精品解析：江苏省邗江中学2025-2026学年高一年级第二学期期中考试数学试卷

高一年级第二学期期中考试数学试卷 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求. 1. 在中，设角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 2. 已知，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数关系结合，利用两角和的正弦公式展开即可求解. 【详解】因为，所以 ， 又，故， 由同角三角函数平方关系： ， 又 ， 则. 3. 给出下列命题，正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，共线，则存在实数，使得 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若，则命题不一定成立，故A错误； 若，则不存在实数，使得，故B错误； 由加法法则可知，，等号成立时同向或中至少有一个为零向量，故C正确； 分别表示与共线的向量，不一定相等，故D错误. 4. 已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例可说明充分性不成立，利用两平面有公共点，则公共点在两平面的交线上可说明必要性成立. 【详解】如图所示，空间中三条直线与平面分别交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面， 所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件； 若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面内， 则在平面与的交线上，所以三点共线， 所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件； 所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（ ）小时后该城市开始受到台风侵袭. A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此； 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值： ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 6. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，， ， 因为，，所以， 因为在上单调递增，所以， 综上：. 7. 已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，的最小值为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量模的意义及向量数量积的运算律变形，再结合二次函数求出最小值，进而求出. 【详解】由，，得 ，当且仅当时取等号， 而的最小值为，则，又， 因此，解得，所以. 8. 已知，，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据、，结合两角和差的正弦公式、同角的三角函数关系中的商关系进行求解即可. 【详解】， ， 所以可得， 于是有. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的选项中有多个选项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则有两解 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：由，本选项正确； B：因为是锐角三角形， 所以， 因为是锐角三角形，所以都是锐角， 所以由，本选项正确； C：因为，所以， 所以由，或， 由，此时该三角形是等腰三角形； 由，此时该三角形是直角三角形， 所以为等腰三角形或直角三角形，本选项不正确； D：由正弦定理可知， 因为，所以，当为锐角时，显然，符合题意； 当为钝角时，，符合三角形内角和定理， 所以△ABC有两解，本选项正确. 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 是函数的一条对称轴 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用两角和差公式和辅助角公式化简；B求出即可；C利用齐次化思想求出；D化简条件得出，再求出，再利用倍角公式和诱导公式求出. 【详解】 ， 则函数的最小正周期为，故A正确； ，故不是函数的一条对称轴，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 则，即， 得， 因为，所以， 所以，故D正确. 11. 在中，，，，，是内一点，且满足（），则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 、、三点一定共线 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算计算可判断A；根据投影向量公式及向量数量积运算律计算可判断B；根据平面向量线性运算可得，利用平面向量共线的充要条件判断C；根据向量数量积运算律及二次函数性质计算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为， 所以在方向上的投影向量为，故B错误； 对于C，因为， 即，所以， 因为，所以与共线，即、、三点一定共线，故C正确； 对于D，， 由C可知，， 由A可知， ， 设，则， 所以， 由二次函数性质可知，当时，有最小值， 所以的最小值为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，是两个单位向量，，且，则，的夹角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】由，得，两边平方得， 而向量，是两个单位向量，，因此，解得， 则，而， 所以，的夹角为. 13. 已知，则的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先进行切化弦，通分后利用二倍角的正弦公式和诱导公式得到，再将改为，利用两角差的余弦公式展开，通过计算得解. 【详解】 14. 在中，角所对的边分别为，已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，进而结合余弦定理求得，即可求得，再结合面积公式求得，，再结合正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以设， 所以, 因为，所以， 而的面积为1，得到，解得， 所以，故外接圆的半径为 四、解答题（本大题共6小题，共77分） 15. 已知，均为锐角，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，展开得， 整理得. 因为均为锐角，所以，所以. 由两角和的正切公式， 代入得. 又，，故， 因此. 【小问2详解】 已知，为锐角，所以， 所以，由（1）知，则， 故. 由两角差的正切公式得： . 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示和正弦定理边化角得到，再结合，化简求解即可； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，即可求解. 【小问1详解】 由得：， 边化角得：， 在中，， 故， 代入上式得：， 展开化简得：， 因为，， 两边同除以得：​， 又， 因此：； 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入， 得： 由，代入，， 得， 即， 因为，故， 故的周长为​. 17. 在中，，，，为边中点，为上一点，且. （1）若，求； （2）当时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，根据题意结合向量的线性运算可得，代入，结合数量积求模长； （2）可得，根据向量垂直可得，代入运算求解即可. 【小问1详解】 设，，则，， 因为为边中点，则， 且，则， 可得， 若，则， 可得，所以. 【小问2详解】 因为， 若，则， 即，解得. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将改为，将改为，利用两角和差的正余弦公式和二倍角公式整理化简，得到，利用诱导公式和二倍角的正切公式得到，从而得到； （2）由是边上靠近点的三等分点得到， 由和求出，利用正弦定理得到和，结合和得到； （3）由求出，由是锐角三角形得到，利用正弦定理得到，求出，利用正弦函数的图像和性质得到，利用三角形的面积公式，结合的范围得到面积的取值范围. 【小问1详解】 ，， ， ，，，，，，， ，，，，， ，； 【小问2详解】 是边上靠近点的三等分点，， ，，， 在中，，，， 在中，，，， 则， ，， ，， ； 【小问3详解】 ，， 是锐角三角形，，，， ，，，， ，，， ， ，，， ，， ， ， ， 面积的取值范围是. 19. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1所示，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形拼成一个较大的正方形）.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形. （1）图1中直角三角形的两锐角分别为，，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，求的值； （2）图2中的面积为，的面积为， （ⅰ）若，，求的值； （ⅱ）若，设，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意知直角三角形的两直角边分别为，，进而根据面积关系得，再结合求得，最后结合两角差的余弦公式求解即可； （2）（i）由题意知，的边长分别为，，设，进而结合余弦定理求得，再结合余弦定理求解，最后计算数量积即可； （ii）设，根据面积关系得，，在中，根据由余弦定理得，进而得，再结合正弦定理得，最后求解余弦值即可. 【小问1详解】 因为图1中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25， 所以小正方形的边长为3，大正方形的边长为5， 因为直角三角形的两锐角分别为，， 所以直角三角形的两直角边分别为，， 所以，即， 因为，， 所以， 所以， ， 解得，， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）因为的面积为，的面积为， 所以，， 所以的边长为，的边长为， 因为，设， 所以，在中，由余弦定理得， 即， 所以，解得或（舍）， 所以，， 所以， 所以； （ⅱ）设， 因为，所以，即， 由题意知，， 所以，在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以，解得， 所以， 所以，在中，由正弦定理得，即，解得， 因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第二学期期中考试数学试卷 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求. 1. 在中，设角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2. 已知，，那么等于（ ） A. B. C. D. 3. 给出下列命题，正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，共线，则存在实数，使得 C. D. 4. 已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（ ）小时后该城市开始受到台风侵袭. A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 6. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，的最小值为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. 5 C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的选项中有多个选项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则有两解 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 是函数的一条对称轴 C. 若，则 D. 若，，则 11. 在中，，，，，是内一点，且满足（），则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 、、三点一定共线 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，是两个单位向量，，且，则，的夹角为_________. 13. 已知，则的值为________. 14. 在中，角所对的边分别为，已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________. 四、解答题（本大题共6小题，共77分） 15. 已知，均为锐角，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 在中，，，，为边中点，为上一点，且. （1）若，求； （2）当时，求的值. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1所示，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形拼成一个较大的正方形）.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形. （1）图1中直角三角形的两锐角分别为，，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，求的值； （2）图2中的面积为，的面积为， （ⅰ）若，，求的值； （ⅱ）若，设，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $