期中高频考点突破训练2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册（21考点）

期中高频考点突破训练2025-2026学年鲁教版 （五四制）八年级下册（21考点） 考点1：利用菱形的性质求值 1.如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，两点的坐标分别是，，且轴，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.如图，在菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是 ． 考点2：菱形的判定 1.如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠BAC＝∠ABO B．∠ABC＝∠BAC C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OB2 3.如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 考点3：菱形的性质与判定综合 1．如图，将等边沿射线BC向右平移到的位置，连接，则下列结论：①；②、互相平分；③四边形是菱形；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，菱形，点在上（不与点、重合），点在上，连接、、，交于点，，于点．下列结论：①；②当时，；③；④当时，则，其中正确的是 （填序号）． 3．如图，在中，，D是斜边的中点，连接，分别过点B，C作，，与交于点E．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为，求的长． 考点4：利用矩形的性质求值 1.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，则EF的长为（　　） A． B． C． D．5 2.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边DC上，若AM平分∠DMB，则∠AMD的大小是（　　） A．45° B．60° C．75° D．30° 3.如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　 　． 考点5：矩形的判定 1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 2.如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形． 3.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形． 考点6：矩形的性质与判定综合 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C=90°，点E、F分别在AB、DC上，连接DE，BF，若AE=CF；求证：DE=BF． 2．如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，直接写出与之间的关系为 ． 3.如图，在中，延长到点，使得，连接，，，交于点，已知． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 考点7：利用正方形的性质求值 1.如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 3.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    考点8：正方形的判定 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　）    A． B． C． D． 2.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 3.已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 考点9：正方形的性质与判定综合 1.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝4，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF始终是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是2；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是4+2；④四边形OECF的面积始终是4．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC． （1）求证：四边形AFDE为正方形； （2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积． 考点10：二次根式的相关概念 1.下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 3.下列二次根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 考点11：二次根式的性质与化简 1.若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 2.下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3.已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ． 考点12:分母有理化与大小比较 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．设，，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D． 考点13：与二次根式有关的定义新运算与规律探究 1．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 2．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 3．有如下一串二次根式： ； ； ； ，仿照，写出第个二次根式 ． 考点14：二次根式的运算 1．下列各等式成立的是（   ） A．B． C． D． 2．计算： ． 3.计算： （1）；（2）． 考点15：二次根式化简求值 1．已知，，则的值为（    ）． A．8 B．6 C．3 D． 2.已知，则代数式的值是 ． 3.已知，，求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）x2+xy+y2． 考点16：二次根式的应用 1．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 2.如果正方形的一条对角线长为3，那么该正方形的面积为 ． 3.有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 考点17：一元二次方程的概念与解 1.下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. x﹣1=0 B. x2+5=0 C. x3+x=3 D. ax2+bx+c=0 2.若是关于的一元二次方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 考点18：解一元二次方程 1.用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+4）2＝21 2.已知菱形ABCD的两条对角线长是方程x2-7x+12=0的两个根，则菱形ABCD的面积为（    ） A．6 B．7.5 C．10 D．12.5 3.用合适的方法解下列方程： (1)(2) 考点19：一元二次方程根的判别式 1．一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 2．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 3．已知 关于x的一元二次方程． 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 考点20：一元二次方程的根与系数的关系 1．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( ) A． B． C． D． 2．若，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 3．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2．且x12+x22＝9，求m的值． 考点21：一元二次方程应用题 1.要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程共7天，每天3场比赛．设比赛组织者邀请x个队参赛，则根据题意所列方程正确的是（　　） A．x（x＋1）＝21 B．x（x－1）＝21 C．x（x＋1）＝21 D．x（x－1）＝21 2.某农业大镇2023年猕猴桃总产量为12万吨，预计2025年猕猴桃总产量达到16万吨，求该镇猕猴桃总产量的年平均增长率，设该镇猕猴桃总产量的年平均增长率为x，则可列方程为______． 3．甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元． （1）求甲乙两件服装的进价各是多少元； （2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率； （3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）． 【答案】 期中高频考点突破训练2025-2026学年鲁教版 （五四制）八年级下册（21考点） 考点1：利用菱形的性质求值 1.如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，两点的坐标分别是，，且轴，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，在菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是 ． 【答案】 考点2：菱形的判定 1.如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 【答案】C． 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠BAC＝∠ABO B．∠ABC＝∠BAC C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OB2 【答案】C． 3.如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 【答案】 考点3：菱形的性质与判定综合 1．如图，将等边沿射线BC向右平移到的位置，连接，则下列结论：①；②、互相平分；③四边形是菱形；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 2．如图，菱形，点在上（不与点、重合），点在上，连接、、，交于点，，于点．下列结论：①；②当时，；③；④当时，则，其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④ 3．如图，在中，，D是斜边的中点，连接，分别过点B，C作，，与交于点E．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为，求的长． 【答案】（1）∵，， ∴四边形是怕平行四边形， ∵，D是斜边的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）连接交于点O，设， ∵，， ∴，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 解得（舍去）． 故． 考点4：利用矩形的性质求值 1.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，则EF的长为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 2.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边DC上，若AM平分∠DMB，则∠AMD的大小是（　　） A．45° B．60° C．75° D．30° 【答案】C． 3.如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　 　． 【答案】12． 考点5：矩形的判定 1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 【答案】DE＝FG（答案不唯一）． 2.如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°． ∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°． ∴∠GOK＝90°， 同理：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°， ∴∠HGO＝90°， ∴四边形KHGO是矩形． 3.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形． 【答案】证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG， ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴EF⊥FG， ∴四边形EFGH是矩形． 考点6：矩形的性质与判定综合 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C=90°，点E、F分别在AB、DC上，连接DE，BF，若AE=CF；求证：DE=BF． 【答案】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠C=180°， ∵∠C=90°， ∴∠ADC=90°， ∵∠A=∠C=90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵AE=CF， ∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF， ∵AB∥CD， ∴四边形EDFB为平行四边形， ∴DE=BF． 2．如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，直接写出与之间的关系为 ． 【答案】（1）证明：∵在中，，是中线， ∴，， ∴． ∵是的外角的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点F为对角线，的交点， ∴，． ∵是中线， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 3.如图，在中，延长到点，使得，连接，，，交于点，已知． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴，点为线段的中点， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． （2）解：∵，， ∴为等边三角形． ∴， 由（）得， ∴． 在中，， ∴． 考点7：利用正方形的性质求值 1.如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【答案】 考点8：正方形的判定 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 2.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【答案】D 3.已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 考点9：正方形的性质与判定综合 1.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 2．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝4，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF始终是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是2；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是4+2；④四边形OECF的面积始终是4．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC． （1）求证：四边形AFDE为正方形； （2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积． 【答案】（1）略 （2）4 【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠EAD． ∵DE∥AB， ∴∠EDA＝∠FAD． ∴∠EDA＝∠EAD． ∴AE＝DE． ∴四边形AFDE是菱形． ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AFDE是正方形． （2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝2， ∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝2． ∴四边形AFDE的面积为2×2＝4． 考点10：二次根式的相关概念 1.下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.下列二次根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 考点11：二次根式的性质与化简 1.若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【答案】C 2.下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 3.已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ． 【答案】 考点12:分母有理化与大小比较 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 3．设，，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 考点13：与二次根式有关的定义新运算与规律探究 1．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 【答案】A 3．有如下一串二次根式： ； ； ； ，仿照，写出第个二次根式 ． 【答案】 考点14：二次根式的运算 1．下列各等式成立的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 2．计算： ． 【答案】/ 3.计算： （1）；（2）． 【答案】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 考点15：二次根式化简求值 1．已知，，则的值为（    ）． A．8 B．6 C．3 D． 【答案】D 2.已知，则代数式的值是 ． 【答案】． 3.已知，，求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）x2+xy+y2． 【答案】（1）； （2）15． 【解答】解：（1）由题意得： ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） ＝4×2 ＝8； （2）x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy ＝ ＝ ＝16﹣1 ＝15． 考点16：二次根式的应用 1．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.如果正方形的一条对角线长为3，那么该正方形的面积为 ． 【答案】9 3.有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【答案】(1)(2)(3)5 【详解】（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； （2）解：该矩形木料的长为： ； （3）解：∵， 又∵， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 考点17：一元二次方程的概念与解 1.下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. x﹣1=0 B. x2+5=0 C. x3+x=3 D. ax2+bx+c=0 【答案】B 2.若是关于的一元二次方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 【答案】0． 考点18：解一元二次方程 1.用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+4）2＝21 【答案】A 2.已知菱形ABCD的两条对角线长是方程x2-7x+12=0的两个根，则菱形ABCD的面积为（    ） A．6 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】A 3.用合适的方法解下列方程： (1)(2) 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解： ， 或， ，； （2） 整理得， ， 或， ，． 考点19：一元二次方程根的判别式 1．一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】B 2．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 3．已知 关于x的一元二次方程． 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 【答案】 （1）a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3 所以， ∵∴即 ∴无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根. （2）∵两条直角边的长 b和c恰好是这个方程的两个根 ∴根据韦达定理可知 ∴，解得. 考点20：一元二次方程的根与系数的关系 1．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 2．若，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【答案】B 3．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2．且x12+x22＝9，求m的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根， ∴Δ≥0，即（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0， 整理得：﹣4m+5≥0， 解得：m≤； （2）∵该方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2﹣1， ∵x12+x22＝9， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝9，即（1﹣2m）2﹣2（m2﹣1）＝9， 整理得：m2﹣2m﹣3＝0，即（m﹣3）（m+1）＝0， 解得：m＝3（舍去）或m＝﹣1， 则m的值为﹣1． 考点21：一元二次方程应用题 1.要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程共7天，每天3场比赛．设比赛组织者邀请x个队参赛，则根据题意所列方程正确的是（　　） A．x（x＋1）＝21 B．x（x－1）＝21 C．x（x＋1）＝21 D．x（x－1）＝21 【答案】B 2.某农业大镇2023年猕猴桃总产量为12万吨，预计2025年猕猴桃总产量达到16万吨，求该镇猕猴桃总产量的年平均增长率，设该镇猕猴桃总产量的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 3．甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元． （1）求甲乙两件服装的进价各是多少元； （2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率； （3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）． 【答案】（1）设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500-x）元， 根据题意得：90%•（1+30%）x+90%•（1+20%）（500-x）-500=67， 解得：x=300， 500-x=200． 答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元． （2）∵乙服装的成本为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元， ∴设每件乙服装进价的平均增长率为y， 则， 解得：=0.1=10%，=-2.1（不合题意，舍去）． 答：每件乙服装进价的平均增长率为10%； （3）∵每件乙服装进价按平均增长率再次上调 ∴再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元） ∵商场仍按9折出售，设定价为a元时 0.9a-266.2＞0 解得：a＞ 故定价至少为296元时，乙服装才可获得利润． 学科网（北京）股份有限公司 $