精品解析：四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2025-2026学年4月阶段检测（九年级）数学

四川省成都市第十二中学（四川大学附属中学）2025-2026学年4月阶段检测（九年级）数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答，保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上个题目对应的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效． A卷（100分） 一、选择题（共8小题，共32分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.0101 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、 ，是整数，属于有理数，A不符合要求； B、 是分数，属于有理数，B不符合要求； C、 是无限不循环小数，是无理数， 仍是无限不循环小数，是无理数，C符合要求； D、是有限小数，属于有理数，D不符合要求． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项以及幂的乘方运算法则进行判断即可． 【详解】A. 与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B. ，故本选项错误，不符合题意； C. ，故本选项正确，符合题意； D. ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查幂的混合运算，合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 3. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，中心对称图形是D． 4. 甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表： 甲 乙 丙 丁 平均数 9.6 9.5 9.5 9.6 方差 0.25 0.27 0.30 0.23 如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数和方差的性质即可得解，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵丁的平均分最高，方差最小，最稳定， ∴应选丁． 故选D 【点睛】本题考查了方差，平均数的知识，正确理解方差,平均数的意义是解题的关键． 5. 在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A. AB＝BC，CD＝DA B. ABCD，AD＝BC C. ABCD，∠A＝∠C D. ∠A＝∠B，∠C＝∠D 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论． 【详解】解：如图所示，根据平行四边形的判定 A、根据AB＝BC，CD＝DA不能推出四边形ABCD是平行四边形，故A项错误 B、根据ABCD，AD＝BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，故B项错误 D、∵∠A=∠B，∠C=∠D 且∠A+∠B+∠C+∠D=360°， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD，但不能推出其他条件，也不能推出四边形ABCD是平行四边形，故D项错误 C、∵AB//CD，∴∠A+∠D＝180°， ∵∠A=∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AB//CD， ∴可以推出四边形ABCD是平行四边形，故C项正确 故选：C． 【点睛】平行四边形的定义和判定定理． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到，得到，进而求出，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， 与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ， ∴， 与的相似比为：， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 7. 甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出甲每小时加工这种零件个，再根据工作效率、工作总量与时间的关系列出方程即可． 【详解】解：由题意，乙每小时加工这种零件个，则甲每小时加工这种零件个， ∵甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等， ∴可列方程为． 8. 抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 根据表格提供的信息，有如下结论：①抛物线的对称轴是直线；②抛物线的开口向下；③方程 的两根为0和2；④当或时，；⑤当时，．其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③⑤ C. ③④ D. ③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格数据，利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数的性质判断各结论的正确性． 本题考查的是二次函数的基本性质，涉及函数与坐标轴的交点、对称轴等，确定函数的对称轴是解题关键． 【详解】解：∵ 当 时，， ∴ ，抛物线为 ． 代入点 ： ⇒ ． 代入点 ： ⇒ ． 联立方程： 解得 ，， ∴ 抛物线为 ． 验证点 ：，符合． 点 ：， ∴ ． ① 对称轴 ，不是 ，错误． ② ，开口向上，错误． ③ 方程 ⇒ ，根为 和 ，正确． ④ ，当 或 时，，正确． ⑤ 对称轴 ，开口向上，当 时函数递增， ∴ 当 时，，正确． ∴ 正确结论为③④⑤． 故选： D． 二、填空题（共5小题，共20分） 9. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式变形得到相同公因式，提取公因式后利用平方差公式继续分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 10. 为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则的大小关系为__________．(用“”连接) 【答案】 【解析】 【分析】分别将代入二次函数表达式计算出对应的值，利用有理数大小比较法则即可得出结论． 【详解】解：当时，． 当时，． 当时，． 11. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长为，，则的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，结合的周长为，推出，结合，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ，即， ， ． 12. 已知，满足，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质、一元二次方程的根的判别式的应用．关键是先利用非负数的性质求出、的值，再根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式，进而联立求解的取值范围． 【详解】：解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴关于的一元二次方程为， ∵该方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根， ∴， 解得且． 故答案为：且． 13. 如图，是的内接三角形，，的半径为，若点是上的一点，在中，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．连接、、，根据圆周角定理求得，进而求得，，根据垂径定理得到，，，即可求得是等边三角形，从而求得，解直角三角形求得，即可求得． 【详解】解：连接、、， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， 则中，， ， 故答案为：； 三、解答題（共5题，共48分） 14. （1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式方程的解法； （1）先化简绝对值，计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，分母有理化，再合并即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）； 去分母得：， 整理得：， 解得：，， 经检验：是增根，是原方程的解． 15. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为分，学生测试成绩均为不小于的整数，分为四个等级：，，，），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： ，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生成绩为等级的人数为______； （2）所抽取的学生成绩的中位数为______； （3）该校七年级共有名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为等级的人数； （4）学校准备从七年级等级学生中推荐甲、乙、丙三名同学中的两人去参加全区的消防安全知识竞赛，请用画树状图或列表法，求出甲，乙两名同学同时被选中的概率． 【答案】（1）人 （2）分 （3）人 （4） 【解析】 【分析】本题考查了统计与概率的综合应用，涉及频数分布、中位数计算、用样本估计总体以及概率求解，熟练掌握统计量计算方法和概率模型是解题关键． （1）先通过等级的频数和占比求出总人数，再用总人数减去其他等级人数得到等级人数； （2）将所有成绩排序后，根据中位数定义（中间位置数的平均数）计算中位数； （3）利用样本中等级的占比，估算全年级等级的人数； （4）通过树状图或列表法列出所有可能结果，再计算甲、乙同时被选中的概率． 【小问1详解】 解：所抽取的学生人数为：（人）， ∴所抽取的学生成绩为等级的人数为（人）； 【小问2详解】 解：将名学生的成绩按从小到大的顺序排列，第个、个数据的平均数就是所抽取的学生成绩的中位数， （分）； 【小问3详解】 解：由题意可知，（人）， 答：估计成绩为等级的人数为人； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲，乙两名同学同时被选中的结果有种， 甲，乙两名同学同时被选中的概率为． 16. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，液晶显示屏的宽AB为． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到） （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝17cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE； （2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC． 【详解】解：（1）由已知得：， 在中， ， （cm）， 答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为； （2）如图， 过点B作于点F， ． ， 在中， ， ， ， ， ， （cm）． 答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 17. 如图，内接于，AB是的直径，点E在圆上，且，过点C作，垂足为点D，与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若BF=2，，求的半径和线段的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）3， 【解析】 【分析】该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明； （2）先证明，得出，求出圆的半径，证明， ，根据对应边成比例解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ，，，， ， ， ， 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求点坐标和反比例函数的表达式； （2）点为轴负半轴上一动点，若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； （3）在（2）条件下，点在轴上，点在反比例函数上，若以点，，，四个点为顶点构成平行四边形，求点坐标． 