1=+3-2,得(x+1+y2=(x+3)+(y-2, 化简得x-y+3=0 故选：A 6.C 【分析】利用正切的两角差公式化为10角正切，再利用二倍角公式也把所求的式子化为10 角正切，从而得解 【详解】am35°=am(450-10）=1+a10 1-tan10 1+sin20°1+2sin10°cos10° (cos10°+sin10) C0s20° cos210°-sin210°(cos10°-sin10）(cos10°+sin10） =cos10°+sin10°_1+tan10°1 cos10°-sinl0°1-tanl0°m 故选：C 7.D 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径， 进而由球的体积公式求出答案 【详解】由题意得，扇形的弧长1=3×2红=2元， 3 所以该圆锥的底面圆的半径”= =1, 2π 所以该圆锥的高h=√32-r2=2√2. 设该圆锥内的球的最大半径为R,圆锥的轴截面如图所示： R B D 则依题意得5e=号×2x25=3+3+2到xR, 所以R= 2 所以该球的体积r的最大值是-巨： 2 3众 故选：D 8.D 【分析】令4F=1,可得出4B=31,BF=21,由双曲线的定义可得出AF、BF, 在△ABF中，利用余弦定理可出1=0a,可得出1F、4R,然后在△A55中利用余弦 3 定理可求得该双曲线的离心率的值 【详解】令AF=1,由AB=3AE,得AB=3I,BF=21, 由双曲线定义AF=AF+2a=1+2a,BF=BF+2a=2t+2a, 在a4B5中，∠FB=骨 由余弦定理可得AF+AB-2 AFAB cos∠FAB=BF, 得1+2a+32-21+2a×3cos写=(21+2a,整理得3n2-10at=0, 解得1=10a,所以，4=1+2a=16。 3 a,a5=1=10a. 3 在△AEF由余弦定理AFP+AF-2 AF-AF cos∠FAB=EF, jj-29号m…-4, 整理得1g5。=4c则e=子 故选：D 【点睛】方法点晴：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： (1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率 的值： (2)齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于的方程求解： (3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率， 9.AD 【分析】根据相关概念逐项判断可得结果 【详解】将数据按从小到大的顺序排列为2,4,4,6,6,67,10,1山，11，出现次数最多的数为6， 故A正确： 平均数为】(2+4+4+6+6+6+7+10+11+1D=6.7,故B错误： 10 中位数为646=6，故C错误， 2 :10×0.72=72,第72百分位数为从小到大排列的第8个数，即为10，故D正确. 故选：AD 10.AD 【分析】A选项，y=si2x和y=sinx的最小正周期，得到f（x的最小正周期：B选项， f(π-x)≠fx,B错误；C选项，变形得到fx=2 sinx(cosx-1,令f(x=0得 sinx=0或cosx=1,从而得到f(x)在区间[-2π，2x]上有5个零点，C错误；D选项，求导， 【详解】A选项，y=sin2x的最小正周期为n,y=sinx的最小正周期为2x, 两者的最小公倍数为2π，故f(x的最小正周期为2π，A正确： B选项，fπ-x)=sin(2x-2x-2sinπ-x=-sin2x-2sinx≠fx, 故曲线y=f(x不关于直线x=对称，B错误； C选项，fx=sin2x-2sinr=2 sin xcosx-2sinx=2 sinx(cosx-l, 令fx=0得2sinx(cosx-1=0,故sinx=0或cosx=1, 因为xe[-2,2π，所以sinx=0的解为x=-2π，x2=-元，x3=0,4=π，x3=2π， c0sx=1的解为x=-2π，x=0,x=2π， 综上，fx在区间-2x,2π上有5个零点，C错误： Dt项f刊=2s2-2ax=4w2-2ws=4msx-日-月 当后）时，w》4s[ 即/八-4eosx--}<0,所以在区同（后）内单调提减，D正确 故选：AD 11.BCD 【分析】根据几何特征应用线面垂直判定定理判断B,求出外接球的表面积判断C,计算异 面直线所成角，线面角判断A,D 【详解】对于A,设A,B在下底面的射影分别为A,B',则OA平分∠A,OB,,△A,OB 为等边三角形， 所以异面直线0，A,与0A所成的角为答故A错误。 对于B,易知OO垂直于底面，所以O0,1AB,, 又OA平分∠AOB,所以OA⊥AB,, 因为0An00,=0,0A,001c平面OOA,所以AB⊥平面OOA,从而AB⊥平面OOA, 故B正确。 对于C,设AB的中点为G,G在下底面上的射影为H, 上、下两底面间的距离为d,外接球的半径为R,则OA=2,OH=√3， 所--e46-4R-2=5+3, 从而所求外接球的表面积为4V3+12π，故C正确 对于D,设直线AB,与下底面所成的角为O,由上面可知d=2√√5-1，所以 如0251.51，故D正确 2 故选：BCD 12. 27 2 【分析】很据分布列性质求得a+b=子，然后由基本不等式求得最小值，并求得ab值，再 由期望公式计算出期望. 【详解】依题意可得a+++b=1.则a+b=, 66 因为a>0,b>0,所以-+ 当且仅当如_。，即6=2=时，等号成立，所以上+4的最小值为 b a 0 a b 2 故答案为： 27 2 1智 【分析】建立平面直角坐标系，利用距离关系求得点P的轨迹，求出圆心角，然后利用弧长 公式求解即可 【详解】如图，以B为原点，AB,BC所在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系xBy, 则A-6,0),B(0,0),设Px,),因为PA非21PB1,即Vx+6+y=2√+y, 整理得(x-2)2+y2=16所以动点P的轨迹为以O(2,0)为圆心4为半径的圆的一部分 设圆O与线段AB交于点M,与线段BC交于点R, 因为在RtsRBC0中，|RO4,BOF2,所以∠ROB= 3 ,所以MR=?×4=4元、 3· 所以点P的轨迹长度为红 故答案为智 14.2√2-717-22 【分析】根据黄金比及余弦定理得c0s36°.5+1，然后利用零点列方程化简得 4 a=-4 3a+2b+8+(a+2b)V5=0,根据a,beZ列式得 b=2 进而求出函数解析式，即可求解 函数值 【详解】在等腰4BC中，设AB:4C:,则BC=5- 2 cos36°=4B+AC3-BCr+2 √5-1 5+1 2AB.AC 2x 4 由题意得： [3a+2b+8=0 化简得：3a+2b+8+a+2b)V5=0,a,beZ a+2b=0 6=2…f国=-4r+2x+1f2)=42+22+1=25-7 a=-4 故答案为：2√2-7 1504=昏 (2)V13 【分析】(1)由正弦定理、两角和的正弦公式可得anA=√5，由此即可得解： (2)由正弦定理得b=4,再由余弦定理即可求解 【详解】(1)由正弦定理边化角可得√3 sin AcosC+sin C sin A-√3sinB=0, 即V3 sin AcosC+sin CsinA=√3sinB=√3sinA+C)=√3 sinAcosC+√3 cosAsinC, 所以sin Csin 4=5cos4sinC,因为sinC>0,cosA=sn4>0, 所以anA=5,又4(Q,解得4-背 (2)3.asinBasing=2Rsin Asin B-bsin 2b=2√5，这里R是三角形 2 ABC外接圆的半径， 解得b=4, 由余弦定理可得a=Vb+c2-2 becosA=,42+32-2×4x3×二=V13 16.(1)与性别有关联 (2)P(BA)>PBA,意义见解析 【分析】(1)提出零假设，并求出x,与表中数据对比即可下结论： (2)根据条件概率的计算公式求解即可. 【详解】(1)零假设H。:对机器人表演节目的喜欢与性别无关 根据列联表中的数据得x2=100×40x30-10x2050 16.667>10.828=0m' 50×50×60×40 依据a=0.001的独立性检验，可以推断H。不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关 联 (2)依题意得，P8A)=B_40=4 P(BA)= n(AB)20 2 n(4505' nA505 则 P(BA)P(B A) 意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节 目喜欢概率大： 或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多 等等 17.(1)证明过程见解析 a明 【分析】(1)由面面垂直得到线面垂直，进而得到AC⊥PO,BD1PO,故P0⊥平面 ABCD: (2)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设P(0,0,),1>0,根据线面角的正弦值得到 方程，求出1=2求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案 【详解】(1)因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD, 因为平面PBD⊥平面ABCD,BD为交线，ACc平面ABCD, 所以AC⊥平面PBD, 因为POc平面PBD,所以AC⊥PO, 因为平面PAC⊥平面ABCD,AC为交线，BDc平面ABCD, 所以BD⊥平面PBD, 因为POc平面PBD,所以BD⊥PO, 因为AC∩BD=O,AC,BDc平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD: (2)由(1)知，AC,PO,BD两两垂直， 以0为坐标原点，OA,OB,OP所在直线分别为x,',z轴，建立空间直角坐标系， 0A=20D=2,则D(0,-1,0),C(-2,0,0,B(0,1,0),DC=-21,0), 设P(00,,t>0,则PB=(0,1,-t,CB=(2,1,0), 设平面PBC的一个法向量为而=(x,y,z), m-PB=(x,八z(0,l,-1=y-1z=0 mCB=(x,y,z(2,l,0=2x+y=0 令z=1得y=21,x=-t,故m=(-1,21,1, D ---C A Bù 直线DC与平面P8C所成角的正弦值为4W5 15 DC.m 即cos DC,m -21,0-(-4,21,145 DC外-例4+1xV-}2+4+115 化简得1=负值舍去，则=山小 平面PAC的一个法向量为万=(0,1,0)， 设平面PAC与平面PBC夹角为O, 1. (01,0 cos0 cosm= Vg*1*1 所以平面PAC与平面PBC夹角余弦值为 18.(I)an=n(n∈N (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式： (2)设(x)=lnx-x+1,求导，可得f(x)的单调性，进而可得结论： (3)由题意需证 别 ,由(2)可得n(1+a,≤a,利用放缩 法与裂项相消法可证结论 【详解】(1)设等差数列a,}公差为d(d≠0)，a,=1,a2,a4,a,成等比数列，则a=aag, 所以(1+3d)子=(1+d)1+7d),解得d=1或d=0(舍去)，所以an=nneN): (2)设f)=nx-x+1,f)=1-1=0,当x≥1时，)≤0，fx)单调递减， 1 f(x)mx=f0)=0,所以lnx-x+1≤0，由(1)可知a。≥1， 则有na。-a,+l≤0，所以不等式ha。≤a。-1恒立. 6因安}安》.所以要安}e。 只需证： 根据(2)可知lna,≤a。-I,那么ln1+a,≤a。, [}-哈}+安2024-2025学年度第二学期高三第一次月考 数学试卷 一 单选题 1. 知集合A=x0<x}<3,B=-2.-1,0,1.2,则AB=() B./0.1,2 C.1-1.0.1 A.1-1.1 D. 1-2-1.0.1 2. 知向量ā,满足|ll={=-=,则=() C. 22 B. 2 A.0 D. 23 3. 已知S.为等差数列{a. 的前n项和,若S.=12,S=40,则S。=( ) A. 56 B.60 C. 64 D. 68 4. 已知a=log0.5,b=0.5*,c=log。6,则a,b,c的大小关系为( ) C. a<c<b A.a<b<c B.c<ba D.c<a<b 5. 已知复数z满足z+1l=z+3-2i,且2在复平面内对应的点为(x,y),则() A.x-y+3-0 B.x+y+3-0 C. 5x-2y+6=0 D. 5r+2y+6=0 1+sin20* 6. 若tan35*=n,则 =() cos20o 11 1-m C. B. A. 1m 1m D. n 7. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3,圆心角为2=的扇形,在该圆锥内有一个体积为 3 V的球,则该球的体积V的最大值是( ). B. A. 2it D. # 2} 试卷第3页,共4页 点,且AB=3AF ,若乙/F AB-” 则双曲线C的离心率为( ) ##? ### A7# C. n1C D. B. 二、多选题 9. 现有一组样本数据4.2.6,11,6.7,10,4,6,11,则这组数据的() A. 众数为6 B. 平均数为7.6 C. 中位数为6.5 D. 第72百分位数为10 10. 已知函数f(x)=sin2x-2sinx,则( ) A. /(x)的最小正周期为2n D. (2)在区(2#) C. /(x)在区间[-2n.2π]上有4个零点 内单调递减 11. 如图,该图展现的是一种被称为“正六角反梭柱”的多面体,上、下两底面分别是两个全 等且平行的正六边形A.BCD.EE,ABCDEF,它们的中心分别为O,0,侧面由12个全 等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成,若该“正六角反梭柱”的各梭长都为2,则下列 命题正确的是() 试卷第4页,共4页 A. 异面直线0.A.与04所成的角为” B. A.B1平面O.OA C. 该多面体外接球的表面积为(4V3+12) D. 直线AB与下底面所成角的正弦值为、3-1 三、填空题 12. 已知a>0.b>0,随机变量X的分布列为 0 b 13. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现;平面内到两个定点A:B的距离之比为定值 (>0且az1)的点的轨迹是一个圆后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼 斯圆,简称阿氏圆.已知动点P在边长为6的正方形ABCD内(包含边界)运动,且满足 |P4-2|PB,则动点P的轨迹长度为_ .己知 cos36*是函数f(x)=ax*+bx+1(a.beZ)的一个零点,则/(2)的值为__ 试卷第3页,共4页 四、解答题 15. 已知a,b,c分别为 ABC三个内角A.B.C的对边,且3acosC+csinA-3b=0 ()求A; (2若c-3.asinB-23,求 16. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演,某机构随机抽取了100名观众进行问卷 调查,得到了如下数据 喜欢 不喜欢 40 男性 10 20 女性 30 (1)依据a=0.001的独立性检验,试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联? (2)从这100名样本观众中任选1名,设事件A=“选到的观众是男性”,事件B=“选到的观众 喜欢机器人团体舞蹈表演节目”,比较P(BA)和P(BA)的大小,并解释其意义 nad-bc) (a+b)(c+dl(a+c)(b+d) ,n=a+b+c+d. 0 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 底面为菱形的四校锥P-ABCD中,AC与BD交于点O,平面PBD1平面ABCD,平 面PAC1平面ABCD. 试卷第4页,共4页 (1)证明: P01平面ABCD: 45 (2)若0A=20D=2,直线DC与平面PBC所成角的正弦值为 2 ,求平面PAC与平面 PBC夹角的余弦值 18. 已知公差不为零的等差数列a.满足a=1,且a.a,a.成等比数列 (1)求数列a.的通项公式 (2)证明:lna.<a.-1; a._,证明: 11#1分#01)1)# (3)若数列.满足b三 (e为自然对数 的底). 19. 已知平面上的动点P到点F(1.0)的距离与到直线/:x=-1的距离相等,点P的轨迹为曲 线E. (1)求曲线E的方程: (2)设过点F的直线交E于4.B两点,过点M(-1.0)的直线M4与E的另一个交点为C,点A 在M与C之间 (i)证明:线段BC垂直于x轴; (ii)记&FBC的面积为S.,MFC的面积为S,求5S.-S.的取值范围 试卷第3页,共4页 高三第一次月考数学试卷参考答案 题号 A 2 3 5 9 6 , 10 答案 AD B B A C D D A B AD 11 答案 BCD 1.A 【分析】求出集合B,利用交集的定义可求得集合4OB。 [02 .x0 【详解】不等式0<x2<3,可解得: l3' 综合可得A-{x<x<0或0<<. 而B=-2.-1.0.1.2,因此,40B=-1.1 故选:A. 2. B 【分析】把a-5=2两边同时平方,结合向量的模长可得结果 【详解】由l-b=2得,-2ā:+b-4 =l$lb=2, '4-2b+4=4:即;-$ 故选:B. 3. B 【分析】利用等差数列前n项和公式求解 【详解】解:设等差数列a.的首项为,公差为d,由S.为等差数列a.的前n项和, S.=12,S=40. 答案第7页,共12页 $$32$ 4a+ 2 , ,解得a= 3 8a. 8x7 =44 10×9 则S =10x+ $ =10 3.$10x9$ +2 2 mr1=6 0$ 2 故选:B 4.B 【分析】利用指数函数,对数函数的单调性,引入中间量0.1,可判断a.b.c的大小关系 【详解】因为函数y=log。x在(0,+x)上单调递减,所以log0.5log0.6=1,即a>1; 因为函数y=0.5在R上单调递减,所以0<0.5^*<0.5^{*}=1,即0 $<1;$ 因为函数y=logsx在(0.+xo]上单调递减,所以log6<log。1=0,即c<0 所以:c<b<a. 故选:B 5. A 【分析】由2=x+yi(x.y=R),代入z+l=z+3-2i,利用模长公式整理得z在复平面内 对应点的轨迹方程. 【详解】z在复平面内对应的点为(xy),则z三x+yix,yER); 由2+1=z+3-2i,得(x+1){+y=(x+3){+(y-2)} 化简得x-y+3-0 故选:A 6.C 【分析】利用正切的两角差公式化为10角正切,再利用二倍角公式也把所求的式子化为10 角正切,从而得解 答案第6页,共12页 1-tan10* 【详解】tan35=tan(45o-10*}= 1+tan10* =m, 1+sin 20° 1+2sin10*cos10 (cos10”+sin10~)? cos20。 cos^}10°-sin2}10*- (cos10*-sin10)(cos10+sin10) cos10*+sin10* 1+tan 10" 1 cos10*-sin10* 1-tan10* m 故选:C. 7.D (分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高,由三角形面积公式即可求解内切球半径 进而由球的体积公式求出答案 3 1_1. 所以该圆锥的底面圆的半径,三 2π 所以该圆锥的高-3--22 设该圆锥内的球的最大半径为R,圆锥的轴截面如图所示; R D C 则依题意得Sc= ) 2 所以R二 2 . 所以该球的休的段大是一{ 故选:D 答案第7页,共12页 8. D 【分析】令AF]=1,可得出AB=3r,BF =2t, 由双曲线的定义可得出AF 、 BF, 定理可求得该双曲线的离心率的值 【详解】令AF =1,由AB=3AF ,得AB=3t,BF$= t$ 由双曲线定义AF -AF +2a=1+2a,BF|BF +2a=2t+2 , 由余弦定理可得AF^}+AB{$-2AFl ABlcos FAB=BE^$} 3 在△AFF由余弦定理AF母+AF-2 AF4AF$ os FAB=FE^} #1)(0)0~2). 整理得196-4e,则e-C-7. 故选:D. 【点晴】方法点睛:求解圆或双曲线的离心率的方法如下; (1)定义法:通过已知条件列出方程组,求得a、C的值,根据离心率的定义求解离心率 的值; (2)齐次式法:由已知条件得出关于a、C的齐次方程,然后转化为关于e的方程求解 (3)特殊值法:通过取特殊位置或特殊值,求得离心率 9. AD 答案第6页,共12页