23.2《一次函数的图像 和性质》 课件 --2025-2026学年人教版八年级数学下册

一次函数的图像和性质 1 正比例函数的图像是怎样的？我们是怎样简单地画正比例函数的图像的？ 探究：画出下列正比例函数的图象 （1）y＝2x， 列表，描点，连线．画出图象 （2）y＝－1．5x，y＝－4x． 2．正比例函数的图象是怎样的？我们是怎样简单地画正比例函数的图象的？ 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，可以通过连接原点和点（1，k）得到它的图象． 2 总结归纳： 4条图象都是经过原点的直线； 函数y＝2x和y＝1/3x的图象经过第一、三象限，从左向右上升； 函数y＝－1.5x和y＝－4x的图象经过第二、四象限，从左向右下降． 一般地，正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx． 2．正比例函数的图象是怎样的？我们是怎样简单地画正比例函数的图象的？ 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，可以通过连接原点和点（1，k）得到它的图象． 3 正比例函数有哪些性质？ 　　当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 　　当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小． 3．正比例函数有哪些性质？ 当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小． 4 既然正比例函数是特殊的一次函数，那么一次函数的图像又是什么形状呢？他跟正比例函数图像又有什么联系呢？一次函数的性质呢？就让我们一起来探究一下一次函数的图像和性质． 4．既然正比例函数是特殊的一次函数，那么一次函数的图象又是什么形状呢？他跟正比例函数图象又有什么联系呢？一次函数的性质呢？这节课就让我们一起来探究一下一次函数的图象和性质． 设计意图：通过正比例函数的图象与性质的复习，为类比、探究一次函数与正比例函数的图象和性质作好铺垫． 5 1.画出函数 y=-6x 与 y=-6x+5 的图象． x -2 -1 0 1 2 y=-6x y=-6x+5 12 6 0 -6 -12 17 11 5 -1 -7 列表 描点 连线 y=-6x+5 y=-6x 画图 （二）探究新知 1．画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象． 列表： 6 2．比较两个函数的图像的相同点与不同点，思考并填写你的观察结果： （1）这两个函数的图象形状都是_______，并且倾斜程度_______，它们的位置________（互相平行）. 直线 相同 互相平行 2．比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，思考并填写你的观察结果： （1）这两个函数的图象形状都是________（直线），并且倾斜程度________（相同），它们的位置________（互相平行）. （2）函数y＝－6x的图象经过________（原点），函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点________（0，5），即它可以看作由直线y＝－6x向________（上）平移________（5）个单位长度而得到． 7 （2）函数y＝－6x的图象经过______，函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点________，即它可以看作由直线y＝－6x向___平移____个单位长度而得到． （0，5） 上 5 原点 （2）函数y＝－6x的图象经过________（原点），函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点________（0，5），即它可以看作由直线y＝－6x向________（上）平移________个单位长度而得到． 8 3．比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图像有上述关系的道理吗？ 　 它们的k值相同，都是－6． 若k值相同，即直线的倾斜程度相同，所以两条直线平行． 3．比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？ 比较两个函数的解析式，它们的k值相同，都是－6．若k值相同，即直线的倾斜程度相同，所以两条直线平行． 9 4．联系上面的结果，思考一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是什么形状，它与直线y＝kx（k≠0）有什么关系？ （1）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b． 4．联系上面的结果，思考一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是什么形状，它与直线y＝kx（k≠0）有什么关系？ （1）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b． 10 （2）直线y＝kx＋b（k≠0）与直线y＝kx（k≠0）互相平行． （3）直线y＝kx＋b（k≠0）可以看作由直线y＝kx（k≠0）平移个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时， 向下平移）． （2）直线y＝kx＋b（k≠0）与直线y＝kx（k≠0）互相平行． （3）直线y＝kx＋b（k≠0）可以看作由直线y＝kx（k≠0）平移 个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）． 11 5．画出函数 y=2x－1与 y=－0.5x＋1的图象． 　　一次函数的图象是直线， 故选择其上合适两点即可． x 0 1 y＝2x－1 y＝－0.5x+1 -1 1 1 0.5 O 1 x y 1 -1 -1 y＝2x－1 y＝－0.5x＋1 一般选择　　　　 ，（0，b）． 5．画出函数y＝2x－1与y＝－0.5x＋1的图象． 分析：由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它． 解：列表表示当x＝0，x＝1时两个函数的对应值． 过（0，－1）点与（1，1）点画出直线y＝2x－1． 过（0，1）点与（1，0.5）点画出直线y＝－0.5x＋1． 12 6．思考：根据直线y＝kx＋b（k≠0）可以看作由直线y＝kx（k≠0）平移 个单位长度而得到，你还能怎样的方式得到上述函数图像？ 　　可以先画直线y＝2x与y＝－0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y＝2x－1与y＝－0.5x＋1． 6．思考：根据直线y＝kx＋b（k≠0）可以看作由直线y＝kx（k≠0）平移 个单位长度而得到，你还能怎样的方式得到上述函数图象？ 可以先画直线y＝2x与y＝－0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y＝2x－1与y＝－0.5x＋1． 13 7．总结画一次函数的图像． 　　一次函数的图像跟正比例函数一样也是直线，可用两点（0，b）和（ ，0）来连成，并且，如果它们的k值相等，即倾斜程度相同，这两条直线平行，所以也可用直线y＝kx通过上下平移︱b︱个单位得到直线y＝kx＋b． 7．总结画一次函数的图象． 一次函数的图象和正比例函数一样也是直线，可用两点（0，b）和（ ，0）来连成，并且，如果它们的k值相等，即倾斜程度相同，这两条直线平行，所以也可用直线y＝kx通过上下平移︱b︱个单位得到直线y＝kx＋b． 14 8．画出函数 y=x+1， y=－x+1， y=2x+1，y=－2x+1的图象． x 0 1 y=x+1 y=-x+1 y=2x+1 y=-2x+1 1 2 1 0 1 3 1 -1 O 1 x y 1 -1 -1 y=x+1 y=-x+1 y=2x+1 y=-2x+1 8．画出函数y＝x＋1，y＝－x＋1，y＝2x＋1，y＝－2x＋1的图象． 列表表示当x＝0，x＝1时四个函数的对应值． 15 9．观察以上函数图像，思考下面的问题． （1）一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图像有什么影响？对函数的变化规律有什么影响？ 　　当k＞0时，直线y＝kx＋b由左至右上升，y随x的增大而增大； 　　当k＜0时，直线y＝kx＋b由左至右下降，y随x的增大而减小． 9．观察以上函数图象，思考下面的问题． （1）一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？对函数的变化规律有什么影响？ 当k＞0时，直线y＝kx＋b由左至右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝kx＋b由左至右下降，y随x的增大而减小． 16 （2）看一看你画的所有的一次函数的图像，总结b的值对图像有什么影响． 　　（0，b）是直线与y轴的交点坐标，b＞0时，交点在x轴上方，b＜0时，交点在x轴下方． （2）看一看你画的所有的一次函数的图象，总结b的值对图象有什么影响． （0，b）是直线与y轴的交点坐标，b＞0时，交点在x轴上方，b＜0时，交点在x轴下方． 17 k，b的符号共同决定直线经过的象限： 　　当k＞0，b＞0，直线经过一、二、三象限； 　　当k＞0，b＜0，直线经过一、四、三象限； 　　当k＜0，b＞0，直线经过二、一、四象限； 　　当k＜0，b＜0，直线经过二、三、四象限． k，b的符号共同决定直线经过的象限： 当k＞0，b＞0，直线经过一、二、三象限； 当k＞0，b＜0，直线经过一、四、三象限； 当k＜0，b＞0，直线经过二、一、四象限； 当k＜0，b＜0，直线经过二、三、四象限； 18 　y＝kx＋b k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b＞0 b＜0 图像从左到右 经过的象限 y随x的变化 上升 y随x的增大而增大 下降 一、二、三 y随x的增大而减小 一、三、四 一、二、四 二、三、四 10．总结一次函数的图像与性质 一次函数y＝kx＋b的系数k，b的符号决定了它的图像和性质： 10．总结一次函数的图象与性质 一次函数y＝kx＋b的系数k，b的符号决定了它的图象和性质，如下表 19 　　比例系数k的大小决定着直线的倾斜度．当系数是正数时，它越大，直线就越陡，当系数是负数时，它越小，直线就越陡． 比例系数的大小决定着直线的倾斜程度．当系数是正数时，它越大，直线就越陡，当系数是负数时，它越小，直线就越陡． 设计意图：通过描点画图，比较正比例函数与一次函数的图象，加深对一次函数与正比例函数关系的理解．通过活动探究得出画一次函数的简便画法——两点法，学生能够熟练应用两点法画出一次函数的图象． 20 思考： 现在我们能根据具体的一次函数解析式画出它们的图象，如：y＝3x－1，y＝－2x＋3．先取适合解析式的两点并描出，再连成直线． 那反过来，如果已知某个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？接下俩我们就一起来探究一下． （一）复习导入 1．前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？ 例如：y＝3x－1，y＝－2x＋3． 先取适合解析式的两点并描出，再连成直线． 2．反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？本节课我们就一起来探究一下． 设计意图：通过复习由函数解析式画图象，反过来思考，怎么由图象写出解析式呢？引出新课． 21 例1．已知某个一次函数图象过点（3，5）和（-4，-9），求这个一次函数的解析式？ 　　分析：求一次函数解析式，关键是求出 k，b 的值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于 k，b 的二元一次方程组，解之可得． （二）探究新知 1．已知一次函数图象过点（3，5）与（－4，－9），求这个一次函数的解析式． 分析：求一次函数y＝kx＋b的解析式，关键是求出k，b的值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k，b的二元一次方程组，解之可得． 22 解：设这个一次函数的解析式为 y＝kx＋b． 因为 y＝kx＋b的图象过点（3，5）与（－4，－9）， 解之，得 所以这个一次函数的解析式为 y＝2x－1． 所以 　　像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法． 解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b． 因为y＝kx＋b的图象过点（3，5）与（－4，－9），列式解得k=2,b=-1 所以这个一次函数的解析式为y＝2x－1． 像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法． 23 2．求一次函数解析式的步骤： （1）设：设函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）代：将已知的x，y的对应值（至少两对对应值） 代入所设解析式中，得到关于系数k，b的方程； （3）解：解方程组求得系数k，b的值； （4）写：将k，b的值代入所设解析式中，写出解析式． 2．求一次函数解析式的步骤： （1）设：设函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）代：将已知的x，y的对应值（至少两对对应值）代入所设解析式中，得到关于系数k，b的方程； （3）解：解方程组求得系数k，b的值； （4）写：将k，b的值代入所设解析式中，写出解析式． 24 3．函数解析式和函数图象的相互转化． 满足条件的两　　定点（ ， ）与（ ， ）　 　函数解析式 　 y =kx+b 一次函数的 图象直线 l 选取　 解出　 画出　 选取　 25 4.已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）在x＝1时，y＝5，且它的图象与x轴交点的横坐标是6，求这个一次函数的解析式． 解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，由题意知该函数图像过点（1，5）与（6，0）， 解之，得 ∴这个一次函数的解析式为y＝－x＋6． 所以 4．巩固练习 已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）在x＝1时，y＝5，且它的图象与x轴交点的横坐标是6，求这个一次函数的解析式． 解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，由题意知该函数图象过点（1，5）与（6，0），列式解得k=-1,b=6 ∴这个一次函数的解析式为y＝－x＋6． 26 5．柴油机在工作时油箱中的余油量Q（千克）与工作时间t（小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油40千克，工作3.5小时后，油箱中余油22.5千克． （1）写出余油量Q与时间t的函数关系式；（2）画出这个函数的图象． 6．巩固练习 柴油机在工作时油箱中的余油量Q（千克）与工作时间t（小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油40千克，工作3.5小时后，油箱中余油22.5千克 （1）写出余油量Q与时间t的函数关系式； （2）画出这个函数的图象． 27 解：（1）设Ｑ＝kt＋b．把t＝0，Q＝40；t＝3.5， Q＝22.5分别代入上式，得 解之，得 解析式为：Q＝－5t＋40，（0≤t≤8）． （2）取点Ａ（0，40），B（8，0），然后连成 线段AB，即是所求的图形，如图： 　　注意：画函数图象时，应根据函数自变量的取值范围来确定图象的范围，比如此题中，因为自变量0≤t≤8，所以图像是一条线段． 图象是包括 两端点的线段 O 40 t Q 8 B A 注意：画函数图象时，应根据函数自变量的取值范围来确定图象的范围，比如此题中，因为自变量0≤t≤8，所以图象是一条线段． 设计意图：掌握利用待定系数法求函数解析式，了解一次函数解析式与图象之间的转化规律，增强数形结合思想的理解．让学生了解分段函数的表示及其图象． 29 6．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点（3，－3），且与直线y＝4x－3的交点在x轴上． （1）求这个一次函数的解析式． （2）此函数的图象经过哪几个象限？ （3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形面积． 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点（3，－3），且与直线y＝4x－3的交点在x轴上． （1）求这个一次函数的解析式． （2）此函数的图象经过哪几个象限？ （3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形面积． 30 解：（1）对于一次函数y＝4x－3，当y＝0时，x＝ ． ∴该一次函数与x轴的交点为（ ，0）． ∴直线y＝kx＋b经过点（3，－3）和点（ ，0）． ∴一次函数的解析式为y＝ x＋1． ∴ 解得 解析：（1）对于一次函数y＝4x－3，当y＝0时，x＝3/4 ． ∴该一次函数与x轴的交点为（3/4 ，0）． ∴直线y＝kx＋b经过点（3，－3）和点（3/4 ，0）． ∴ 列式 解得 k=-4/3,b=1 ∴一次函数的解析式为y＝-4x/3 ＋1． 31 （2）∵k＝ ＜0，b＝1＞0， ∴一次函数y＝ x＋1的图象经过第一、第二、第四象限． （3）∵当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝ ． ∴该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为S＝ ｜x｜·｜y｜＝ ． （2）∵k＝-4/3 ＜0，b＝1＞0， ∴一次函数y＝ x＋1的图象经过第一、第二、第四象限． （3）∵当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝3/4 ． ∴该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为S△＝ 1/2｜x｜·｜y｜＝3/8 ． 设计意图：通过练习进一步熟练待定系数法． 32 谢谢观看 $