精品解析：2026 年山西吕梁市中阳县中考模拟训练·数学

2026年中考模拟训练·数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列四个数中，最大的是( ) A. 2 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，利用实数大小比较规则，先区分正负，再比较正实数大小即可得到结果． 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数， ∴负数和0都小于正数和，只需比较和的大小． 对两个正数平方得，， ∵， ∴， 因此四个数的大小关系为，故最大的数是2． 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，将每个选项的图形绕某点旋转，判断是否能与自身重合，从而确定答案． 【详解】解：选项A：绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项B：绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项C：绕其中心旋转后，能与自身重合，是中心对称图形． 选项D：绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 3. 2025年，山西省新能源和清洁能源装机量达9048万千瓦，占山西全省电力总装机容量的比重达．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：万 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则与同类项合并规则对应法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A.，故原计算错误，你符合题意； B.，故原计算正确，符合题意； C.，故原计算错误，不符合题意； D.与不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意． 5. 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．如图，这是一个帆船模型抽象出来的几何图形，已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用两直线平行、同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即选项C符合题意． 6. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出两个不等式的解集，取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∴， 解不等式， 两边同乘得 ， 移项得 ， ∴， 取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为． 7. 名教师和若干名学生到某景区春游．该景区成人票每张元，学生票每张元．师生总票款（单位：元）与学生人数之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目给出的人数和票价，分别计算教师总票款和学生总票款，相加即可得到与的函数关系式． 【详解】解：根据题意， ∵学生人数为，学生票每张元， ∴学生总票款为元， ∵共有名教师，成人票每张元， ∴教师总票款为元， ∴师生总票款． 8. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用列举法求出所有等可能结果数，再得到符合条件的结果数，利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：记三款文创产品“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别为，，，根据题意列表如下： ∵共有种等可能的结果，其中甲、乙获得相同主题文创产品的结果有种， ∴所求概率为． 9. 如图，在菱形中，，分别为，的中点，连接，交于点．若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，再利用勾股定理可得，即；然后利用三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴． 10. 如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作交于点，得出，，通过面积的计算得出，结合扇形公式进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点，对各区域面积进行标注，如下图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接进行同类二次根式的合并即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 如图，将水仙花放在每个小正方形的边长都是1的方格纸上，且点都在格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点、的位置和坐标关系，即可得出点的坐标． 【详解】解：点移动到点时，向右移动格，向下移动格，横坐标增加了，纵坐标减小了， 故从点移动到点时，向右移动格，向上移动格，即横坐标增加，纵坐标增加， ∴点的坐标为． 13. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图像如图所示，当时，气体的密度是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设密度是体积的反比例函数为，把点代入解析式，根据待定系数法求得函数解析式，再将代入函数解析式求解即可． 【详解】解：设密度是体积的反比例函数为， 把点代入，得，解得， ∴， 当时，． 14. 如图，是的直径，点在半圆上，与相切于点，若，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据，以及切线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵是的切线 ∴ ∴ 15. 如图，在四边形中，，是边上的一点，连接，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作，交的延长线于点．则四边形为矩形，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点． ， 四边形为矩形， ． 在中，． ， ， ， ． ， ， ， ， 解得． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程组 （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）分别计算乘方、负整数指数幂，然后按运算顺序进行计算即可； （）用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ，得，解得， 将代入，得， ∴原方程组的解为． 17. 如图，在中，已知． （1）尺规作图：作的高，垂足为（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 如图，为所作． （2） 【解析】 【分析】（1）过点向直线作垂线即可； （2）先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：（1）略 【小问2详解】 解：∵， 在中，根据勾股定理得， ∴， 在中，根据勾股定理得． 18. 为提高学生的安全意识，某校组织八、九年级的学生开展了一次消防知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀．并分别从八、九年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、分析． 【数据整理】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 九年级 【问题解决】 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的_______，_______，_______． （2）若该校九年级学生共有人，估计该校九年级学生竞赛成绩优秀的人数． （3）你认为哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）；； （2）估计该校九年级学生竞赛成绩优秀的人数为人 （3） 九年级的竞赛成绩更好． 理由：虽然两个年级的平均数、中位数相同，但九年级竞赛成绩的众数、优秀率比八年级的高，故九年级的竞赛成绩更好（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求得，根据不低于9分的成绩的人数与总人数的比求得优秀率； （2）根据样本估计总体，用，即可求解； （3）从众数和优秀率两方面分析，即可求解． 【小问1详解】 解： 八年级成绩中，分的有人，次数最多，则众数； 九年级成绩的中位数为第和位的平均数，即 ∵不低于9分的成绩为优秀． ∴九年级成绩的优秀率为： 【小问2详解】 ． 答：估计该校九年级学生竞赛成绩优秀的人数为480人． 【小问3详解】 略 19. 科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量． 【答案】实际每个月制作机器人45台 【解析】 【分析】设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每个月制作台机器人，则实际每个月制作台机器人， 根据题意得，解得， 经检验：是原方程的解， 实际每个月制作机器人（台）． 答：实际每个月制作机器人45台． 20. 项目学习 项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动．同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈．该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测角仪和卷尺形成了如下实践报告： 活动主题 测量临汾解放烈士纪念碑的高度 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图 方案说明 1．如图2，为纪念碑，为斜坡；2．点在一条直线上，，图中所有的点均在同一平面内 相关数据 在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，斜坡的坡度为米 请根据上述数据，求纪念碑的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 【答案】纪念碑的高度约为米 【解析】 【分析】根据坡度的定 义可得，设，根据，求得，则，即可求解． 【详解】解：斜坡的坡度为， ． 由题意,四边形为矩形， ． 设． ， ， ． ， ， 解得， ． 答：纪念碑的高度约为米． 21. 阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应的任务． 三角形的“和谐点” 【概念理解】如图1，在中，点在边上，连接，若点满足等式，则称点为的“和谐点”． 【问题1】如图1，在中，为上的一点，连接，若点是的“和谐点”，则的长为___________． 【问题2】如图2，在中，是边上的一点，若点为的“和谐点”，求的长． 下面是部分解答过程： 解：， ． 设，则． 点为的“和谐点”， ， ．．．．．． 任务： （1）问题1中的的长为_________． （2）补全问题2的解答过程． （3）在等腰直角中，底边的中点_________（填“是”或“不是”）的“和谐点”． 【答案】（1） （2） 补全问题2的解答过程： ∵，， ∴ （3）是 【解析】 【分析】（1）根据的“和谐点”的定义可得，代入数据，即可求解； （2）根据题意得出，，列出方程，即可求解； （3）根据等腰直角三角形的性质，证明，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵点是的“和谐点”， ∴ ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：等腰直角中，底边的中点是的“和谐点”． 如图所示，等腰直角中，点是底边的中点 ∴， ∴ ∴等腰直角中，底边的中点是的“和谐点”． 22. 综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． （3）若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 【答案】（1） （2） （3）这两盏路灯的坐标分别为 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，求出的值，即可得出结果； （2）令，求解对应自变量的值即可； （3）假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，可得垂直于轴，垂足为，且，设点的横坐标为，得，求解出的值，即可得出最终结果． 【小问1详解】 解：据题意，可得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点，点到的距离均为， ∴令， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且， 可得垂直于轴，垂足为，且， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 可得， 解（舍去）． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 即这两盏路灯的坐标分别为或． 23. 综合与探究 【问题情境】 如图，在菱形中，，是射线上一动点，将线段绕着点逆时针方向旋转到达的位置，连接是的中点． （1）【操作发现】如图1，当点与点重合时，连接交于点，试猜想四边形的形状，并说明理由． （2）【操作探究】如图2，当点在线段上，点在线段的垂直平分线上，连接，求的长． （3）【拓展探究】如图3，当点在边的延长线上时，连接，，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 四边形是矩形． 理由：四边形是菱形， ， ，是等边三角形， ． 点与点重合， ， ， ． 由旋转的性质得， ． 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2） （3）的长为或3 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质结合已知条件可得是等边三角形，进而得出，由旋转的性质得进而得出，即可证明四边形是平行四边形，根据，即可得出四边形是矩形． （2）连接，根据点在的垂直平分线上，得出，由旋转的性质得，进而得出，，证明，进而勾股定理即可求解． （3）分两种情况讨论，当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图1，连接， 四边形是菱形，， ． 点在的垂直平分线上， ， ． 由旋转的性质得， ， ， ， ． ． ， 是的中点， ， ． 【小问3详解】 线段的长为或3 解：①当时，如图2， ， ． 为的中点， ，且为的中点． ， ， ． ②当时，如图3， 取的中点为，连接． 为的中点， 为的中位线， ． ， ． ， 是等边三角形， ． 设，则． 为的中点， ，即， 解得， ． 综上所述，的长为或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟训练·数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列四个数中，最大的是( ) A. 2 B. 0 C. D. 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年，山西省新能源和清洁能源装机量达9048万千瓦，占山西全省电力总装机容量的比重达．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．如图，这是一个帆船模型抽象出来的几何图形，已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 名教师和若干名学生到某景区春游．该景区成人票每张元，学生票每张元．师生总票款（单位：元）与学生人数之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 8. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，分别为，的中点，连接，交于点．若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：=_____． 12. 如图，将水仙花放在每个小正方形的边长都是1的方格纸上，且点都在格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_______． 13. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图像如图所示，当时，气体的密度是_______． 14. 如图，是的直径，点在半圆上，与相切于点，若，则的度数为_______． 15. 如图，在四边形中，，是边上的一点，连接，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程组 （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 如图，在中，已知． （1）尺规作图：作的高，垂足为（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（1）的条件下，若，求的长． 18. 为提高学生的安全意识，某校组织八、九年级的学生开展了一次消防知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀．并分别从八、九年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、分析． 【数据整理】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 九年级 【问题解决】 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的_______，_______，_______． （2）若该校九年级学生共有人，估计该校九年级学生竞赛成绩优秀的人数． （3）你认为哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由． 19. 科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变．某科技公司为助力数智时代产业升级，计划批量制作智能服务机器人，总计完成180台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制作的机器人数量是原计划的1．5倍．若最终提前2个月完成任务，求该公司每个月实际制作的机器人数量． 20. 项目学习 项目背景：为传承红色革命经典，学校组织研学活动．同学们来到临汾解放烈士纪念碑，碑身用7200块剁石砌垒，象征着为临汾解放捐躯的7200名先烈．该校某数学兴趣小组的成员为测量纪念碑的高度，利用测角仪和卷尺形成了如下实践报告： 活动主题 测量临汾解放烈士纪念碑的高度 测量工具 测角仪，卷尺 测量示意图 方案说明 1．如图2，为纪念碑，为斜坡；2．点在一条直线上，，图中所有的点均在同一平面内 相关数据 在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，斜坡的坡度为米 请根据上述数据，求纪念碑的高度．（结果精确到米，参考数据：，， ） 21. 阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应的任务． 三角形的“和谐点” 【概念理解】如图1，在中，点在边上，连接，若点满足等式，则称点为的“和谐点”． 【问题1】如图1，在中，为上的一点，连接，若点是的“和谐点”，则的长为___________． 【问题2】如图2，在中，是边上的一点，若点为的“和谐点”，求的长． 下面是部分解答过程： 解：， ． 设，则． 点为的“和谐点”， ， ．．．．．． 任务： （1）问题1中的的长为_________． （2）补全问题2的解答过程． （3）在等腰直角中，底边的中点_________（填“是”或“不是”）的“和谐点”． 22. 综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． （3）若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 23. 综合与探究 【问题情境】 如图，在菱形中，，是射线上一动点，将线段绕着点逆时针方向旋转到达的位置，连接是的中点． （1）【操作发现】如图1，当点与点重合时，连接交于点，试猜想四边形的形状，并说明理由． （2）【操作探究】如图2，当点在线段上，点在线段的垂直平分线上，连接，求的长． （3）【拓展探究】如图3，当点在边的延长线上时，连接，，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $