精品解析：陕西咸阳市永寿县中学2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学试题

永寿县中学2025-2026学年度第二学期第一次月考 高一数学试题 注意事项： 1．本题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 4. 一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（ ） A. B. 26 C. 8 D. 18 5. 已知，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 记△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，向量与满足，且，则BC边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（为虚数单位），则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，则在复平面对应的点在第二象限 D. 若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆 10. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知单位向量满足与的夹角为，则___________． 13. 在中，，，的面积为，则___________. 14. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的范围是___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求向量与夹角的余弦值. 16. （1）已知复数．若为纯虚数，求的值； （2）已知复数，若满足，求的值． 17. 设的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若，则的面积为，求，． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 19. 设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，． （1）若． （ⅰ）求． （ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． （2）若对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永寿县中学2025-2026学年度第二学期第一次月考 高一数学试题 注意事项： 1．本题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由共轭复数定义即可得. 【详解】由，则. 2. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，再由，即可得到答案. 【详解】由于是边上的中点，则. . 故选：B. 3. 已知，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】由与共线，则,解得. 4. 一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（ ） A. B. 26 C. 8 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 所以，所以对该物体所做的功为. 故选：A 5. 已知，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决. 【详解】由题知，， 所以， 设与夹角为， 所以在上的投影向量是， 故选：B 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，得出，再根据同角三角函数的平方关系得出，由三角形面积公式即可求解． 【详解】由题意，在中， 由正弦定理可得， 又B为的内角， ， 的面积， 故选：D． 7. 已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据夹角公式判断出，同时需排除两向量同向共线的情况. 【详解】由夹角公式，的夹角为锐角，即， 即，解得； 当共线时，，解得， 此时满足，此时两向量夹角为， 于是的夹角为锐角时，. 故选：A 8. 记△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，向量与满足，且，则BC边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两边平方得，即是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案. 【详解】由两边平方得，向量， 所以向量， 故有，所以是直角三角形，为斜边， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得中线长为. 故选：A． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（为虚数单位），则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，则在复平面对应的点在第二象限 D. 若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则计算A即可；设，根据求出的值即可判断B；根据复数对应点的概念即可判断C；设，求出对应的点的轨迹方程即可判断D． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，设，，则， 若，可得；当时，，故B错误； 对于C，若复数，则在复平面对应的点为， 可得在复平面对应的点在第四象限，故C错误， 对于D，设，则， 则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确． 10. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；将目标式子转换为三角函数即可判断 D． 【详解】对于A，由题意得 ，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，故B正确； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得， 设， 所以， 当时，的最大值为5，故C错误； 对于D，由题意得， 可得， 因为，所以 ， ， 因为， 所以当时，取得最大值，故D正确． 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知单位向量满足与的夹角为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据先平方再开方计算向量的模. 【详解】 故答案为：. 13. 在中，，，的面积为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式：，求出，再由余弦定理即可求解. 【详解】因为，，所以， 由余弦定理得 ， 所以. 故答案为： 14. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设夹角为，分析可得，当，，则，当时，，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和当在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【详解】设的夹角为，当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段、线段、线段（除）点上运动时， ，，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知， 到的距离为， 则， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 所以的最小值为； 由投影向量的定义可知，当在线段上时，取最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，由， 故，， 故， 所以的最大值为 则的范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量加减法和数量积的坐标运算求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，再由夹角的坐标公式计算可得结果. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，所以，解得； 【小问2详解】 因为， 所以，解得，，所以， 所以， 即向量与夹角的余弦值为. 16. （1）已知复数．若为纯虚数，求的值； （2）已知复数，若满足，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）是纯虚数，则复数实部为0虚部不为0，计算得到答案. （2）设，代入计算得到，解得答案. 【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得． （2）设，所以， ． 所以，解得或. 17. 设的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若，则的面积为，求，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将已知条件式边化角结合整理可得，进而求； （2）由三角形面积公式结合可得，由余弦定理结合和可得，列方程组求解. 【小问1详解】 根据正弦定理将已知等式的边化为角，得， 在中，，故， 代入得 ，整理得： ，  因为，所以，即，又，所以. 【小问2详解】 已知，又，​，所以，化简得， 又，，由余弦定理可得，得， 由解得. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1详解】 方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 19. 设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，． （1）若． （ⅰ）求． （ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． （2）若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1）（i）；（ii）不存在，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据坐标转化为基底表示，再利用数量积公式，即可求解；（ii）首先设，得到，再结合坐标和基底，利用垂直关系的向量运算，得到方程，方程无解，即可得到结论； （2）首先利用数量积公式，将不等式转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，根据求的范围，再代入向量夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 （i） ， （ii）轴上不存在一点，理由如下： 假设轴上存在一点，使得是以为斜边的直角三角形. 依题意得：， ， ， ，， 即， 即， 化简得：， ，∴方程无解， 即轴上不存在一点，使得是以为斜边的直角三角形； 【小问2详解】 ， 恒成立， ， 即， 解得， ， ， ， ， 在上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 故，即， 故在上单调递增， 当时，取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $