精品解析：贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高二下学期教学质量监测(四)数学试题

贵阳一中2023级高二年级教学质量监测卷（四） 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将答题卡交回，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，与同向且，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 3. 函数为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 20 B. 21 C. －20 D. －21 4. 在的展开式中，各项二项式系数的和与各项系数的和之比为，则（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 5. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. “勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，将上述操作记为一次操作，如此继续，则下列结论正确的个数有（ ）个. ①连续操作五次后，共有64个正方形； ②第四次操作后所得正方形的边长为； ③若总共得到15个正方形，设，则这15个正方形的周长之和为； ④已知数列中等于正方形的面积，当时，表示第次操作新增正方形的面积，则数列为等比数列. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 15 8. 已知对于任意正数都有，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 为周期数列 11. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则异面直线和所成的角的余弦值为 B. 若，则平面 C. 若三棱柱存在内切球，则 D. 若，则点到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 为了提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，贵阳一中校团委将安排该校的三个年级志愿服务团队在暑假期间开展“环境保护、社区服务、博物馆讲解、支教活动、寻找非遗文化、AI智能便民活动”六项活动，并对活动开展提出了如下要求，每个年级开展2项活动，每项活动只安排一个年级，则这六项活动开展的不同安排方案种数是________.（用数字作答） 13. 已知某公司加工一种芯片的不合格率为，其中，若加工后的20颗这种芯片中恰有4颗不合格的概率为，且各颗芯片是否为不合格品相互独立，则当取最大值时，________. 14. 三门问题（Monty Hall problom）也称蒙提霍尔问题，是比较著名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4扇编号为1，2，3，4的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2号门，用表示号门后有奖品，用表示主持人打开号门，则________；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，若是中一内角，且. （1）求值； （2）若的面积为2，中三个内角的对边分别为、、，且，求的值. 16. 2025春晚中创意融合节目机器人跳舞引起了很高关注，跳舞人形机器人Unitree H1搭载了AI驱动的运动控制技术，具备出色的运动控制能力，能够完成复杂的动作，如原地转体、倒立转体等，展现了高精度的运动性能.为了测试某人形机器人在动态环境中捕捉执行动作的能力，命令该机器人在动态环境中执行任务，规则如下：该机器人需要依次通过5个动态环境完成关键动作，成功完成3个动作，即认为其完成任务，每个动态环境中都存在障碍物，若被阻挡则不能完成动作.机器人成功通过一个动态环境完成动作的概率为，被障碍物阻挡的概率为.每个动态环境的测试结果相互独立，若机器人累计成功通过3个动态环境，任务提前结束，若机器人被障碍物阻挡的次数达到3次，则任务无法完成，任务结束. （1）若该人形机器人在过第4个动态环境后完成任务，求此事件的概率； （2）记该人形机器人在任务结束时通过动态环境的个数为，求的分布列和数学期望. 17. 如图，在三棱锥中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知点是圆上的动点，是坐标原点，，过垂直于轴的直线与过垂直于轴的直线交于点，点的轨迹为曲线. （1）求方程； （2），，点是上一点，在射线上且，，求的面积. 19. 函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵阳一中2023级高二年级教学质量监测卷（四） 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将答题卡交回，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式化简集合A，B，再进行交集运算即可. 【详解】由得，在时，，所以，所以. 故选：C. 2. 已知，与同向且，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，，利用模长可得，从而得解. 【详解】与同向， ，又， ，解得， . 故选：D. 3. 函数为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 20 B. 21 C. －20 D. －21 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性知，令带入相应解析式即可求得，取其相反数即可. 【详解】， 因为为定义在上的奇函数，所以. 故选：C. 4. 在的展开式中，各项二项式系数的和与各项系数的和之比为，则（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】采用赋值法，令得二项展开式中各项系数和为，二项式系数和为，进而可求解. 【详解】展开式中各项二项式系数的和为， 令得二项展开式中各项系数和为，， 即，解得. 故选：B. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可确定A；求出周期即可求得，利用图象过特殊点即可确定，由此可得函数解析式，结合图象的平移变换即可求得答案. 【详解】根据图象可得，周期， 又，则，所以， ，则，，因为，则， 所以函数的解析式为， 由函数的图象向右平移个单位长度得到 的图象，即， 故选：D. 6. “勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，将上述操作记为一次操作，如此继续，则下列结论正确的个数有（ ）个. ①连续操作五次后，共有64个正方形； ②第四次操作后所得正方形的边长为； ③若总共得到15个正方形，设，则这15个正方形的周长之和为； ④已知数列中等于正方形的面积，当时，表示第次操作新增正方形的面积，则数列为等比数列. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定信息确定第次操作新增正方形的个数及正方形边长，再结合等比数列逐一判断各个命题即可. 【详解】第次操作新增正方形的数量为个，连续操作五次，共有个，①错误； 第次操作所得正方形的边长为，则第四次操作后所得正方形的边长为，②错误； 若总共得到15个正方形需要连续进行3次操作，由，得正方形的周长为32， 第次操作新增正方形的周长为，因此这15个正方形的周长之和为，③正确； 由①②知，因此数列为公比等于1的等比数列，④正确. 故选：B 7. 过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 8. 已知对于任意正数都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，设，所以，由的单调性可得，再设，利用导数求其最大值即可. 【详解】对于任意正数都有，可得， 设，则， 因为，所以在上单调递增， 所以由，可得，因为，所以， 设，则， 令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，，所以，即的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】用对立事件公式求判断A. 通过对立事件条件概率公式算判断B.  先求，再用全概率公式算判断C. 依次算出、，用加法公式算判断D. 【详解】，，故A正确； ，故B正确； ，，故C正确； ，，，故D错误. 故选：ABC. 10. 数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是等差数列 D. 为周期数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出前4项，当n为奇数时有，当n为偶数时有，推出数列是以4为周期的周期数列，可判断A；由可求值判断B；利用数列的周期性可求出的通项公式，判断C；因为与除以4所得余数相等，所以为周期数列，判断D. 【详解】由题意，数列满足，， 当时，，，当时，， 当时，；若奇数，则，为偶数，，为奇数， 则，，，； 若为偶数，则，为奇数，，为偶数， 则，，，， 所以数列是以4为周期的周期数列.，A正确； ，B错误； ，是公差为的等差数列，C正确； 由上述讨论可知，是周期为4的周期数列， 因为与除以4所得余数相等，所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则异面直线和所成的角的余弦值为 B. 若，则平面 C. 若三棱柱存在内切球，则 D. 若，则点到平面的距离为 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用空间向量法求两异面直线所成夹角的余弦值，判断A；由知BC与AF不垂直从而证明BC与平面AEF不垂直，判断B；正三棱锥的内切球半径即为底面三角形内切圆的半径，利用等面积法求出半径即可判断C；求出平面AEF的法向量，代入点到平面的距离公式，判断D. 【详解】如图，过点作的平行线，交于点，则平面， 又，故可分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，. 对于A，依题意，，，， 则，，由， 可得异面直线和所成的角的余弦值为，故A错误； 对于B，由，，可得， 与不垂直，故平面错误，B错误； 对于C，若三棱柱存在内切球，不妨设其半径为，则，且内切球在底面上的射影是底面三角形的内切圆， 故由，解得，，故C正确； 对于D，依题意，，，设平面的法向量为， 则故可取，又， 故点到平面的距离为，故D正确. 故选：CD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 为了提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，贵阳一中校团委将安排该校的三个年级志愿服务团队在暑假期间开展“环境保护、社区服务、博物馆讲解、支教活动、寻找非遗文化、AI智能便民活动”六项活动，并对活动开展提出了如下要求，每个年级开展2项活动，每项活动只安排一个年级，则这六项活动开展的不同安排方案种数是________.（用数字作答） 【答案】90 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理，结合组合的应用进行计算. 【详解】先从6项活动中选2项安排给高一年级，有种安排方案； 再从剩余的4项选2项安排给高二年级，有种安排方案，最后余2项安排给高三年级； 故安排方案有种. 故答案为：90. 13. 已知某公司加工一种芯片的不合格率为，其中，若加工后的20颗这种芯片中恰有4颗不合格的概率为，且各颗芯片是否为不合格品相互独立，则当取最大值时，________. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】根据二项分布的概率求解方法写出概率，将概率视为函数并利用导数求出其取得最值时的p的值即可. 【详解】由题意，， 设，， ， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值.即当时，取得最大值. 故答案为： 14. 三门问题（Monty Hall problom）也称蒙提霍尔问题，是比较著名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4扇编号为1，2，3，4的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2号门，用表示号门后有奖品，用表示主持人打开号门，则________；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为________. 【答案】 ①. ②. ##0.375 【解析】 【分析】根据条件概率即可求得第一空答案；结合全概率公式即可求得第二空答案. 【详解】奖品在2号门后，嘉宾选择了2号门，主持人可打开1，3，4号门，则； 若奖品在2号门后，其概率为，嘉宾更改了选择，则其选中奖品的概率为0； 若奖品不在2号门后，其概率为，主持人随机打开不含奖品的两扇门中的1个， 若此时嘉宾更改选择，其选中奖品的概率为； ∴若嘉宾更改选择，其中奖的概率为. 故答案为：； 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，若是中一内角，且. （1）求的值； （2）若的面积为2，中三个内角的对边分别为、、，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，由即可求解； （2）由得，又由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由题意有 . ，， 又，， ，解得. 【小问2详解】 又，所以. 由余弦定理有：， 由可得，解得 16. 2025春晚中创意融合节目机器人跳舞引起了很高的关注，跳舞人形机器人Unitree H1搭载了AI驱动的运动控制技术，具备出色的运动控制能力，能够完成复杂的动作，如原地转体、倒立转体等，展现了高精度的运动性能.为了测试某人形机器人在动态环境中捕捉执行动作的能力，命令该机器人在动态环境中执行任务，规则如下：该机器人需要依次通过5个动态环境完成关键动作，成功完成3个动作，即认为其完成任务，每个动态环境中都存在障碍物，若被阻挡则不能完成动作.机器人成功通过一个动态环境完成动作的概率为，被障碍物阻挡的概率为.每个动态环境的测试结果相互独立，若机器人累计成功通过3个动态环境，任务提前结束，若机器人被障碍物阻挡的次数达到3次，则任务无法完成，任务结束. （1）若该人形机器人在过第4个动态环境后完成任务，求此事件的概率； （2）记该人形机器人在任务结束时通过动态环境的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据已知，对应事件为机器人通过了第4个区域，且前3个区域通过2个区域、被阻挡1区域，应用独立重复试验的概率公式结合独立事件的概率乘法公式求概率； （2）根据已知有X的可能值为，求出对应事件的概率写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 在过第4个动态环境后机器人完成任务，说明机器人通过了第4个动态环境，且前3个动态环境通过2个、被阻挡1个， 事件概率为. 【小问2详解】 由题意，人形机器人在任务结束时通过动态环境的个数为的可能值为3，4，5， 时，前3次都成功通过，或前3次都被阻挡， 则； 时，前3次有2次成功通过、1次被阻挡，第4次成功通过，或前3次有1次成功通过、2次被阻挡，第4次被阻挡， 则； 时，前4次有2次成功通过、2次被阻挡，第5次成功通过，或前4次有2次成功通过、2次被阻挡，第5次被阻挡， 则； 所以分布列如下， 3 4 5 则. 17. 如图，在三棱锥中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在三角形里用余弦定理求边长，由勾股定理逆定理得，再证得平面，进而得面面垂直. （2）先建空间直角坐标系，确定相关点坐标，得到向量坐标，通过法向量与平面内向量垂直列方程组求平面法向量，已知平面法向量，最后用公式求两平面夹角余弦值. 【小问1详解】 证明：中，，，则有； 在中，，， 由余弦定理，，解得， 中，由余弦定理：， . 又，，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 解：建系如图，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系， 在等腰三角形中，，则， ，，， ，. 设是平面的一个法向量， 令，则 平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知点是圆上的动点，是坐标原点，，过垂直于轴的直线与过垂直于轴的直线交于点，点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2），，点是上一点，在射线上且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 设点，利用及点P在圆上可求出x、y的关系式，此关系式即为C的方程； （2）设，，根据已知条件列方程组求解m、n、t，然后写出点D、E的坐标，利用点到直线的距离求解的面积. 【小问1详解】 设点，则，. ，所以. 在圆上，得， 的方程是. 【小问2详解】 设，， 则 由②、③式联立，解得：，由题意，， 解得：或 当，时，， 到的距离为，， 故， 当，时，同理可得. 故所求面积为. 19. 函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为，求证：. 【答案】（1）在和上单增，在上单减. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出； （2）由题意得，只需证明，即证：，即证：成立即可． 【小问1详解】 定义域为，， 当时，，解得：，， 且，当或时，； 当时，， 所以在和上单增，在上单减， 综上，在和上单增，在上单减. 【小问2详解】 设， ， 所以要证，即证，即证， 也即证 （*）成立. 设，函数， 由（1）知在上单增，且， 所以时，，所以（*）成立，原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$