23.2一次函数的图像和性质（第2课时）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级下册

23.2 一次函数的图像和性质 第二十三章 一次函数 第2课时 一次函数的图像与性质 第二十三章 一次函数 章节导读 正比例函数的图像与性质 一次函数的图像与性质 待定系数法求解析式 23. 2 一次函数的图像和性质 23. 1 一次函数的概念 23. 3 一次函数与方程（组）、不等式 23. 4 实际问题与一次函数 1 2 3 掌握一次函数的图像是直线，理解一次函数与正比例函数图像的平移关系； 会用两点法快速绘制一次函数的图像； 经历从特殊到一般推导一次函数的图像与性质，掌握一次函数中 的几何意义以及数形结合的研究方法. 导入新课   上节课我们刚刚认识了一次函数，谁能快速说出一次函数的一般形式？还有它的成立条件？ 一次函数的一般形式是,其中 是常数，且 正比例函数和一次函数之间是什么关系？ 正比例函数是特殊的一次函数 既然正比例函数是特殊的一次函数，图像是直线，那一般的一次函数（）的图像是什么形状？有什么性质？ 当 时，一次函数 就变成了正比例函数 新知探究 探究一：一次函数与正比例函数的图像关联 探究 按照绘制函数图像的步骤，下面我们先画一些一次函数的图像. 例1 画出函数与的图象. ①列表，将表格中的部分补充完整 观察两个函数图像的函数值，你发现了什么？ 新知探究 ②描点→连线，在网格纸上同步绘制两个函数的图像. 这两个函数的图像有什么相同点？有什么不同点？ 相同点：图像形状都是直线，倾斜程度完全相同（互相平行） 不同点：的图像经过原点，的图像与 轴交于点； 新知探究 最终结论： 可以看作由直线向上平移 1 个单位长度得到 思考 结合表格里的函数值差异，你能说说这条直线是怎么平移得到的吗？由此能否得出一次函数与正比例函数的位置关系吗？ 一次函数图像：一次函数的图像是一条直线，我们称它为直线； 直线可以由直线平移个单位长度得到： 当时，向上平移； 当时，向下平移。 新知总结 一次函数的图像 一次函数𝒚=𝒌𝒙+𝒃(𝒌≠𝟎)的图像是一条直线，我们称它为直线𝒚=𝒌𝒙+𝒃. 直线可以由直线平移个单位长度得到： 当时，向上平移； 当时，向下平移. 平移规律：上加下减 即时训练 1.将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数平移规则“上加下减”，向上平移时在函数值上加平移单位数．本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的规则是关键． 解：将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为 ． 故选：C． C 典例分析 例2 画出函数 与 的图象。 【分析】由于一次函数的图象是直线，所以只要确定两个点就能画出它。 解：列表表示当 ， 时两个函数的对应值（如下表） 过点 与 画出直线 ； 过点 与 画出直线 ，如图. 新知探究 思考 我们已经知道一次函数的图像是一条直线，而 两点确定一条直线，由此我们不需要描 5 个点画图像. 画一次函数图像，只需要选两个点即可，选哪两个点最方便、计算最简单？ 第一个点：优先选与 轴的交点，代入,得,即点,无需复杂计算，直接可得. 第二个点：优先选时的点，代入得,即点; 或选与 x轴的交点，代入 ,得,即点 新知探究 探究二：一次函数的性质 探究 画出函数的图象， 观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律. 第一类 、,直线从左向右上升，增大时，随之增大 新知探究 第二类 、,直线从左向右下降，增大时，随之减小； 观察图像可知：不影响增减性，只有的符号决定增减性 设任意两个自变量、，且， 新知探究 思考 我们从图像上直观看到了增减变化，能不能结合一次函数的解析式，用代数的方法严谨证明这个规律？ 即，，随的增大而减小。 即，，随的增大而增大； 当时， 对应的函数值分别为，， 两式作差得：， 因为，所以， 当时， 新知总结 一次函数的性质 ①当 时，的增大而 增大，图像从左向右上升。 ②当 时，的增大而 减小，图像从左向右下降。 ③常数 决定图像与 轴交点的位置：交点坐标为 决定增减性与倾斜程度，决定与 轴的交点 即时训练 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第几象限（   ） A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】根据一次函数解析式中的和的符号，判断图象经过的象限. 【详解】解：∵一次函数的， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴直线与轴的交点位于轴的正半轴， ∴直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限. C 巩固练习 1.关于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象经过点 B．y的值随着x的增大而增大 C．函数图象经过一，二，四象限 D．函数图象与y轴交于负半轴 【分析】通过一次函数的性质，计算函数值和分析一次项系数的符号判断各选项正误． 【详解】解：∵ 一次函数为，其中，， 当时，， ∴ 不经过点， ∵， ∴ y随x增大而减小， ∵，， ∴图象经过第一、二、四象限 当时，， ∴ 与 y轴交于，在正半轴 C 巩固练习 A. B． C． D． 2.已知，，一次函数的图象可能是（   ） 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 【详解】解：∵， ∴ 即一次函数的图象在一、三、四象限． A 巩固练习 3．若点，在一次函数（a为常数）的图像上，且，则_______ （填“”“”或“”）． 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：对于一次函数，其斜率， 故该函数随x的增大而增大， 故 巩固练习 1.函数的图象竖直向上平移个单位后过点，则的值为_____． 【分析】先根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式为，再把代入平移后的直线解析式中求解即可． 解：原函数竖直向上平移个单位后，新函数为 将点代入新函数： 计算得： 解得． 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感 谢 聆 听！ 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 一次函数的定义：一般地，形如 y = kx + b (k, b 是常数，k ≠ 0) 的函数，叫做一次函数。 2. 一次函数的图像：一次函数 y = kx + b 的图像是一条直线。 3. 图像性质与系数的关系： 当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大，图像从左向右上升。 当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小，图像从左向右下降。 常数 b 决定图像与 y 轴交点的位置：交点坐标为 (0, b)。 4. 与正比例函数图像的关系： 直线 y = kx + b 可以看作是由直线 y = kx 平移得到的： 当 b > 0 时，向上平移 b 个单位长度； 当 b < 0 时，向下平移 |b| 个单位长度。 易错点警示 1. 忽略 k ≠ 0 的限制条件 在题目中给出“一次函数”这一前提时，必须隐含 k ≠ 0。例如：若函数 y = (m-1)x + 2 是一次函数，则 m 必须满足 m ≠ 1。 2. 混淆正比例函数与一次函数 正比例函数是特殊的一次函数（当 b = 0 时），但一次函数不一定是正比例函数。 3. 图像象限判断不全 判断图像经过哪些象限时，必须同时考虑 k 和 b 的符号。例如 k > 0, b < 0 时，图像经过第一、三、四象限，容易漏掉第四象限。 解题技巧 1. 数形结合思想 通过“看图说话”快速判断系数符号，或根据系数符号在大脑中勾勒图像草图。记住口诀：k 定方向，b 定截距。 2. 待定系数法“四步走” ① 设：设出函数解析式 y = kx + b； ② 代：把已知点的坐标代入解析式； ③ 解：解关于 k, b 的方程（组）； ④ 写：写出函数解析式。 3. 典型模型：平移规律 “上加下减，左加右减”。例如：将直线 y = 2x 向上平移 3 个单位，得到 y = 2x + 3。 $