专题14 圆锥曲线定点定值问题（6大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题14 圆锥曲线定点定值问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 以弦长或线段长度为背景的定值问题 题型02 以面积为背景的定值问题 题型03 以斜率为背景的定值问题 题型04 以向量运算为背景的定值问题 题型05 定点问题 题型06 定直线问题 模块三、综合实战演练 1、 解析几何简化运算的技巧： 一、几何法优先，化几何特征为代数关系 1. 紧扣曲线定义：椭圆/双曲线用距离和/差、抛物线用“焦半径=到准线距离”，将斜向距离转化为水平/竖直距离，替代距离公式的根式计算； 1. 活用几何性质：垂径定理、圆心/焦点到线的距离、弦中点与斜率的关系（点差法）、焦点三角/焦点弦的定值性质，直接列简单等式，避免联立； 1. 数形结合找特殊点：最值、相切、垂直等问题，先找几何特征点（如圆心连线、垂线与曲线交点），再计算，不盲目设参。 二、巧设方程与坐标，减少未知量 1. 曲线方程选最优：椭圆/双曲线优先设标准式，抛物线按开口方向设最简式（如）；过定点直线设斜截式/点斜式，斜率不存在单独讨论，避免一般式的复杂系数； 1. 设参避繁就简：过焦点直线设参数方程（）或斜率k的倒数，减少联立后的分式；动点设单参数，依托曲线方程用一个变量表示另一个（如椭圆上点设）； 1. 利用对称设坐标：中点、对称点问题，设中点坐标为，利用点差法直接得斜率与的关系，无需设两点坐标。 三、联立方程巧化简，善用韦达定理避求根 1. 联立前先整理：将直线方程代入曲线方程前，先消去一个变量（如直线代入椭圆，直接消），整理为一元二次方程标准式，系数尽量化为整数； 1. 韦达定理“设而不求”：联立后不求根，直接用、，计算弦长、中点、面积等时，用韦达定理整体代换，规避根式求解； 1. 巧消参降次：遇到含参数的方程，利用曲线方程消去高次项（如椭圆上点满足，将用低次式表示），减少运算量。 四、运算细节把控，规避无效计算 1. 提前约分化简：计算过程中，系数、分式先约分，再展开，避免大数运算；根式运算先平方，再化简，最后开方； 1. 巧用代换消元：将重复出现的代数式设为新变量（如设），简化书写和计算； 1. 跳过无效步骤：无需求具体点坐标时，不单独解，用韦达定理整体代换；判断位置关系（如相切、相交）时，直接用判别式，不联立求根。 二、定点问题一般化证明思路： 核心思路：参数分离法（最通用），将方程整理为“参数×系数式 + 无参数式 = 0”，解方程组得定点 1. 特殊探路：取参数2个特殊值（如斜率），联立得2条直线/曲线，求交点即为猜想定点； 2. 一般设参：设含参数的直线/曲线方程（如过动点点、含动斜率的直线）； 3. 代入化简：将直线方程代入曲线方程，结合题设条件（如垂直、中点、面积约束）化简，整理为关于 4. 参数的恒等式（如）； 5. 参数分离：令参数的系数和常数项分别为0，列方程组（如），求解得定点坐标； 6. 验证：将定点代入原方程，验证对任意参数均成立（可选，确保无漏解）。 关键：整理方程时务必让参数单独成项，实现彻底分离。 三、定值问题一般化证明思路： 核心思路：用参数表示目标代数式，通过代数化简（消参、代换、韦达定理）消去所有参数，得到常数 1. 特殊探路：取参数特殊值（如、动点在顶点），计算目标代数式的值，即为猜想定值； 2. 设参列式：设核心参数（斜率、动点坐标参数等），用参数表示目标量的相关坐标/线段长/斜率等； 3. 代数化简：结合曲线方程、韦达定理、题设条件，对目标代数式逐步消参化简（优先整体代换，如用代换）； 4. 定结论：化简后消去所有参数，得到常数，即为定值。 关键：目标代数式优先用韦达定理整体表示，不单独求点坐标，减少计算；遇分式先通分，遇根式先平方。 四、定直线问题一般化证明思路： 核心思路：用参数表示动点坐标/动直线方程，消参后得到无参数的直线方程，或证明动直线与某定直线的位置关系（斜率/距离）为定值 类型1：动点在定直线上（轨迹型） 1. 设动点坐标，用参数表示（得参数方程）； 2. 消去参数，整理为无参数的直线普通方程（如），即为定直线。 类型2：动直线恒过定直线/位置关系定值 1. 特殊探路：取2个参数值，得2条动直线，求其交点所在直线/判定位置关系，猜想定直线； 2. 设参表示动直线方程（如），结合题设条件化简，消去参数得到定直线方程，或证明动直线斜率=定直线斜率（平行）、斜率乘积=-1（垂直）。 关键：若证动直线与定直线平行/垂直，只需证明斜率关系为定值，无需求直线方程。 题型01 以弦长或线段长度为背景的定值问题 1．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上； (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 2．已知椭圆：（）的上顶点、左顶点、左焦点构成的三角形的面积为，且的长轴长为短轴长的2倍． (1)求椭圆的标准方程． (2)设斜率为且不过坐标原点以及椭圆上下顶点的直线与相交于，两点，直线，的斜率分别为，，已知，，成等比数列． ①求的值； ②证明：为定值． 3．已知双曲线，过点的直线l与圆交于A，B两点，且的最小值为，当直线l平行于双曲线C的渐近线时，双曲线C的左顶点到直线l的距离为． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C上一点R作两条渐近线的垂线，垂足分别为G，H，证明：； (3)已知点，两个不重合的动点M，N均在双曲线C上，直线PM，PN分别与y轴交于点E，F，点Q在直线MN上，且．试问：是否存在定点T，使得为定值？若存在，求出该定点T和；若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，点为椭圆上的两不重合动点，且当均在直线上时，. (1)求的离心率； (2)若，直线上一点满足，证明：为定值. 5．已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； (3)设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 核心：将弦长/线段长用参数表示，结合弦长公式化简消参得常数 1. 设核心参数（如直线斜率、动点参数），表示直线/曲线方程； 2. 联立方程用韦达定理得，套弦长公式（或曲线定义转化焦半径，抛物线优先用）； 3. 结合题设条件化简长度表达式，消去所有参数，验证结果为定值； 关键：非焦点弦优先韦达定理，焦点弦优先曲线定义，减少根式计算。 题型02 以面积为背景的定值问题 1．已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，在C上， ①若A是C与x轴的一个交点，B是C与y轴的一个交点，求的面积的最大值； ②记线段中点为M， ，记的面积为，判断是否为定值，并说明理由. 2．设椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为上异于顶点的任意一点，且直线与的斜率之积为.作的两条互相垂直的切线，且这两条切线相交于点，切点为，. (1)求的方程. (2)证明：点的轨迹是圆. (3)过原点作交于，作交于，作，垂足为，设点的轨迹围成的封闭图形的面积为，点的轨迹围成的封闭图形的面积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 3．如图，已知双曲线经过点，其离心率为，点，分别为C的左、右焦点，直线，分别是C的渐近线，点P是C上的动点，点Q与点P关于原点O对称． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线，，求证：四边形PMQN的面积为定值，并求出此定值； (3)设是四边形内部(不含边界)的点，记，其中，求证：． 4．已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长的差为2，点都在上，为坐标原点，且. (1)求椭圆的方程； (2)当点异于椭圆顶点时， （i）求直线与的斜率之积； （ii）证明：的面积为定值，并求的值. 5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为E，且 ，点在C上. (1)求C的方程. (2)已知A，B是椭圆 上的点，是C 上一点，若线段 PA，PB 的中点都在上，记 （i）当点 P 运动时，证明：的面积是定值； （ii）求的取值范围. 核心：将面积转化为弦长×高或向量叉乘形式，消参化简得常数 1. 选简易面积公式：三角形优先水平/竖直底高（定底看高，定高看底），或向量叉乘；多边形拆分为多个三角形求和； 2. 用参数表示弦长（韦达定理/定义）和高（点到直线距离公式），代入面积公式； 3. 结合曲线方程消参，化简后验证为定值； 关键：优先选平行于坐标轴的边作底，规避斜向距离的复杂计算。 题型03 以斜率为背景的定值问题 1．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，点P满足.记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C的左、右顶点分别为A、B，设点E是曲线C上一动点，且点E不在x轴上，直线交曲线C于点M（异于点E），直线交曲线C于点N（异于点E）. （i）若的角平分线交x轴于点T，，求t的取值范围； （ii）若点E不在y轴上，记直线MN的斜率为k，直线EA的斜率为，直线EB的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 2．若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆分别为左､右顶点且离心率.直线过交椭圆于两点.当直线垂直于轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)连接，并过两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点，过作的平行线交于点，直线（为坐标原点）交直线于点，直线和直线的斜率分别为和两点横坐标分别为. 证明（i）为定值： （ii）为定值. 3．已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点. (1)求椭圆方程； (2)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）当最大时，求直线方程. 4．已知椭圆过点，且离心率为 (1)求E的方程； (2)直线经过E的左焦点与E相交于A，B两点，直线与E相交于C，D两点，且的交点为E的右焦点，记的斜率分别为 （i）证明：λ为定值； （ii）求点P到的距离的最大值. 5．已知为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点． (1)若， ①求出外接圆半径R和内切圆半径r（用含a，b，c的式子表示）； ②若，且的外接圆面积是其内切圆面积的4倍，求该椭圆的方程； (2)在（1）求得的椭圆中，若P为一椭圆上动点，若延长交椭圆于点Q，椭圆的左右顶点分别为M，N（不与P，Q重合）记直线与的斜率分别为，证明为定值． 核心：表示出相关直线的斜率，通过代数变形消参，证斜率/斜率和/积为定值 1. 设动点/交点坐标，用参数表示斜率（若为双斜率，如，分别表示后相乘）； 2. 联立方程得坐标关系，或用点差法、曲线方程代换消去高次项，化简斜率表达式； 3. 消去所有参数，验证斜率和/积/单斜率为常数； 关键：遇斜率乘积/和，优先通分整理，用韦达定理整体代换，不单独求坐标。 题型04 以向量运算为背景的定值问题 1．已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知椭圆：的（）一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，求的面积的最大值； (3)试问平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 3．在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知是线段上一点（异于），过点的直线与交于两点，直线分别交直线于两点. （i）若点在轴的正半轴上，则是否存在直线，使得的面积是面积的4倍？说明理由. （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 4．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为． (1)求的方程． (2)过的直线与交于，两点，与直线交于点，设，，证明：为定值． 5．双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时，是等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值． 核心：将向量运算转化为坐标代数运算，消参化简得定值 1. 向量条件坐标化：；坐标成比例，直接转化为代数等式； 2. 用参数表示相关点坐标，代入向量运算等式； 3. 结合韦达定理、曲线方程消参，化简后验证结果为定值； 关键：向量的数量积、共线、垂直等性质，直接按坐标规则转化，规避向量几何推导的复杂步骤。 题型05 定点问题 1．已知抛物线，过上一动点作斜率为2的直线与交于另一点，当点与原点重合时，． (1)求． (2)当不经过点时，直线与交于另一点，直线与交于另一点． （i）证明：； （ii）试判断直线与是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由． 2．已知椭圆：的两焦点分别是，，左顶点为，是椭圆上任意一点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)动圆的圆心坐标为，过点作圆的两条切线，分别交椭圆于、两点，、两点与不重合，若直线、的斜率分别为、，求证：； (3)设存在斜率的直线与椭圆交于，两点（不是左右顶点），若以线段为直径的圆经过点，试判断直线是否恒过定点，若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由. 3．已知椭圆的右焦点，短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)记为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线恒过定点； （ii）求面积的取值范围. 4．已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 5．已知分别是椭圆的左､右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点． (1)设直线的斜率分别为，求的值； (2)求证：直线过定点． 核心：参数分离法为主，将直线/曲线方程整理为“参数×系数式+无参数式=0”，解方程组得定点 1. 特殊探路：取参数2个特殊值（如），联立得2条直线/曲线，求交点即为猜想定点； 2. 一般设参：设含单参数的直线/曲线方程（如，用表示）； 3. 化简整理：结合题设条件化简方程，将参数单独分离成一项，整理为（为参数）； 4. 求定点：令，求解坐标，验证对任意参数成立； 关键：参数分离要彻底，确保方程对所有参数恒成立，勿忘讨论斜率不存在的情况。 题型06 定直线问题 1．设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：在定直线上运动，并求出定直线方程． 2．已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 3．已知椭圆 （>）的离心率为 A，B分别为椭圆C的上、下顶点，O为坐标原点，直线与椭圆C交于不同的两点P，Q. (1)设点M 为线段PQ的中点，证明：直线OM 与直线PQ的斜率之积为定值； (2)若时， ①求椭圆C的方程； ②证明：直线BP与直线AQ的交点D在定直线上. 4．已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于两点，过两点作曲线的两条切线，求证：两切线的交点都在定直线上，并求此直线的方程． 5．已知抛物线（）的焦点为F，直线与抛物线交于P，Q两点，，且（O为坐标原点）. (1)求抛物线E的方程； (2)A，B，C，D为抛物线E上的4个点，，且直线AC与BD交于点. （ⅰ）求直线AB的斜率； （ⅱ）试判断直线与是否交于定点？若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由. 核心：用参数表示动点坐标/动直线方程，消参得无参数直线方程，或证位置关系为定值 类型1：动点在定直线上 1. 设动点，用参数表示其坐标得参数方程； 2. 消去参数，整理为无参数的直线普通方程，即为定直线。 类型2：动直线恒过定直线/位置关系定值 1. 特殊探路：取2个参数值得2条动直线，求交点所在直线或判定位置关系，猜想定直线； 2. 设参表示动直线方程，结合题设条件化简消参，得定直线方程；若证平行/垂直，只需证动直线斜率与定直线斜率为定值关系（相等/乘积为-1）； 1．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，为第一象限内上的动点，，直线，的斜率之积为． (1)求的方程； (2)求四边形面积的最大值； (3)直线与直线交于点，过点且与平行的直线交直线于点，证明：点E在一定直线上，并求出该定直线的方程． 2．动圆与直线交于两点. (1)证明动圆必过两定点；并求. (2)当时，过原点O的直线与圆C交于不同两点，且直线不过C圆心.过分别作圆C的切线，求证：在一条定直线上. (3)是否存在轨迹，在上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出轨迹方程；若不存在，请说明理由. 3．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的右焦点，过F且斜率不为0的直线l与C交于A，B两点，的最小值为，点M为AB的中点． (1)求C的方程； (2)若的面积是面积的2倍，求直线l的方程； (3)延长OM交直线于点N，求证：以MN为直径的圆恒过定点，并求出该定点坐标． 4．已知抛物线 的焦点为为坐标原点，抛物线上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，直线与抛物线相交于另一点，直线与抛物线相交于另一点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：直线经过定点． 5．已知双曲线经过点，且左顶点到双曲线的一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程． (2)直线与双曲线的左、右两支分别交于两点（均在轴上方），为坐标原点． （i）若，作，垂足为，求点的轨迹长度； （ii）设两点关于点对称，为右顶点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 6．已知椭圆的标准方程为 ，定点，直线l与椭圆交于两点且不过原点． (1)求椭圆的焦点坐标，并且指出椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离的取值范围（直接写出结果，可以不用证明）； (2)若，求证：直线l经过定点，并求出定点的坐标． 7．已知双曲线C过点，且渐近线方程为，抛物线（）的焦点F与双曲线C的顶点重合，动直线l与抛物线D交于点M，N，与x轴交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，若，试探究点Q是否为定点，如果是，求出点Q的坐标；如果不是，请说明理由. 8．著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆的离心率为，且右顶点与上顶点的距离. (1)求椭圆的方程和面积； (2)若直线交椭圆于，两点（、均不与点重合），且以，为直径的圆过点，证明直线过定点，并求出该定点的坐标. 9．已知椭圆的左右焦点间的距离为2，椭圆C的左顶点到左焦点的距离为1. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，斜率存在且不为0的直线l与C相交于点A，B（A在B的左侧），设直线的斜率分别为且 ①求证：直线l过定点； ②设直线相交于点M，求证：为定值. 10．已知，点，设为圆内的一个动点，为线段的中点.若始终满足，动点的轨迹记为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线，点，直线过点与曲线交于两点，与直线交于点. ①若，求直线的斜率； ②若记直线的斜率分别为问是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由. 11．已知点与定点的距离和它到定直线的距离之比为． (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为． （i）求的取值范围； （ii）求证：为定值． 12．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 13．已知抛物线C：上的一点到焦点F的距离为2． (1)求抛物线C的方程； (2)直线l过抛物线C的焦点F与抛物线交于A，B两点，且都垂直于直线：，垂足为，直线与y轴的交点为Q，求证：为定值． 14．已知圆圆与圆均外切. (1)求圆心的轨迹方程. (2)过点的直线与的轨迹交于两点，过原点作直线，点为直线与点的轨迹的交点. ①当的斜率为时，求的值； ②当的斜率不为时，求证：为定值. 15．已知双曲线C：的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左顶点为A，过点的直线交双曲线C于点M，N（点M在第一象限）. ①当直线的斜率为1时，求； ②记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题14圆锥曲线定点定值问题 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01以弦长或线段长度为背景的定值问题 题型02以面积为背景的定值问题 题型03以斜率为背景的定值问题 题型04以向量运算为背景的定值问题 题型05定点问题 题型06定直线问题 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、解析几何简化运算的技巧： 一、几何法优先，化几何特征为代数关系 1.紧扣曲线定义：椭圆/双曲线用距离和/差、抛物线用“焦半径=到准线距离”，将斜向距离转化为 水平/竖直距离，替代距离公式的根式计算： 2.活用几何性质：垂径定理、圆心焦点到线的距离、弦中点与斜率的关系（点差法）、焦点三角/焦 点弦的定值性质，直接列简单等式，避免联立： 3.数形结合找特殊点：最值、相切、垂直等问题，先找几何特征点（如圆心连线、垂线与曲线交 点)，再计算，不盲目设参。 二、巧设方程与坐标，减少未知量 1.曲线方程选最优：椭圆/双曲线优先设标准式，抛物线按开口方向设最简式（如y=2px)；过定 点直线设斜截式/点斜式，斜率不存在单独讨论，避免一般式的复杂系数： 2.设参避繁就简：过焦点直线设参数方程（X=X+tcos8,y=yo+tsin8)或斜率k的倒数，减少 联立后的分式；动点设单参数，依托曲线方程用一个变量表示另一个（如椭圆上点设 (acos0,bsin0)): 3.利用对称设坐标：中点、对称点问题，设中点坐标为Xo,yo),利用点差法直接得斜率与x。、y的 关系，无需设两点坐标。 1/88 品学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 三、联立方程巧化简，善用韦达定理避求根 1.联立前先整理：将直线方程代入曲线方程前，先消去一个变量（如直线y=x+m代入椭圆，直接 消y),整理为一元二次方程标准式Ax+BX+C=0,系数尽量化为整数； 2.韦达定理“设而不求”：联立后不求根，直接用X1+X2=一B/A、X1X2=C/A,计算弦长、中点、 面积等时，用韦达定理整体代换，规避根式求解： 3.巧消参降次：遇到含参数的方程，利用曲线方程消去高次项（如椭圆上点满足x1a+y1b=1, 将x2、y用低次式表示)，减少运算量。 四、运算细节把控，规避无效计算 1.提前约分化简：计算过程中，系数、分式先约分，再展开，避免大数运算；根式运算先平方，再 化简，最后开方： 2.巧用代换消元：将重复出现的代数式设为新变量（如设t=1+k2),简化书写和计算： 3.跳过无效步骤：无需求具体点坐标时，不单独解X1、X2,用韦达定理整体代换；判断位置关系 (如相切、相交)时，直接用判别式△，不联立求根。 二、定点间题一般化证明思路： 核心思路：参数分离法（最通用），将方程整理为“参数×系数式+无参数式=0”，解方程组得定点 1.特殊探路：取参数2个特殊值（如斜率k=0、k=1),联立得2条直线/曲线，求交点即为猜想定 点： 2.一般设参：设含参数的直线/曲线方程（如过动点点、含动斜率k的直线y=k心+m(k): 3.代入化简：将直线方程代入曲线方程，结合题设条件（如垂直、中点、面积约束）化简，整理为关 于 4.参数的恒等式（如(mx-y)+k(x-2)=0): 5.参数分离：令参数的系数和常数项分别为0，列方程组（如 mx-y=0、 ,求解得定点坐标： X-2=0 6.验证：将定点代入原方程，验证对任意参数均成立（可选，确保无漏解）。 关键：整理方程时务必让参数单独成项，实现彻底分离。 三、定值问题一般化证明思路： 核心思路：用参数表示目标代数式，通过代数化简（消参、代换、韦达定理）消去所有参数，得到常数 1.特殊探路：取参数特殊值（如k=0、动点在顶点），计算目标代数式的值，即为猜想定值： 2.设参列式：设核心参数（斜率k、动点坐标参数t等），用参数表示目标量的相关坐标/线段长/斜率等： 2/88 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.代数化简：结合曲线方程、韦达定理、题设条件，对目标代数式逐步消参化简（优先整体代换，如 用x1+X2、X1X2代换)： 4.定结论：化简后消去所有参数，得到常数，即为定值。 关键：目标代数式优先用韦达定理整体表示，不单独求点坐标，减少计算：遇分式先通分，遇根式先 平方。 四、定直线问题一般化证明思路： 核心思路：用参数表示动点坐标/动直线方程，消参后得到无参数的直线方程，或证明动直线与某定直线的 位置关系（斜率/距离)为定值 类型1：动点在定直线上（轨迹型) 1.设动点坐标(x,y),用参数表示x、y(得参数方程 x=f(t) y=g(t) 2.消去参数t,整理为无参数的直线普通方程（如X+y一2=0），即为定直线。 类型2：动直线恒过定直线/位置关系定值 1.特殊探路：取2个参数值，得2条动直线，求其交点所在直线/判定位置关系，猜想定直线： 2.设参表示动直线方程（如y=x+(k)，结合题设条件化简，消去参数得到定直线方程，或证明 动直线斜率=定直线斜率（平行）、斜率乘积=-1（垂直）。 关键：若证动直线与定直线平行/垂直，只需证明斜率关系为定值，无需求直线方程。 压轴题型专练 模块二 题型01以弦长或线段长度为背景的定值问题 x2 y2 1.已知双曲线c:京下=l(a>0,b>0)的离心率为2，点p2,-)在双曲线c上： 3/88 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B M (1)求双曲线C的标准方程： (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E:(x-5)2+y2=2上的动点，且直线ST与圆E相切，求ST1的最 小值： (3)如图，A,B是双曲线C上两点，直线PA,PB与y轴分别交于点M,N,点Q在直线AB上；若M,N关于 原点对称，且PQ⊥AB,是否存在点R,使得QR为定值：若存在，求出该定点R的坐标：若不存在，请 说明理由； 【答案10号号1 (230 2 3)存在点R(1,-2),使得引QR|为定值，理由见解析 【分析】(1)根据已知条件列方程组求解即可， (2)根据直线ST与圆E相切得到ST=V小SE-2，设出点s坐标，结合二次函数性质求出SE,进而 求得|STln. (3)设出直线方程y=心x+m并与双曲线方程联立，结合韦达定理得到+x2,xx2;求出直线PA、PB方 程，得到点M、N坐标，结合对称列方程求出m=-3,求得PD为定值，再结合直角三角形的性质求解 即可 【详解】(1)因为双曲线C的离心率为V2,点P(2,-1)在双曲线上， e-c-V2 a 2212 所以 a6=1，解得 c2=a2+b2 a2=3b2=3 所以双曲线的方程为等兮-1 (2)圆E:(x-5)2+y2=2的圆心E(5,0),半径为√2 4/88 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 因为T是圆E上的动点，直线ST与圆E相切，所以ST⊥TE,|TE=√2。 所以ST=VsE-|ET=VsE-2 设S到，W,因为点s是双曲线C上的动点，所以号-亨=1， 3 所以SE=Vx0-5)2+=V号-10x+25+x-3= 5)2,19 2。-2+ 2 19 当无时5西取得最小值，此时5L= 所以57V得2=@ 19 2 (3)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=a+m, x2 y2 =1 联立33，整理得 y=kx+m 1-k2）x2-2ax-m2-3=0 △=(-2km)2-41-k2)-m2-3)=4m2-3k2+3>0且1-k2≠0， 股小85则+5m 2km 1-k2 直线p1的方程为+1= 七-2x-2, 令=0期1导即12》 x-2 同理可得， W0,-1-2y+2 x3-2 5/88 函学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 M D B 因为，v关于原点对称，所以-1-2当十号 +-1-2+2】 x-2 2-2 0 即-1-2+m+2 2(x2+m)+2 =0 x-2 x2-2 整理得(2k+1xx2-(2k-m+1(x+x)-4m=0, 即12k+-m2-3}2m2k-m+1 -4m=0, 1-k2 1-k2 整理得m2+2k+4m+6k+3=0,即(m+3)(m+2k+1)=0, 所以m=-3或m+2k+1=0」 若m+2k+1=0,则m=-2k-1,则直线方程为y=x-2k-1,即y+1=k(x-2), 此时直线AB过点P(2,-),不符合题意 若m=-3,则直线方程为y=-3,恒过定点D(0,-3), 所以PD=V22+(-1+3)2=2W2为定值， 又P?⊥AB,在Rt△PQD中，PD为斜边， 所以当R为pD中点(1，-2时，RQ=PD=2 因此存在点R(1,-2),使得QR为定值。 x2y2 已知椭圆，一+=(、6、。)的上顶点、左顶点、左焦点构成的三角形的面积为2二， 的长轴长为短轴长的2倍。 (1)求椭圆C的标准方程， (2)设斜率为k且不过坐标原点O以及椭圆上下顶点的直线I与C相交于P,Q两点，直线OP,O0的斜率 分别为k,k2,已知k,k,k2成等比数列. ①求k的值： ②证明：OP+OQ为定值. 6/88 可学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答案】0) 4+2=1 (2)①k=±2：②证明见解析 【分析】(1)利用已知条件，求解椭圆的基本量： (2)①设点坐标分别表示出k1,k,k2的关系，利用韦达定理计算结果：②运用两点间距离公式，消元 得到关于x的对称式，代入计算即可， a-c.b=2-3 2 2 【详解】(1)由题意知a=2b a2=b2+c2 解得a=2,b=1,c=V3, x 故椭圆c的标准方程为4+少=1. (2) ①设直线1的方程为y=+m(m≠0)，点P(x,片)，Q(x2,2). 将直线1的方程代入椭圆C的方程，得42+1x2+8kx+4m2-4=0, 24m2-4 由A>0得㎡<4收1则+=6 因为k,k,k2成等比数列， 所以2=kk,=业=红+m(a+m xx X X2 即am(x+x2)+m2=0」 肉为0所以kx十+m0,即4+十1=0，解得太=号 ②证明：由@如+华众4 则x+x2=-4km,xx2=2m2-2. 7/88 可学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 0P+O0=x+y+x+y=x+(+m2+x号+(2+m) =(k2+1(x+x号)+2m(x+x)+2m2 -l6m2-22m-2-8m+2m=5, 故oP+|Og为定值. 3.已如双曲线C:号茶=a>06>0,过点0L0的直线与风0F+了=交于么B两点，且 1AB的最小值为25，当直线1平行于双曲线C的新近线时，双曲线C的左顶点到直线1的距高为3 5 ()求双曲线C的方程： ②过双曲线C上一点R作两条渐近线的垂线，垂足分别为G,H,证明：1RGRH仁 5 (3)已知点P(W0,-3),两个不重合的动点M,N均在双曲线C上，直线PM,PN分别与y轴交于点E,F, 点Q在直线MN上，OE+OF=0且Pp⊥MN.试问：是否存在定点T,使得QTI为定值？若存在，求出 该定点T和QT;若不存在，请说明理由. +2 【答案】() y =1 6 (2)证明见解析 3)存在定点 2 2 使得Q7为定值 2 【分析】(1)根据题意确定O到直线1距离最大时，AB最小，可求出α=2，继而确定左顶点为(-2,0)， 3V15 由左顶点到直线I的距离为 5 可求出双曲线方程 (2)设K小由点到直线距高会式，表示出G和，轻i计算可证明G。 (3)设直线MN:y=x+m,与双曲线联立，由OE+OF=0,可求出直线MN过定点s(0,-2),结合 PQ⊥MW,可知Q在以PS为直径的圆上，则圆心为定点T,Q到点T的距离为定值. 【详解】(1)由题可知：圆心O(0,0),半径为a, 设点O(0,0)到直线1的距离为d,则AB=2√a-d: d的最大值为OD=1,此时AB最小，2Va2-P=2W5,解得：a=2: .b 则双曲线渐近线为y=±2， 8/88 可学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 当直线1平行于双曲线C的渐近线时，1：bx-2y-b=0,(取斜率为正的情况)， -2b-0-b3vV15 此时左顶点(-2,0到，的距离为 VB2+45, 解得：2=6 双曲线方程为： x2 y2 =1 46 2)双线渐近线为：=±，设点K满足兰菩=1，即3戏-2=2 则点n到新近线的距高为RG-6一2 RH= V6x+2% 10 √10 所以RGH=c-4d_23-2d_2x12.2 10 10 105 (3)设M(x,y),N(x,2),直线MN:y=x+m,与双曲线联立可得： 3-2k2)x2-4kx-2m2+12=0, △=16k2m2+43-2k2)2m2+12=246-4k2+m2)>0, 4km -2m2+12 x+63-2k’x6= 3-2k2 线·3-而1气0时，得以8同理0的 PM 女-V10 x2-V10 0+际+%.需票0， x2-V10 整理得：-23+V10k)xx2+V010k-m+3(x+x)+20m=0, 代入韦达定理化简得：(m+2m+V10k+3=0 若m=-Ok-3,则直线MN:y=-V0k-3=k(x-0-3,过点P√10，-3)，与题意矛盾，舍去： 若m=-2,直线MN:y=kx-2,恒过定点S(0,-2: ?PO⊥MN,点Q在直线MN上，.∠P2S=90°， M 9/88 可学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 根据直径所对圆周角为直角，可确定Q在以PS为直径的圆上， V105 圆心为中点 PS 2,21 到圆心的距离恒为PS_, 22 105 故存在定点 2,2 使得Q7=恒成立. 4,在平面直角坐标系xO中，点p0为椭圆C+X=a>b>0上的两不重合动点，且当p0均在直 线，=x上时，Pg=456 3 (I)求C的离心率； (2)若OP⊥OQ,直线PQ上一点M满足OM⊥PQ,证明：OM为定值. 【容】09 (2)证明见解析 ab 【分析】(1)利用椭圆对称性并且联立直线和椭圆方程可解得+，结合PQ长度可计算得出离 心率： Q的斜率不存在时计算可知OM二6b,当直线pO的斜率存在时，设直线 P=x+m·联立椭圆方程并结合韦达定理求出原点。到直线PO的距离为OM=Y。b 【详解】(1)不妨设P(x,),Qx2,2 当P,Q均在直线y=x上时，由椭圆的对称性有x==-x2=一2， y=x 不妨设 ，联立x2,y2 x2=a2b2, x>0 a2+b2 ab 因为x>0则5= Va2+b2' 2v2ab 43b 则1Pg=x-x+-了=22x则+历-3，则a-26 设。=2-，则20=G即离心率e=名5 a 2 (2)①设点M(x,%),当y=0时，直线PQ的斜率不存在，其方程为x=x, 10/88