专题29圆锥曲线 定点、定值问题 训练-2026届高考数学三轮冲刺

专题29　定点、定值问题 题型01 圆锥曲线中定点问题 1．（2026·四川南充·二模）已知一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东惠州·月考）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽滁州·一模）（多选）已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（   ） A．点M在双曲线C上 B．当P在圆T上时，的面积为8 C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3 D．双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值 4．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）（多选）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线上异于原点的两个动点，且，作交直线于点，则 （    ） A．当直线的斜率为2时，线段的中点在直线上 B．直线恒过定点 C．存在一个定点，使得为定值 D． 5．（25-26高三下·广东深圳·月考）已知抛物线的焦点F到直线的距离为，不过原点的直线l与C交于A,B两点． (1)求C的标准方程； (2)若直线l的方程为，求 ； (3)若OA垂直于OB，求证：直线l过定点． 6．（2026·广西河池·二模）已知抛物线，过上一动点作斜率为2的直线与交于另一点，当点与原点重合时，． (1)求． (2)当不经过点时，直线与交于另一点，直线与交于另一点． （i）证明：； （ii）试判断直线与是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由． 7．（2026·云南昭通·二模）已知点与定点的距离和它到定直线的距离之比为． (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为． （i）求的取值范围； （ii）求证：为定值． 8．（2026·河北石家庄·一模）已知椭圆的右焦点，短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)记为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线恒过定点； （ii）求面积的取值范围. 9．（25-26高二上·湖北·期末）已知椭圆右顶点为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)不过点的直线与椭圆交于、两点． （i）若正方形的边在直线上，且直线在轴上的截距为整数，求正方形的面积； （ii）证明：的外接圆经过两个定点． 题型02 圆锥曲线中定值问题 10．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线：，点的坐标为，点在抛物线上运动，以为直径的圆设为.如果存在定直线：，使得直线被圆所截得的弦长为定值，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 11．（2026·浙江台州·二模）已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 12．（2026·青海西宁·一模（多选））已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线l过点，且与双曲线的右支交于A，B两点，其中A点位于第一象限．若，的周长为18，点T为双曲线C上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．点T到两条渐近线的距离之积为定值 C．过点的直线与双曲线C相交于M，N两点，且满足D为线段的中点，则直线为 D．若，则的面积为 13．（25-26高三下·重庆·月考）（多选）已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（   ） A．是定值 B．以为直径的圆过点 C．对于上的任一点恒成立 D．面积的最小值为2 14．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，其短轴长为，右焦点为，右顶点为．以其短轴为直径的圆上任意一点，都有为定值，则其椭圆的方程为______． 15．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线与直线相切，在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于两点，使得为定值？______（填“存在”或“不存在”），若存在，求出点的坐标为______． 16．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，. (1)求椭圆的方程； (2)若为直角三角形，求的值； (3)直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？ 17．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 18．（2026·浙江·二模）设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点． (1)求轨迹W的方程； (2)过点的动直线与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线交于点C．过点F作直线，直线与直线，分别交于点D，E． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）若的面积与的面积之比为，求点Q的坐标． 19．（2026·江苏南京·一模）已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． (1)求和的值； (2)，为上两点，的重心在直线上． ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 强化训练 1．（2026·广东东莞·模拟预测）已知M为圆P: 上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点N，则N点的轨迹为（  ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 2．（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 3．（2026·云南红河·模拟预测）已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，若则直线过定点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·天津·月考）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的左支上，且与交于另一点，为坐标原点，则下列结论错误的是（ ） A．若点M的坐标为，则的离心率的取值范围为 B．若，，则 C．若，，则恒为定值 D．若，，则的最小值为 5．（2025·山东泰安·三模）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（   ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 6．（2026·黑龙江·一模）（多选）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（   ） A．若，则点P的坐标为 B．若，则的最小值为6 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 7．（25-26高二上·福建厦门·月考）（多选）设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D．以线段为直径的圆与轴相切 8．（2026·山东·模拟预测）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，左顶点为，点是的右支上一点，过点向双曲线两渐近线作垂线，垂足分别为、，则（   ） A．双曲线的离心率为 B．若直线与交于另一点，则的最小值为 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 9．（2026·四川巴中·一模）（多选）已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ） A．越大，则双曲线的离心率越大 B．过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点 10．（24-25高二上·山西太原·月考）已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点A在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为__________. 11．（24-25高三上·安徽宣城·期末）点是椭圆上的动点，若的值为定值，则m的取值范围是______． 12．（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 13．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为________. 14．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，下顶点为，离心率，直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若平分，且，垂足为． 　求的取值范围； 　证明：存在定点，使得为定值． 15．（2026·四川泸州·模拟预测）已知动点到定点的距离比它到直线 的距离小 (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交的轨迹于两点，若，求证：直线恒过定点． 16．（2026·安徽淮北·模拟预测）若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆C:，P，Q分别为左、右顶点且离心率，直线l过交椭圆C于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，. (1)求椭圆C的方程； (2)连接AQ，BQ，BP，并过A，B两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点D，过D作BQ的平行线交AQ于M点，直线OM（O为坐标原点）交直线BQ于点N，直线AQ和直线BP的斜率分别为和，N，B两点横坐标分别为.证明：为定值； 17．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知双曲线的右焦点为为的两条渐近线，且的斜率为． (1)求的方程； (2)若点为上的动点，过点的直线与只有1个公共点，且与，分别交于点，． （i）求证：点为线段的中点； （ii）已知为坐标原点，的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29　定点、定值问题 题型01 圆锥曲线中定点问题 1．（2026·四川南充·二模）已知一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义可得结果. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为， 设圆心为，因为点在抛物线上， 由抛物线的定义可知点到直线的距离等于， 由于圆与直线相切，故圆经过定点. 2．（25-26高二上·广东惠州·月考）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 3．（2026·安徽滁州·一模）（多选）已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（   ） A．点M在双曲线C上 B．当P在圆T上时，的面积为8 C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3 D．双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值 【答案】ABD 【分析】根据题意，求出双曲线方程，将点M代入方程验证A选项；联立求出点的横坐标值，根据三角形面积公式求解验证B选项；求出双曲线渐近线，利用点到直线距离验证C选项；利用点差法验证D选项. 【详解】由题知双曲线的焦点在轴， 故，焦点坐标为， 因为圆过焦点，代入得，即，解得， 因此双曲线的方程为：. 对于A：点代入双曲线方程得左边右边， 因此在双曲线上，故A正确； 对于B：联立，消去得，故横坐标可以为 ， 中，，高为， 面积 ，故B正确. 对于C：双曲线渐近线为， 设，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为， 因为在双曲线上，故满足，即， 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积如下， 为，故C错误； 对于D：设是位于双曲线上，关于原点对称，且异于的两个点， 则， 又①，②，由①②得到， 得到，所以， 综上，只要满足位于双曲线上，关于原点对称， 且异于的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为定值， 故当点坐标为时， 直线和的斜率之积为定值，故D正确. 4．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）（多选）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线上异于原点的两个动点，且，作交直线于点，则 （    ） A．当直线的斜率为2时，线段的中点在直线上 B．直线恒过定点 C．存在一个定点，使得为定值 D． 【答案】ACD 【分析】求出椭圆的右焦点，由抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，得到抛物线的焦点，则此焦点的横坐标为，解出的值，从而得到抛物线的标准方程，由得到从而得到，对于选项A，设直线的方程，直线和抛物线联立方程组，利用根与系数的关系得到，由在直线上，求出用表示的式子，求出，代入，计算得到的值，从而得到，即为的中点的纵坐标，从而得到结论；对于选项B，按照直线的斜率不存在和存在两个情况讨论求解，当直线存在斜率时，设直线的方程为，直线和抛物线联立，利用根与系数的关系求出，，代入，经过计算得到，代入直线的方程为中得到直线恒过定点；对于选项C，由直线恒过定点，结合交直线于点，得到的轨迹是以为直径的圆上的点（除去原点），且圆心为，故存在一个定点为此圆的圆心，使得为定值；对于选项D，在抛物线上得到，求出，，由得到，计算出，利用二次函数的图像得到最小值，从而得到结论. 【详解】，，，右焦点为， 抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的焦点， ，，抛物线的标准方程为， ，， ，，， 对于选项A，直线的斜率为2， 设直线的方程为， 为抛物线上异于原点的两个动点，， 将代入中，得到， ，即， ， 在直线上， ， ， ， ， ，，， ，，， ，， ， ， ，的中点的纵坐标为， 当直线的斜率为2时， 线段的中点在直线上，故选项A正确； 对于选项B，当直线不存在斜率时， 直线的方程为，， ，，， 在抛物线上， ，，，或， 为抛物线上异于原点的点，，， ，直线过点， 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 由解得，将代入， 得到，即，则， ，， ，，， ，，， 直线的方程为， 直线的方程为， 直线恒过定点， 综上可知，直线恒过定点，故选项B错误； 对于选项C，直线恒过定点， 交直线于点， 的轨迹是以为直径的圆上的点（除去原点），且圆心为， 存在一个定点，使得为定值，其定值为半径，故选项C正确； 对于选项D， 在抛物线上，， ， 同理， ，， ，，， ，，， ，， ， 对称轴为，开口向上，的最小值在对称轴处取得， 且最小值为，，故选项D正确. 故选：ACD.    5．（25-26高三下·广东深圳·月考）已知抛物线的焦点F到直线的距离为，不过原点的直线l与C交于A,B两点． (1)求C的标准方程； (2)若直线l的方程为，求 ； (3)若OA垂直于OB，求证：直线l过定点． 【答案】(1)x2＝4y； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程求出的值，即得抛物线方程； （2）将直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式计算即得； （3）设直线方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，结合条件求出的值，回代入直线方程即可得证. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则点F到直线（即）的距离为 因，解得， 故抛物线C的标准方程为； （2）设，由消去y得， 解得， 则. （3）设直线l的方程为，点， 由消去y得，由， 则， 依题意，得，因，则得， 因此直线l的方程为，因此直线l过定点． 6．（2026·广西河池·二模）已知抛物线，过上一动点作斜率为2的直线与交于另一点，当点与原点重合时，． (1)求． (2)当不经过点时，直线与交于另一点，直线与交于另一点． （i）证明：； （ii）试判断直线与是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）直线与交于定点． 【分析】（1）联立直线方程求出点，再由计算可得； （2）（i）将直线与抛物线联立，可知，再将直线的方程与抛物线联立，同理联立直线，整理可得，即； （ii）求出直线的方程为，可知直线与交于定点. 【详解】（1）当点与原点重合时，直线过原点且斜率为2，其方程为， 联立得，解得或，所以． 所以，解得． （2）由（1）知，设，直线． 联立与，得， 所以且． （i）设，如下图： 直线过点和，设直线的方程为， 联立，得，则， 整理可得．① 同理，对于直线，可得．② 因为，所以，③ 由①②作商，结合③，得，即． 所以， 所以． （ii）设的中点为的中点为，因为，所以直线， 又因为，所以与的交点即直线与的交点． 由②③，得，所以． 直线的斜率， 直线的方程为． 在该方程中，令，可得，所以直线与交于定点， 故直线与交于定点． 7．（2026·云南昭通·二模）已知点与定点的距离和它到定直线的距离之比为． (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为． （i）求的取值范围； （ii）求证：为定值． 【答案】(1) (2)（i）;（ii） 【分析】（1）通过将“点到定点的距离与定直线的距离之比为”的条件转化为代数方程，化简后即得轨迹方程； （2）（i）通过设直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理表示出弦长，再结合面积公式转化为函数求值域即可； （ii）通过两点坐标表示出两条直线得斜率，再结合韦达定理和面积表达式进行化简，即可证明比值为常数 【详解】（1）设点，根据题意得：，两边平方并整理得： ，即，化简得：， 因此，点的轨迹方程为椭圆. （2）（i）设过的直线方程为，与椭圆方程联立：， 代入得：，整理得：， 设，由韦达定理：， 所以的面积为， 令，则，代入得， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是. （ii）设，则， 直线的斜率为，直线的斜率为， 且， 所以， 所以， 又因为，所以. 【点睛】用椭圆的第二定义求轨迹方程，联立方程组，借助韦达定理转化面积与斜率表达式，通过代数化简即可完成范围求解与定值证明. 8．（2026·河北石家庄·一模）已知椭圆的右焦点，短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)记为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线恒过定点； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由椭圆的焦点及短轴列式计算求解得出从而可得的方程； （2）（i）将与直线方程联立可得，直线，令，结合韦达定理求证即可； （ii）设，则，记，则，结合基本不等式计算求解. 【详解】（1）依题意可知，解得，椭圆的标准方程为. （2）（i）设，依题意， 得， ， 所以，即得直线的方程为：①. 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上， 所以令代入①，可得 ， 由（*）得， 所以 得，所以直线恒过定点. （ii）由（i）可知直线恒过定点， 所以， 将（*）代入得 ， 设， 则. 因为，所以 ， 所以. 9．（25-26高二上·湖北·期末）已知椭圆右顶点为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)不过点的直线与椭圆交于、两点． （i）若正方形的边在直线上，且直线在轴上的截距为整数，求正方形的面积； （ii）证明：的外接圆经过两个定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意可得，，即，由此可求得椭圆的标准方程； （2）（i）设直线与椭圆交于，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可求得弦长，因为为正方形，则等于直线到直线的距离，结合平行直线间的距离公式，即可求得的值，进而可求正方形的面积； （ii）设的外接圆为，点在圆上，可得，因为在圆上，分别代入圆的方程后相加，可得，再将两式相减，结合斜率公式可得，将这些关系联立后可得，，，将之代入圆的方程，整理后即可求得的外接圆经过两个定点． 【详解】（1）由题中椭圆右顶点为，短轴长为， 可得，，即， 则椭圆的标准方程为. （2）（i）设不过点的直线，直线与椭圆交于， 联立，得，且有， 因为直线与椭圆有2个交点，则，解得， 又因为直线不过点，则，即， 则， 由题意得直线， 整理直线，直线， 则直线与直线平行，则两直线间的距离， 因为为正方形，则有，即， 两边同时平方整理得，解得或， 因为直线在轴上的截距为整数，即为整数，故， 则， 所以正方形的面积. （ii）设的外接圆为， 因为点在圆上， 则有，即， 联立，得，且有， 则有， 因为在圆上， 则有① ② ①②得， 其中， ， 则①②得 ①②得， 即， 同时除以，易得， 则有， 直线的斜率为，代入上式， 则有， 则有，即， 联立，得， 联立，得， 因为，则有， 则，， 将代入圆的方程， 整理得， 对任意，圆恒过定点满足，解得或， 故的外接圆恒过定点. 题型02 圆锥曲线中定值问题 10．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线：，点的坐标为，点在抛物线上运动，以为直径的圆设为.如果存在定直线：，使得直线被圆所截得的弦长为定值，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】设点，写出以为直径的圆的方程，联立直线与圆的方程，得到，利用和韦达定理求出弦长为定值，则，即可解答. 【详解】解：设点，所以以为直径的圆的方程为. 设直线交圆于，两点，且，， 所以，为方程的两根，即，为方程的两根， 所以，，. 又，所以 因为所截得的弦长为定值，所以，从而得到,故弦长, 故选:B. 11．（2026·浙江台州·二模）已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】C 【分析】设（），利用两点斜率公式求，再分别求即可判断. 【详解】因为点是抛物线上异于的动点， 故设（）， 则，， 对于选项A，，不是定值，A错误； 对于选项B，，不是定值，B错误； 对于选项C，，为定值，C正确； 对于选项D，，不是定值，D错误. 12．（2026·青海西宁·一模（多选））已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线l过点，且与双曲线的右支交于A，B两点，其中A点位于第一象限．若，的周长为18，点T为双曲线C上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．点T到两条渐近线的距离之积为定值 C．过点的直线与双曲线C相交于M，N两点，且满足D为线段的中点，则直线为 D．若，则的面积为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的定义可判断A；根据点到直线的距离公式可判断B；根据点差法可判断C；根据双曲线的定义，余弦定理，面积公式可判断D. 【详解】对于A：根据双曲线定义对右支上点，有，， 相加得： ①， 由，得， 代入①得： ，故A正确； 对于B：由，得双曲线渐近线为，即， 设，满足， 到两渐近线距离乘积： 为定值，故B正确； 对于C：设，则，， 两式相减得， 由是中点得，，得斜率， 直线的方程为即 ， 联立直线与双曲线：，整理得， 判别式，无实根，不存在这样的直线，故C错误； 对于D：设，由双曲线定义， 平方得； ，， 由余弦定理：， 联立得， 面积，故D正确. 13．（25-26高三下·重庆·月考）（多选）已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（   ） A．是定值 B．以为直径的圆过点 C．对于上的任一点恒成立 D．面积的最小值为2 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及三角形面积公式求解判断AD；利用抛物线的几何性质推理判断BC. 【详解】抛物线的焦点，准线，设直线，， 由消去，得，则， 对于A，，A正确； 对于B，连接，由， 得，则， 因此以为直径的圆过点，B正确； 对于C，取中点，当为中点时，，则，C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，因此面积的最小值为2，D正确. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，其短轴长为，右焦点为，右顶点为．以其短轴为直径的圆上任意一点，都有为定值，则其椭圆的方程为______． 【答案】 【分析】运用直接法，代入坐标进行运算. 【详解】设，，设，（为常数）， 则有， 即有，对恒成立， 所以，消去得， 即． 由，得， 又．解得，， 则椭圆． 故答案为：. 15．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线与直线相切，在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于两点，使得为定值？______（填“存在”或“不存在”），若存在，求出点的坐标为______． 【答案】 存在 【分析】将抛物线方程与直线联立，由判别式为0可得.假设存在满足条件的点，则直线，将直线与抛物线联立结合韦达定理可得，据此可得答案. 【详解】将抛物线与直线联立有： ，消去x得：， 由于直线与抛物线相切，得，，所以． 假设存在满足条件的点，则直线， 将直线与抛物线联立有：，消去x得：. 判别式为：，设，， 由韦达定理有:，， ，， 从而 . 则当时，为定值，所以． 故答案为：存在；. 16．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，. (1)求椭圆的方程； (2)若为直角三角形，求的值； (3)直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由点差法和斜率的关系可得椭圆的基本量，进而可得椭圆方程； （2）根据三角形为直角三角形进行分三类情况讨论，若时结合根与系数关系可得斜率值；若或时，分别可得或的坐标，进而可得斜率值； （3）分别用直线的斜率为表示出点的横坐标，进而可证明定值. 【详解】（1）设，则，两式相减，得，即. 因为为的中点，所以， 所以直线的斜率为，所以， 所以，即. 因为椭圆的焦距为，所以，又因为， 解得，所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为.设，如图： 将代入方程，消得， ，解得. 则. 若时，有，即，, 即， 所以，化简整理得，解得，符合； 若时，则，即，所以. 又因为，联立方程组解得或（舍去）， 所以，所以，符合. 若时，则，即，所以. 又因为，联立方程组解得或（舍去）， 所以，所以，符合. 综上，或. （3）由直线的方程，知. 因为点为点关于轴的对称点，所以，所以直线的方程为， 令，得点的横坐标为，因为， 所以， 所以为定值. 17．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）8；（ii）为定值2. 【分析】（1）根据两点间距离公式及条件，列出方程，整理即可得答案. （2）（i）根据C的方程，可得点P的坐标，分析可得当时，点到直线的距离取得最大值，求出的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的值，代入弦长公式，即可得答案. （ii）设出直线的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的表达式，写出直线的方程，即可得点M的纵坐标的表达式，同理可得点N的纵坐标的表达式，结合条件可得的表达式，整理计算，即可得答案. 【详解】（1）设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． （2）（i）因为点是上的一点，所以，解得，即， 当点到直线的距离取得最大值时，有， 又，所以直线的斜率为，则直线的方程为， 设，由，得，所以， 所以． （ii）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 由，得， 此时即即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，得． 所以 ．即为定值2. 18．（2026·浙江·二模）设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点． (1)求轨迹W的方程； (2)过点的动直线与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线交于点C．过点F作直线，直线与直线，分别交于点D，E． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）若的面积与的面积之比为，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）直接利用题目中所给的条件即可求解，注意自变量的取值范围； （2）方法一：联立方程，利用韦达定理和三角形的面积公式进行求解； 方法二：用几何比例关系，把面积比转化成线段比进行求解； 方法三：将面积比转化成线段比，结合向量共线，代入曲线方程进行求解. 【详解】（1）设动点为． 则由直线，斜率之积为3，得， 整理可得． 因此轨迹W的方程为． （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，则． 由得，． 故， 直线的方程为，直线的方程为， 由解得． 同理解得． 故， 因此．即点F是线段的中点， 因此为定值． （ⅱ）方法一：不妨假设点P在第二象限，点Q在第一象限， 此时，，得． 由题意（*）． 由（ⅰ）得，． 代入（*）化简得， 得，即， 解得或（舍去）， 因此，代入双曲线方程得． 由对称性可得当点Q在第四象限时，，． 因此点Q的坐标为． 方法二：由题意， 利用结合，可得． 不妨设，则， 得，， 得． 因此，得． 解得（负值舍去）． 故，因此，代入双曲线方程得， 因此点Q的坐标为． 方法三：不妨设，，． 因为利用结合，得， 由，得， 化简得，解得． 因此． 故，因此，代入双曲线方程得， 因此点Q的坐标为． 19．（2026·江苏南京·一模）已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． (1)求和的值； (2)，为上两点，的重心在直线上． ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 【答案】(1)， (2)①证明见解析②证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义结合求出，进而得到抛物线方程，将点代入抛物线方程即可求出. （2）①方法一：利用作差法及重心坐标公式证明即可. 方法二：设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合重心坐标公式证明即可. ②结合①设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，即可求出直线方程. 方法一：求出直线方程恒过定点，结合集合关系即可证出在以为直径的定圆上运动. 方法二：求出的方程，与直线方程联立，得到点坐标，取特殊点求出圆的方程，再将点坐标代入验证即可. 【详解】（1）抛物线的准线方程为． 根据抛物线定义，，所以． 因此，抛物线的方程为． 将代入抛物线方程：，又，故． （2）①方法一： 设，， 则的重心为， 由题意知，，则． 所以直线的斜率，为定值． 方法二： 因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为，显然． 设，． 联立，整理得． 所以. 已知， 所以的重心的纵坐标， 所以，解得． 因此，直线的斜率，为定值． ②因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为．设，． 联立，整理得． 所以. 设为的中点，则： ，， 即． 直线与轴交点，，则中点． 由于，所以． 所以． 直线的斜率：， 直线的方程：，整理得. 法一： 令，代入方程，解得， 因此，直线经过定点． 因为，于， 所以在以为直径的定圆上． 法二： 由于，， 所以的方程为，即， 联立，得 即． 令，则，， 令，则，， 令，则，， 求得经过，，的圆方程为， 代入的坐标符合，所以在定圆上． 强化训练 1．（2026·广东东莞·模拟预测）已知M为圆P: 上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点N，则N点的轨迹为（  ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【详解】 圆的标准方程为，则圆心，半径， 在线段的垂直平分线上， ， 在线段上，且是圆的半径， ， 定点间的距离为， ，满足椭圆的定义， N点的轨迹为椭圆． 2．（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【答案】D 【详解】设，由题意可得， 即， 当时，则有，化简得； 当时，则有，化简得； 综上，当时，点的轨迹方程为； 当时，点的轨迹方程为. 3．（2026·云南红河·模拟预测）已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，若则直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线，，将直线与抛物线方程联立，得到，，根据列出方程，解得，即可确定直线所过定点. 【详解】显然直线的斜率不为，且不经过坐标原点， 故设直线的方程为，，． 联立方程消去得， 则，所以． 因为，所以，即， 解得， 所以直线的方程为，则直线过定点． 故选：C． 4．（24-25高三下·天津·月考）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的左支上，且与交于另一点，为坐标原点，则下列结论错误的是（ ） A．若点M的坐标为，则的离心率的取值范围为 B．若，，则 C．若，，则恒为定值 D．若，，则的最小值为 【答案】B 【分析】对于A，由点在渐近线的下方得到，推理即得离心率范围；对于B，利用双曲线的定义和焦半径的范围即得；对于C，根据点是否与双曲线的左顶点重合，分别推理计算，利用双曲线定义和余弦定理即可证得.对于D，根据点在双曲线的左右支分别求得最短弦长即可判断； 【详解】对于A，因点在的一条渐近线的下方，则，即， 故离心率，故A正确； 对于B，由，，得， 由双曲线的定义可知，则， 于是， 因为，所以，故B错误； 对于C，由，，可知，则，， 当点为双曲线的左顶点时， ； 当点不在双曲线的左顶点时， 因，则， 由余弦定理得， 又，所以， 因 则，即. 综上，恒为定值，故C正确. 对于D，因，，则， 当在的右支上时，因为在过焦点且与双曲线的两支各有一个交点的弦中， 最短弦的弦长为实轴长，故； 当在的左支上时，因为在过焦点且与双曲线的左支有两个交点的弦中， 当轴时，最小，此时，， 故的最小值为，故D正确. 故选：B 5．（2025·山东泰安·三模）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（   ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 【答案】A 【分析】设点，由两点间的距离公式得到P到y轴的距离与P到，距离之和的比为，再结合双曲线的定义即可判断. 【详解】不妨设点，且易有，，且，， 代入得P到y轴的距离与P到，距离之和的比值为 ， 由于P为双曲线C上一点，故等价于点到与的距离之差的绝对值，由双曲线定义知其等于2， 故原式等价于，为定值. 故选：A. 6．（2026·黑龙江·一模）（多选）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（   ） A．若，则点P的坐标为 B．若，则的最小值为6 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出的表达式，再利用函数导数求最值. 【详解】对于A，因为焦半径，所以，代入，解得， 所以，故A错误； 对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得，所以点A在抛物线内， 所以，当且仅当与轴平行时取等，故B正确； 对于C，设，则， 所以， 所以的最小值为，C正确； 对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限， 如图所示： 则 ， 令，分母为，则， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以当时，， 此时，由图知，所以，故D正确. 7．（25-26高二上·福建厦门·月考）（多选）设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【分析】A.根据抛物线方程，直接求准线方程；B.根据抛物线定义的应用，结合图形，转化为三点共线问题求解；C.利用点差法求直线方程；D.根据直线与圆相切的定义，结合抛物线的定义，即可判断. 【详解】A.抛物线，其准线方程为，故A错误； B. 如图所示，过点作准线于点，则，所以，当且仅当共线时，（即图中）最小，最小值为到准线的距离4，故B正确； C.设，， 则，两式相减得， 则，得，即直线的斜率为2， 所以直线的方程为，即，故C错误； D.设，，则，且的中点坐标为，中点到轴的距离为，所以以线段为直径的圆与轴相切，故D正确. 故选：BD 8．（2026·山东·模拟预测）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，左顶点为，点是的右支上一点，过点向双曲线两渐近线作垂线，垂足分别为、，则（   ） A．双曲线的离心率为 B．若直线与交于另一点，则的最小值为 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 【答案】ACD 【分析】求出、的值，利用双曲线的离心率公式可判断A选项；设出直线的方程，将该直线方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式可判断B选项；利用点到直线的距离公式可判断C选项；求出内心的坐标，分析可知点在双曲线上，结合双曲线的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，，则， 故双曲线的离心率为，故A正确； 对于B选项，由题意可知，若直线的斜率不存在，此时直线的方程为， 联立可得，此时， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 联立，可得， 所以，解得， 由韦达定理可得，， 所以， 当时，， 当时，； 当时，， 综上所述，，故B错误； 对于C选项，设点，则， 双曲线的两渐近线方程分别为、， 则为定值，故C正确； 对于D选项，如下图所示： 设、，其中，易知点，， 则， ，， 因为为的内心，则与向量共线， 且， 所以①， 同理可知与向量共线，且， ， 所以②， 联立①②解得，， 因为 ， 所以在双曲线上，易知在双曲线的右支上， 故为定值，故D正确． 故选：ACD． 9．（2026·四川巴中·一模）（多选）已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ） A．越大，则双曲线的离心率越大 B．过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点 【答案】ACD 【分析】本题A主要考查双曲线的离心率与渐近线的关系；B考查过双曲线上的一点的直线与渐近线的关系；C利用点到直线的距离求解即可；D根据直线与双曲线联立，求出交点坐标后，利用中点坐标验证即可。 【详解】A,因为双曲线的离心率公式：,所以越大，则双曲线的离心率越大，故A正确； B，过点与双曲线仅有一个交点的直线应该有三条，一条是过点的切线，另两条是与渐近线平行的直线，故B错误； C，设为双曲线上一点,代入方程得,去分母得，又因为渐近线为,所以点到两条渐近线的距离分别是,所以距离之积,显然是定值，故C正确； D，设,所以过点的切线方程是,联立切线与渐近线方程可得交点,所以MN的中点坐标=,故D正确; 故选：ACD 10．（24-25高二上·山西太原·月考）已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点A在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为__________. 【答案】 【分析】由已知结合直线与曲线的公共点个数先求出，然后结合抛物线的定义即可求解. 【详解】曲线表示抛物线与， 由得， 因为，所以， 可得抛物线与直线有两个交点， 曲线与直线有3公共点， 则直线与抛物线相切， 把代入得， 则，解得， 由对称性可知，设与轴的交点为， 则， 若为定值，则为定值， 则点分别为抛物线与的焦点， 此时为抛物线上一点到轴距离 与其焦点距离差的2倍，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2）直接推理､计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 11．（24-25高三上·安徽宣城·期末）点是椭圆上的动点，若的值为定值，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】将问题化为椭圆上任意一点到直线、的距离之和为定值，进一步化为直线在椭圆左上方且与椭圆相切或相离，联立方程并结合判别式确定参数范围. 【详解】由为定值，即为定值， 所以椭圆上任意一点到直线、的距离之和为定值， 显然、平行或重合， 且，则，即， 所以与椭圆无交点， 综上，只需保证椭圆在直线、之间即可，如下图， 需直线在椭圆左上方且与椭圆相切或相离即可， 联立有，则，即， 所以，即或， 当时，直线在椭圆右下方，不合要求； 当时，直线在椭圆左上方，符合； 所以m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：将问题化为直线在椭圆左上方且与椭圆相切或相离为关键. 12．（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 故答案为： 13．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为________. 【答案】6 【分析】分析抛物线的焦点和准线，确定点为焦点，利用抛物线定义，将转化为到准线的距离，分析的最小值，结合的定值，得到周长的最小值表达式，即可得解. 【详解】根据题意，则，所以抛物线的焦点坐标为，即定点，准线为，如图所示. 故的周长为，其中为定值，又根据抛物线的定义， 所以当三点共线时取得最小值， 此时，解得. 故答案为：6. 14．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，下顶点为，离心率，直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若平分，且，垂足为． 　求的取值范围； 　证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）利用已知条件求出，进而求出椭圆方程； （2）利用角平分线的性质，结合到角公式、韦达定理求出的关系，利用判别式构造不等式求解；利用垂直关系求出进而得出的直线方程，进而求出坐标，求出的轨迹方程，从而证明结论． 【详解】（1）已知椭圆的下顶点，故，则， 离心率，则，解得， 椭圆的方程为：． （2） 直线与椭圆联立得： ，设， 由韦达定理得， 已知平分，由到角公式可得： ①， ，，则 ，整理得②， ， 代入②得，即， 整理得③， 把③代入直线得：，联立椭圆方程得： ， 已知直线与椭圆有两个交点，则 ， 化简得，解得； 由可得，解得， 结合可得的方程：， 联立与的方程，代入，得， 解得，， 故， 设，则 ， ， ，即， ， 化为标准方程得：， 故是以为圆心，为半径的圆，故存在定点，使得为定值． 15．（2026·四川泸州·模拟预测）已知动点到定点的距离比它到直线 的距离小 (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交的轨迹于两点，若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设动点，利用轨迹方程的求法可得答案； （2）设直线，联立抛物线方程，得到关于的一元二次方程，由韦达定理得，由，得，将点坐标代入，化简，再将代入，可得，即得答案. 【详解】（1）设动点，根据题意，到的距离 比到直线的距离小，即： 分析绝对值范围： 若，则，代入得： 两边平方并化简： ， 化简可得， 若，则，代入得右边为负，而左边根号非负，无解， 因此，动点的轨迹方程为； （2）由题意可知，直线的倾斜角均不为和， 故直线，的斜率存在且不为， 因为，所以，即， 即， 若直线的斜率为，则与抛物线只有一个交点，若斜率不存在，则重合，均不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则 ， 得， 则直线恒过点. 16．（2026·安徽淮北·模拟预测）若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆C:，P，Q分别为左、右顶点且离心率，直线l过交椭圆C于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，. (1)求椭圆C的方程； (2)连接AQ，BQ，BP，并过A，B两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点D，过D作BQ的平行线交AQ于M点，直线OM（O为坐标原点）交直线BQ于点N，直线AQ和直线BP的斜率分别为和，N，B两点横坐标分别为.证明：为定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率和弦长列方程组求解； （2）设，与椭圆方程联立，利用韦达定理得出，代入中化简即可. 【详解】（1）因为，所以，， 令，则，得，则， 得，，， 故椭圆C的方程为； （2）若直线的斜率为，则过点的切线平行，不符合题意； 故设，，. 联立，得， 由韦达定理，得，则， 因为，所以 ， 故为定值. 17．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知双曲线的右焦点为为的两条渐近线，且的斜率为． (1)求的方程； (2)若点为上的动点，过点的直线与只有1个公共点，且与，分别交于点，． （i）求证：点为线段的中点； （ii）已知为坐标原点，的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析;（ii）是定值，定值为 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（i）设出点的坐标及直线的方程，与双曲线的方程联立，利用根的判别式及韦达定理推理得证；（ii）由（i）求出及原点到直线的距离，进而求出三角形面积. 【详解】（1）由双曲线的右焦点为，得， 直线的方程为，由的斜率为，得，解得， 所以的方程为. （2）（i）设，由（1）知，即， 设，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 由直线与只有1个公共点，得， 整理得，直线的方程为，即， 直线的方程分别为，由，得点， 同理，而， ，所以点为的中点. （ii）由（i）知，原点到直线的距离， 因此的面积， 所以的面积为定值. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $