贵州贵阳市清华中学2025-2026学年高二下学期4月考试数学试题

贵阳市清华中学2027届高二下学期4月考试题 数学参考答案 题号 1 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 DB A D B A C ABD ACD AD 题号 12 13 14 7-25 答案 2 2 会树 15.【解】(1)由fx)=x(c-a2,得f(x)=(c-a2+2x(x-a=(c-a)(3xa). 因为=2为的极小值点所以f(2)=0，解得F2或6 经检验，6时，x)在x=2处取极大值，不符题意，所以2 (2)当a4时，fw)=(x4)3x4),令f)=0得=4或 当x∈[-1，时，)>0)单调递增，当x∈(，3]时，f()<0,f)单调递减 所以⑤)×（任-4)-为在区间1,3]的极大值，也是最大值， 由于-1)=-25，f3)=3,-1)3),所以最小值为-25， 综上所述，)在区间-1,3]的最小值为25，最大值为 16.【解】(1)设{a}的公差为d,则由题有 0A》4=1.d-.所以a=a1 2)由得6--)a=- 所raa+a=b引+-附 所以女=-+e-1兮。 两式相减-=+2+2日2[”-0-因。 即 呢”指一*号9 1 +2 1-1 2 1 17.【解】(1)如图1，在线段AC上取点G,使得AC=3CG,连接GE,GF, 因为BA=3BP,所以GF∥BC,且GP=BC,又DB∥BC,且DE=2BC, 所以GF∥DE且GF=DE, 所以四边形GEDF为平行四边形，所以DF∥GE, 图1 因为DFa平面ACE,GEc平面ACE,所以DF∥平面ACE. (2)因为BD=1,AD=2,∠ADB=60, 所以AB=BD+AD-2 DxADx cO/AD=+-2xk2x号3， 即AB=√3，所以BD2+AB2=AD,则BD1AB, 因为DE⊥BD,DE⊥AD,BD∩AD=D,BD,ADC平面ABD, 所以DE⊥平面ABD.又DB∥BC,所以BC⊥平面ABD.以B为坐标原点，建立如图2所示的空间直 角4华标系，则R号a45.00,c0,0B0L2则cA-65.0-)C丽=01-C原=0-》 设平面ACB的法向量为m=(,),则 为，E特-aw cF.n-3 ￥-32，=0 设平面CEF的法向量为n=(x22,),则 CE.ii=y2=0 n.n 11 11v145 令52=1，可得=(3V3,1,1).所以cosm,川= 啊V5xV29145, 1 F 为 故平面4CB与平面CBF夹角的余弦值为11④ 图2 145 18.【解】(1)f(x)=2ae2+(1-2a)e-1=(e-1)(2ae+1.当a=-1时，f(0)=0f0)=2, 则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为：y2=0,即=2 (2)①a20,则2ae+1>0.令f(x)=0,解得x=0, 当x∈(-o,0)时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(0，+o)时，(x)>0,fx)单调递增； ②.当a<0时.由()=0得，x=0或x=h() (动0即a<时.9在(n(》单调递减，在((》单调递在(Q+o)单调说减： (i)（)0即a=-号时，f()在()单调递减： (ii)1 0国-分a心0时，在(0)单调递减，在0n》泸调造端，在动》+单 调递减。 (2)由4)知，a<时，f(的极小值为(》1名)10 2a<0时，f(的极小值为f(o)=1-a>1>0, a=-时，f(y在（←n,o)单调，故a<0时，f()至多有一个零点. 当a≥0时，易知f(x)在(-o,0)单调递减，在(0，+o)单调递增. 要使f(x)有两个零点，则f(0)<0,即a+1-2a<0,得a>1. 令F(x)=f(x)-f(-x),(x>0),则 F'(x)=f'(x)+f'(-x)=(2ae2+(1-2a)e-1+(2ae2r+(1-2a)e*-=2a(e+e+1(e+e-2+(e+e）-220, 所以F(x)在x>0时单调递增，F(x)>F(0)=0,f(x)>f(-x) 不妨设<x2,则x1<0,x2>0,-x2<0,f(x)=f(x)>f(x) 由f(x)在(-∞，0)单调递减得，x<-2,即x+x2<0 19.【解】1)由题意可知号0小则P点的坐标为号 代入抛物线方程解得p=2或p=-2（舍去)，所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)(i)由题意可知直线PT的方程为y=-x+3,直线PT与抛物线y2=4x联立可得y2+4y-12=0, 解得y=2,=-6,所以P1,2),2(9,-6),所以Pg=82. 如图所示，由图象可知，对任意面积s,抛物线位于直线PQ右上方的部分均存在2点使得 △M,PQ△M,P2的面积均为定值s,则抛物线在直线Q的左下方部分存在唯一 的一点M满足条件， 此时M1到直线PO的距离达到最大值，即在M1处的切线与直线PO平行， M 当y<0时，裘物线方程为=-2y-子-1，所以4-2小， 则M到直线e的距离为d-L+-2引--2N5,所以定值5-P@d-25x85-16. √2 3 (i)PQ是∠APB的角平分线，所以T点到直线PA、PB的距离相等，设该距离为定值r(r>O). 当PA的斜率不存在时，由题意可知∠AT-4易知此时r=2PB与x轴平行，不满足题意， 所以r≠2，PA、PB的斜率均存在.设过P点的直线斜率为k,则过P点的直线可表示为x-y-k+2=0, 则 3k-0-k+2=r,（4-72)k2+8k+4-72=0,则有kka=1, Vk2+1 设4(5小B(少)，则=4，=4红，两式相减可得k。-当-业=4 -x2 +V 利用点斜式方程可得14a:4x-（(乃+y2)y+y2=0, 由22山，化商可背.卫-20y0, 结合14：4x-(+)y+y2=0,易知直线AB过定点G(-3,-2).清华中学2027届高二下学期4月考试题 数学 第I卷（选择题：共58分） 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每个小题给出的4个选项中，只有 一项是符合题目要求的。) 1.己知角ax的终边经过点P(-1,2),则cosa的值为() A.-1 B.25 5 C.-25 D.-v5 5 2.复数的共钷复数是（ A.2+i B.-2+i C.2-i D.-2-i 3.从贵阳市清华中学高二年级的21个班中选出两个班分别参加3月12日早上和下午的植 树节活动，共有多少种不同选法？() A.420种 B.210种 C.441种 D.140种 4.已知{a}为正项等比数列，若4a81,则1og(a4)=(） A.2 B.3 C.4 D.5 5。已知圆C:-2+y=1与双线尽若茶=16>06>0)的新近线相切，则双南线E 的离心率e=( A.6 B.3 3 C. D.23 3 6.若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为() A.3 B.95 c.33 D.√5 2 16 16 7.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三个场地参加志愿服务，每名志 愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同 一个场地，则不同的安排方法种数为( A.114 B.96 C.72 D.124 8.如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠DCA=45°，∠BDC=30°， ∠BCA=15°，AB=5√5，则CD的长为( ) A.5V5 B.55 C.10W5 D.10W5 数学试卷 第1页，共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.关于x- 的展开式，下列结论正确的是() A.展开式共7项 B.所有项的二项式系数之和为64 C.常数项为540 D.所有项的系数之和为64 10.已知函数f(x)=4sin(x+p)+B1>0,0>0,网水的图象如图所示.下列说法正确 的是() A.函数f(x)的一个对称中心是 O C.将函数g(x)=2cosx+1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的； 12 再向右平移受个单位长度，可得到函数了（四的图象 29元11π D.函数f(y)在xe0.d)上有5个零点.则a的取值范围为(2,4 11.已知函数f(x)=x+6x2+6(m∈R),则下列说法正确的是() A.若x=0为∫(x)的极小值点，则m的取值范围为(0，+∞) B.不存在m,使得f(x)在(0，+o)上有且仅有一个零点 C.当m=1时，过点(0,0)存在两条直线与曲线y=f(x)相切 1 2 4051 D.存在m,使得f 4051 2026 、2026 2026 2026 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面α的一个法向量为元=(-4,2，)，平面B的一个法向量为i=(6,5,1),若川B, 则t= 13.己知直线1：x-y+2k+1=0恒过定点A,点B为圆C:(x-1)+(y-3)=4上的动点： O为坐标原点，则△4OB面积的最小值为一 14.若对任意的x∈(0，+w),恒有e1-≥nr-ax2,则实数a的取值范围为 e 数学试卷 第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题共7分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。 15.己知函数f(w)=x(x-)2 (1)若f)在x=2处有极小值，求a: (2)若a=4,求∫(x)在区间[-1,3]上的最值. 16.己知等差数列{a}的前n项和为Sn,且S。=4S,a=2a+1. (1)求数列{a}的通项公式： 1 (2》数列私}满足五-，求数列红6}的前n项和 17.在△ABC中，AB⊥BC,AB=BC=3,点D,E分别在边AB,AC上，且DE∥BC, BD=1,将△ADE沿DE折起，点A落在点A的位置，连接AB,AC,得到如图所示的四棱 锥A-BCED,点F在线段BA上，且BA=3BF. (1)证明：DF∥平面ACE. (2)设∠ADB=60°，求平面ACB与平面CEF夹角的余弦值. 数学试卷 第3页，共4页 18.己知函数f(x)=ae2x+(1-2a)e-x. (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若f(x)有两个不同零点，x2,证明：a>1且￥+x2<0. 19.已知点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，P是抛物线C上的一点且有FP=(0,2). (1)求抛物线C的方程： (2)己知点T(3,0),连接P、T并延长交抛物线C于另外一点Q. (i)若抛物线C上有且仅有3个点MM2、M,使得△MPQ△M,PQ△MPQ的面积 均为定值S,求S的值： (ii)己知点A、B是抛物线C上异于P、Q的两点，且PO是∠APB的角平分线.请 问直线AB是否过定点G,若过定点，求出G点的坐标，若不过定点，请说明理由 数学试卷 第4页，共4页