【答案】（1），反比例函数的表达式为 （2）点的坐标为或 （3）点坐标为或 【解析】 【分析】（1）在中，令，求出点坐标，再求出点的坐标，利用待定系数法即可求反比例函数的解析式； （2）过点作轴于点，求出，则，进而根据勾股定理求出，再分两种情况：当时，当时，即可求解； （3）分两种情况：当点时，与为对角线，当点时，与为对角线，根据中点坐标公式列方程求解． 【小问1详解】 解：令，则， 解得， ， 令，则， ， 将代入，得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴于点， 联立， 解得或， ， 则， ， ， ， ， 当时，， ； 当时，， ； 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 设，， 当点时，与为对角线， ， ，， 解得，， ； 当点时，与为对角线， ，， 解得，， ； 综上，点坐标为或． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知线段AB=2cm，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC等于__________cm 【答案】(-1)或(3-) 【解析】 【分析】分AC＞BC、AC＜BC两种情况，根据黄金比值计算即可． 【详解】当AC＞BC时，AC== 当AC＜BC时，AC=AB-AB=， ∴线段AC的值为：-1（cm）或3-（cm）． 故答案为：-1（cm）或3-（cm）． 【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是解题的关键． 20. 若关于的方程无解，则的值是_______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】先将分式方程变形为整式方程，再将整式方程变形为(a-1)x=2的形式，根据方程无解的情况：a-1=0，或x-1=0，求得答案即可． 【详解】， ax=3+x-1， ∴(a-1)x=2. ∵的方程无解， ∴a-1=0，或x-1=0 当a-1=0时，解得a=1． 当x-1=0时，即x=1，此时，a=3. 故答案为1或3． 【点睛】此题考查了分式方程的解，一元一次方程解的情况．一元一次方程的标准形式为ax=b，它的解有三种情况：①当a≠0，b≠0时，方程有唯一一个解；②当a=0，b≠0时，方程无解；③当a=0，b=0时，方程有无数个解． 21. 如图，在矩形中，点为上一点，连接，点为上一点，连接交于点．当，，时，的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质．过点作于点，则，根据矩形的性质可得，，推出，，，可证明，根据相似三角形的性质可求出，，可得，最后在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点， 则， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ，即， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，与相切，且与的延长线交于点，过点作分别交于F，G两点，若，且，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质和圆周角定理得出，由平行线的性质可得，从而得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，由得，设，则，在中，由勾股定理得，可得，连接，设，得，由勾股定理得，从而可求出． 【详解】解：连接，如图， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵是的切线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴, ∴（负值舍去）； ∵， ∴设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， 连接，设， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴． 23. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且满足，则称这个四位数为乘风破浪数，例如：四位数，＝，是“乘风破浪数”，则______（填“是”或“不是”）“乘风破浪数”；若一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两个数字组成的两位数的差，再减去能被整除，则满足条件的“乘风破浪数”的最大值为_____． 【答案】 ①. 不是 ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义概念；根据“乘风破浪数”的概念进行判断，根据“乘风破浪数”的概念先求得, 然后根据题意列出的数能被整除的数的特征分析满足条件的数即可． 【详解】解：∵， ∴不是“乘风破浪数”. 故答案为：不是； ∵是一个乘风破浪数， ∴， 即 ∵一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两位数组成的两位数的差，再减去能被8整除， ∴ ∴能被8整除， ∵ ∴ ∴能被8整除，且, ,, 当，，则，，则， 为其他数时，不合题意，舍去； 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，则，舍去 综上所述，最大值为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本，设销售单价为x（元），每月的销售量为y（件）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）销售单价应定为70元； （3）该商品销售单价应定为80元． 【解析】 【分析】（1）根据每月的销售量+每月的增加的销售量，列出函数关系式； （2）根据单件利润乘以月销售量，列出关于的一元二次方程求解； （3）根据单件利润乘以月销售量，列出关于二次函数，转化为顶点式求出取到最大值时单价． 【小问1详解】 解：由题意得，销售单价每降低1元， 销量增加件， 当销售单价为元时， 相对于元降低了元， ∴销量增加了件， ∴， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 依题意得：， 即， 解得：，， 经检验，和均满足， ∵， ∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元； 【小问3详解】 设每月总利润为W，依题意得： ， ∵，此图象开口向下， ∴当时，满足， ∴当销售单价为元时，利润最大，最大值为4500元， ∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 【点睛】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，求一次函数解析式，的最值，销售问题(实际问题与二次函数)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 25. 如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A，B 两点（B 在 A 的右侧），且与直线 l1：y＝x＋2 交于 A，D 两点，已知 B 点的坐标为（6，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）过点 B 的直线 l2 与线段 AD 交于点 E，且满足，与抛物线交于另一点 C． ①若点 P 为直线 l2 上方抛物线 y＝－x2＋bx＋c 上一动点，设点 P 的横坐标为 t，当 t 为何值时，△PEB 的面积最大； ②过 E 点向 x 轴作垂线，交 x 轴于点 F，在抛物线上是否存在一点 N，使得∠NAD＝∠FEB，若 存在，求出 N 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+4x+12；（2）①当t=时，△PEB的面积最大；②存在点N，N点的坐标为（，）或（4，12）． 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，利用交点式，即可得出结论； （2）①先求出点E的坐标，利用面积公式得出△PEB的面积与t的关系，即可得出结论； ②当点N在直线l1下方时，求出tan∠BEF=，过点F作FK⊥AE于K，交AN于M，过点K作KQ⊥x轴于Q，过点M作ML⊥x轴于L．判断出点K坐标，进而求出点M的坐标，求出直线AN的解析式，联立抛物线解析式求解，即可得出结论；当点N在直线l1上方时，利用对称性求出点M'的坐标，求出直线AN'的解析式，联立抛物线解析式求解即可得出结论． 【详解】解：（1）针对于直线y=x+2，令y=0，则x+2=0， ∴x=-2， ∴A（-2，0）， ∵抛物线y=-x2+bx+c过点A（-2，0），B（6，0）， ∴抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-6)=-x2+4x+12； （2）①由题意得， ， 解得，或， ∴点D的坐标为（5，7）， 如图1，过点D作DH⊥x轴于H，过点E作EF⊥x轴于F， ∴H（5，0）， ∴AH=7， ∵， ∴， ∴HF=1，AF=6， ∴F（4，0）， ∴E（4，6）， ∵直线l2经过E（4，6），B（6，0）， 设直线l2的解析式为y=kx+b1， ∴， 解得， ∴直线l2的解析式为y=-3x+18， 设P（t，-t2+4t+12）， 过点P作PG∥y轴交l2于G， 则G（t，-3t+18）， ∴S△PEB=PG•(xB-xE)=(-t2+4t+12+3t-18)(6-4)=-t2+7t-6=-(t-)2+， ∴当t=时，△PEB的面积最大； ②存在，理由：当点N在直线l1下方时， ∵EF⊥x轴，E（4，6），B（6，0）， ∴EF=6，BF=2， 在Rt△BEF中，， 如图2，∵直l1的解析式为y=x+2， ∴∠BAD=45°， 过点F作FK⊥AE于K，交AN于M，过点K作KQ⊥x轴于Q，过点M作ML⊥x轴于L． ∴∠AKF=90°， ∴∠AFK=45°， ∴AK=FK， ∴KQ=AQ=FQ=3， ∴K（1，3）， ∵∠NAD=∠FEB， ∴， ∴， ∴M（2，2）， 同理求得直线AN的解析式为y=x+1， 联立直线AN和抛物线解析式， 解得，或， ∴N（，）； 当点N在直线l1的上方时， 点M（2，2）关于直线y=x+2的对称点M'（0，4）， ∴直线AN'的解析式为y=2x+4， 联立直线AN'和抛物线解析式， 解得，或， ∴N'（4，12），即存在点N，N点的坐标为（，）或（4，12）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解方程组，三角形面积的计算方法，构造出几何图形求出点M的坐标是解本题的关键． 26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，在纸片绕点旋转过程中，当点落在的延长线上时，连接，求的长； 【深入探究】 （2）纸片绕点旋转至图2的位置，连接交于点，当时，求的值； 【拓展延伸】 如图3，连接，点为的中点，点为的中点，连接，在旋转过程中，若为以为直角边的直角三角形，求的长． 【答案】（1）（2）（3）1或4或 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． （1）先由勾股定理求出，再由勾股定理求出； （2）过点作于点，过点作于点，证明，得，，设，，则，，，由勾股定理得①，，求出即可； （3）分当为直角顶点和为直角顶点两种情况，结合相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）在中，，， ∴， ∴， 在中，； （2）如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， 在中，， ∴①， 在中， ∴， 由①②得，， 即, ∴； （3）①当为直角顶点时，如图， 若与重合时，则为直角三角形，， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴，， 如图，若与重合时，则， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ②当为直角顶点时，如图， ∵为的中点，为的中点， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 综上 ，的值为1或4或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市第十二中学（四川大学附属中学）2025-2026学年4月阶段检测（九年级）数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答，保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上个题目对应的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效． A卷（100分） 一、选择题（共8小题，共32分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.0101 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表： 甲 乙 丙 丁 平均数 9.6 9.5 9.5 9.6 方差 0.25 0.27 0.30 0.23 如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A. AB＝BC，CD＝DA B. ABCD，AD＝BC C. ABCD，∠A＝∠C D. ∠A＝∠B，∠C＝∠D 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 根据表格提供的信息，有如下结论：①抛物线的对称轴是直线；②抛物线的开口向下；③方程 的两根为0和2；④当或时，；⑤当时，．其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③⑤ C. ③④ D. ③④⑤ 二、填空题（共5小题，共20分） 9. 分解因式：____________． 10. 为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则的大小关系为__________．(用“”连接) 11. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长为，，则的长是__________． 12. 已知，满足，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13. 如图，是的内接三角形，，的半径为，若点是上的一点，在中，，则的长为______． 三、解答題（共5题，共48分） 14. （1）计算：． （2）解方程： 15. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为分，学生测试成绩均为不小于的整数，分为四个等级：，，，），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： ，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生成绩为等级的人数为______； （2）所抽取的学生成绩的中位数为______； （3）该校七年级共有名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为等级的人数； （4）学校准备从七年级等级学生中推荐甲、乙、丙三名同学中的两人去参加全区的消防安全知识竞赛，请用画树状图或列表法，求出甲，乙两名同学同时被选中的概率． 16. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，液晶显示屏的宽AB为． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到） （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到）（参考数据：） 17. 如图，内接于，AB是的直径，点E在圆上，且，过点C作，垂足为点D，与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若BF=2，，求的半径和线段的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求点坐标和反比例函数的表达式； （2）点为轴负半轴上一动点，若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； （3）在（2）条件下，点在轴上，点在反比例函数上，若以点，，，四个点为顶点构成平行四边形，求点坐标． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知线段AB=2cm，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC等于__________cm 20. 若关于的方程无解，则的值是_______． 21. 如图，在矩形中，点为上一点，连接，点为上一点，连接交于点．当，，时，的长度为______． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，与相切，且与的延长线交于点，过点作分别交于F，G两点，若，且，则_____________． 23. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且满足，则称这个四位数为乘风破浪数，例如：四位数，＝，是“乘风破浪数”，则______（填“是”或“不是”）“乘风破浪数”；若一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两个数字组成的两位数的差，再减去能被整除，则满足条件的“乘风破浪数”的最大值为_____． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本，设销售单价为x（元），每月的销售量为y（件）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 25. 如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A，B 两点（B 在 A 的右侧），且与直线 l1：y＝x＋2 交于 A，D 两点，已知 B 点的坐标为（6，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）过点 B 的直线 l2 与线段 AD 交于点 E，且满足，与抛物线交于另一点 C． ①若点 P 为直线 l2 上方抛物线 y＝－x2＋bx＋c 上一动点，设点 P 的横坐标为 t，当 t 为何值时，△PEB 的面积最大； ②过 E 点向 x 轴作垂线，交 x 轴于点 F，在抛物线上是否存在一点 N，使得∠NAD＝∠FEB，若 存在，求出 N 的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，在纸片绕点旋转过程中，当点落在的延长线上时，连接，求的长； 【深入探究】 （2）纸片绕点旋转至图2的位置，连接交于点，当时，求的值； 【拓展延伸】 如图3，连接，点为的中点，点为的中点，连接，在旋转过程中，若为以为直角边的直角三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $