精品解析：2026年广东省汕头市潮阳区贵屿镇八校九年级联考一模数学试题

2026年贵屿镇中考模拟考数学学科试题卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自已的学校、姓名、考生号、 座位号，再用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某城市早上时气温是，中午时上升了，则中午时的气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：中午时的气温为． 2. 中华人民共和国第十五届运动会将于年月日至日在广东、香港、澳门举行．据悉，汕头将承办十五运会竞技体育组冲浪、女子手球两个项目赛事．以下是一中学生设计的（忽略图中文字），其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做该图形的对称轴．据此即可求解． 【详解】解：A选项不是轴对称图形，无法由一条直线折叠后完全重合，A选项不符合题意； B选项不是轴对称图形，无法由一条直线折叠后完全重合，B选项不符合题意； C选项不是轴对称图形，无法由一条直线折叠后完全重合，C选项不符合题意； D选项是轴对称图形，可以由中间一条直线折叠后完全重合，D选项符合题意． 3. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则9合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给出的单位进率逐步换算得到9合对应的粟数，再写成科学记数法的形式即可． 【详解】解：9合勺勺抄抄撮撮圭圭粟粟， 粟． 4. 2025年4月8日美国对中国输美产品加征的“对等关税”从提升至，4月10日，这一税率进一步提高至．假设从4月8日到4月10日这两天关税日平均增长率为x，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知：4月8日的关税为，4月10日的关税为，然后根据均增长率的规律列出方程即可． 【详解】解：设这两天关税日平均增长率为， 由题意得：． 5. 已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知的条件求出，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的取值范围在数轴上表示为：． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂运算的基本法则，分别根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的法则计算各选项，即可得到正确结果． 【详解】选项A、，故A错误； 选项B、，故B错误； 选项C、，故C错误； 选项D、，故D正确． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，，，．将绕点A顺时针旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于，则，根据旋转的性质得，，利用平角的定义求得，在中利用三角函数的知识求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于， 则， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为． 8. 如图，一块含的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边与x轴重合，点A在双曲线上，若点C的坐标为，，则的面积为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由图象可知：轴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 定义新运算：对于任意实数A，B，有．若x为的整数部分，y为小数部分，则的值为（ ） A. B. 11 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】首先估算求出，然后求出，，然后代入利用新定义法则求解即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∵x为的整数部分，y为小数部分 ∴， ∴ ． 10. 在平面直角坐标系中，点坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】B 【解析】 【分析】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，根据对称的性质得出，，，根据特殊角的三角函数值求出，得出，结合垂线段最短得出当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，求出，根据特殊角的三角函数值求出，求出，求出，求出点的坐标，即可求解． 【详解】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，如图： 则坐标为， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，即，的值最小， 此时， ∴当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，即点与点重合， ∵，， ∴， 在中，， 即， ∴， 即的最小值为． ∵，， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴使得的值最小时，点的坐标为，的最小值为． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：_______1 ，_______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正负数的定义得到；先将最简二次根式转化为一般二次根式，比较二次根式下被开方数的大小，得到． 【详解】解：、， ； 、， ， ， 即． 12. 2025年首届奥林匹克电子竞技运动会在沙特阿拉伯举行，需招募100名志愿者，要求男生人数多于女生人数的2倍，则男生最少为_______人． 【答案】67 【解析】 【分析】设男生有人，根据男生人数多于女生人数的2倍，列出不等式进行求解即可. 【详解】解：设男生有人， 由题意，得，解得， ∴的最小整数解为67，即男生最少为67人. 13. _______ 【答案】0 【解析】 【详解】解：原式. 14. 若实数a，b，c满足且，则_______． 【答案】60 【解析】 【分析】已知两个含a，b，c的等式，利用消元法消去未知数，得到与的关系式，再变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：由题意得： 得：， ． 15. 如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，且，点H为中点，连接和，M为的中点，连接，作于点G，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，进而推出为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，等积法求出的长，三角形的中位线定理求出的长，进一步计算即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵点H为中点，M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂、零次幂的运算法则、二次根式的性质、化简每一项，再进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． （1）求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； （2）为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 【答案】（1） （2）米/秒 【解析】 【分析】（1）设函数关系式为，再代入，求出的值即可求解； （2）解分式方程求出的值，由（1）得，再代入的值，即可求出的值． 【小问1详解】 解：设函数关系式为， 代入，得，， 解得， ∴耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得， 由（1）得，， 代入，得， 解得， ∴调整后的速度为米/秒． 18. 如图，已知中，． （1）求作：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ①在边上找一点P，以点P为圆心，为半径作，使得与相切于点D； ②过点B作的切线切于点E． （2）求证：直线为的切线． 【答案】（1）①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）证明：连接， 与相切， ， 由作法可知：， 在和中， ， ， ， ， 为的半径， 直线为的切线． 【解析】 【分析】（1）①作的角平分线交于，过作的垂线交于，以为圆心、长为半径作，即满足要求； ②以为圆心，长为半径画弧，交于异于侧的点，连接，即为所求切线； （2）连接，由作法可知，易证明，进而得到，从而得出结论． 【小问1详解】 解：①略 ②证明：平分， ， 、， ， ， ， ， ， 与相切； 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，且与的长度之比为，过点作于点，交于点，连接． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质求出，，结合勾股定理求出，，进一步得出，，根据菱形的性质即可求解； （2）根据直角三角形的性质得出，推得，根据余弦的定义得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵菱形的周长为， ∴． 根据题意可得， 故， 令，， 在中，， 故， ∴，， ∴，． 对于菱形，， 即， 解得， ∴的长为． 【小问2详解】 解：∵，点是的中点， 故， 即， 在中，， 在中，， 故， 即． 20. 综合与实践 【项目背景】 《哪吒之魔童闹海》以传统神话为基底，赋予传统英雄叙事当代个体意识觉醒的新内涵，成为中华文化创造性转化的典范．春节档上映后便火爆出圈，成为唯一一部跻身全球影史票房榜前的非好莱坞影片，某校学生们要调查观众对电影剧情、表演、画面、音效等方面的满意度． 【数据收集与整理】 他们随机抽取了一些观众进行调查评分（满分分，：分，：分，：分，：分，：分），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： 【数据分析与应用】 （1）补全上面的条形统计图，本次问卷中，众数是 ； （2）某市共有名观众观看该影片，请问该市大约有多少人评分达分及以上． （3）此次调查组中恰好有甲、乙、丙、丁四名女生，同学们要从这四名女生当中抽取两名面对面访问其观影感受，请用树状图或列表法求出正好抽中甲、乙两名女生的概率． 【答案】（1）见解析，分 （2）人； （3）． 【解析】 【分析】（1）用组人数除以对应的百分比，可得总人数，减去、、、组的人数，可得组的人数，补全条形统计图即可，根据众数的定义，即可得本次问卷中的众数； （2）先计算组所占的百分比，用观众总数乘、两组所占的百分比之和，即可求解； （3）根据题意画树状图，即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， （人）， 补全条形统计图如图所示： ∵评分为分的人数最多， ∴本次问卷中，众数是分． 【小问2详解】 解： ∴ （人）， 答：该市大约有人评分达分及以上． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中正好抽中甲、乙两名女生（记为事件A）的情况有2种． ∴． 21. 实践与探究： 【主题】汕头市小公园中山亭亭高测量及底座面积的计算． 【素材】如图所示： ①一底座为正八边形的八角形攒尖顶建筑汕头市小公园中山亭； ②一架80厘米高的测量仪 ． 【实践操作】 步骤1：在距离中山亭底座中心29米处立一个测量仪； 步骤2：利用测量仪（仪高）测得中山亭顶部A的仰角为，通过测量得知底座正八边形的外接圆半径为4米； 步骤3：对测量数据进行分析与计算． 【实践探索】（；；） （1）求中山亭的高度．（结果保留整数） （2）求中山亭底座正八边形的面积；（结果保留根号） 【答案】（1）14米 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点F，由题意得米，、，易证明四边形为矩形，进而得到、，根据平行线的性质得到，在中，，利用求解即可； （2）连接和，过点作于点M，根据题意得、，在中，，进而得到，最后利用求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点F， 由题意得米，、， 、、， ， 四边形为矩形， 、、， ， 在中，， ， 答：中山亭的高度AB约为14米； 【小问2详解】 解：如图，连接和，过点作于点M， 由题意得：、， 在中，， ， ， 答：中山亭底座正八边形的面积为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与探究：在数学活动课上，同学们以正方形展开探究活动． 【探究发现】如图①，在正方形中，P为对角线上一动点，连接和，则 发现与始终存在一种数量关系；如图②，若过点P作，则发现始终是一个特殊的三角形． 【提出猜想】猜想一：如图③，当点Q在的延长线上时，以上两个结论成立？ 猜想二：如图④，若点P在对角线延长线上且点Q在的延长线上，以上两个结论依然成立？ 【验证猜想】同学们分小组进行了讨论验证，并证明以上两个猜想结果均成立． 根据以上材料，请你完成下列问题： （1）如图①， 同学们发现与始终存在的一种数量关系是 ； 如图②，始终是一个特殊的三角形，即 ． （2）请你选择图③或图④帮同学们把猜想一或猜想二的证明过程写出来． 【拓展应用】 （3）如图⑤，在正方形中，P为边上任意一点，O为的中点，过点P作于点E，连接，，作的外接圆，若，求外接圆的半径． 【答案】（1），等腰三角形 （2）解：选择图③，证明如下： 令与交于点， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， 、， 、， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 选择图④，证明如下： 四边形是正方形， 、， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）1 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质易证明，进而得到，根据垂线的性质得到，进而得到，从而证明是等腰三角形； （2）选择图③，令与交于点，根据正方形的性质易证明，进而得到，根据垂线的性质得到，进而得到，从而证明是等腰三角形；选择图④同理证明即可； （3）连接和，易证明，进而得到，根据直角三角形的性质得到，进而得到，同理得到，进而得到是等腰直角三角形，设外接圆圆心为点F，连接和，则是等腰直角三角形，从而得到外接圆半径． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， 、， 、， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图⑤，连接和， 在正方形中，、， ， ， ， 、、为的中点， ， ， ， 同理、， 、， 是等腰直角三角形， ， 设外接圆圆心为点F，连接和， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的外接圆的半径为1． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形外接圆的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 23. 2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． （1）请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． （2）如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】（1）， （2）存在，Q的坐标为或或或 （3）3 【解析】 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年贵屿镇中考模拟考数学学科试题卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自已的学校、姓名、考生号、 座位号，再用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某城市早上时气温是，中午时上升了，则中午时的气温是（ ） A. B. C. D. 2. 中华人民共和国第十五届运动会将于年月日至日在广东、香港、澳门举行．据悉，汕头将承办十五运会竞技体育组冲浪、女子手球两个项目赛事．以下是一中学生设计的（忽略图中文字），其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合…”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄勺，10勺合，则9合为（ ） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 4. 2025年4月8日美国对中国输美产品加征的“对等关税”从提升至，4月10日，这一税率进一步提高至．假设从4月8日到4月10日这两天关税日平均增长率为x，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，，，．将绕点A顺时针旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一块含的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边与x轴重合，点A在双曲线上，若点C的坐标为，，则的面积为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 定义新运算：对于任意实数A，B，有．若x为的整数部分，y为小数部分，则的值为（ ） A. B. 11 C. D. 9 10. 在平面直角坐标系中，点坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：_______1 ，_______ 12. 2025年首届奥林匹克电子竞技运动会在沙特阿拉伯举行，需招募100名志愿者，要求男生人数多于女生人数的2倍，则男生最少为_______人． 13. _______ 14. 若实数a，b，c满足且，则_______． 15. 如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，且，点H为中点，连接和，M为的中点，连接，作于点G，若，则_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． （1）求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； （2）为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 18. 如图，已知中，． （1）求作：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ①在边上找一点P，以点P为圆心，为半径作，使得与相切于点D； ②过点B作的切线切于点E． （2）求证：直线为的切线． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，且与的长度之比为，过点作于点，交于点，连接． （1）求的长； （2）求的值． 20. 综合与实践 【项目背景】 《哪吒之魔童闹海》以传统神话为基底，赋予传统英雄叙事当代个体意识觉醒的新内涵，成为中华文化创造性转化的典范．春节档上映后便火爆出圈，成为唯一一部跻身全球影史票房榜前的非好莱坞影片，某校学生们要调查观众对电影剧情、表演、画面、音效等方面的满意度． 【数据收集与整理】 他们随机抽取了一些观众进行调查评分（满分分，：分，：分，：分，：分，：分），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： 【数据分析与应用】 （1）补全上面的条形统计图，本次问卷中，众数是 ； （2）某市共有名观众观看该影片，请问该市大约有多少人评分达分及以上． （3）此次调查组中恰好有甲、乙、丙、丁四名女生，同学们要从这四名女生当中抽取两名面对面访问其观影感受，请用树状图或列表法求出正好抽中甲、乙两名女生的概率． 21. 实践与探究： 【主题】汕头市小公园中山亭亭高测量及底座面积的计算． 【素材】如图所示： ①一底座为正八边形的八角形攒尖顶建筑汕头市小公园中山亭； ②一架80厘米高的测量仪 ． 【实践操作】 步骤1：在距离中山亭底座中心29米处立一个测量仪； 步骤2：利用测量仪（仪高）测得中山亭顶部A的仰角为，通过测量得知底座正八边形的外接圆半径为4米； 步骤3：对测量数据进行分析与计算． 【实践探索】（；；） （1）求中山亭的高度．（结果保留整数） （2）求中山亭底座正八边形的面积；（结果保留根号） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与探究：在数学活动课上，同学们以正方形展开探究活动． 【探究发现】如图①，在正方形中，P为对角线上一动点，连接和，则 发现与始终存在一种数量关系；如图②，若过点P作，则发现始终是一个特殊的三角形． 【提出猜想】猜想一：如图③，当点Q在的延长线上时，以上两个结论成立？ 猜想二：如图④，若点P在对角线延长线上且点Q在的延长线上，以上两个结论依然成立？ 【验证猜想】同学们分小组进行了讨论验证，并证明以上两个猜想结果均成立． 根据以上材料，请你完成下列问题： （1）如图①， 同学们发现与始终存在的一种数量关系是 ； 如图②，始终是一个特殊的三角形，即 ． （2）请你选择图③或图④帮同学们把猜想一或猜想二的证明过程写出来． 【拓展应用】 （3）如图⑤，在正方形中，P为边上任意一点，O为的中点，过点P作于点E，连接，，作的外接圆，若，求外接圆的半径． 23. 2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． （1）请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． （2）如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $