精品解析：福建省福州高级中学2025-2026学年高二第二学期数学适应性训练

福州高级中学2025-2026学年高二第二学期数学适应性训练 一、单选题 1. 小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 4. 如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ） A. 19种 B. 18种 C. 17种 D. 16种 5. 若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 6. 定义在上的函数满足，对任意的，且，均有. 若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中?已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（ ） A. 28种 B. 36种 C. 48种 D. 64种 8. 现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（ ） A. 在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B. 第二次取到1号球的概率 C. 如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 D. 如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 二、多选题 9. 下列结论正确的是（   ） A. 若随机变量，则 B. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 C. 若，，且，则C，D相互独立 D. ，，，则的值为 10. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点从点处出发，每次向上或向右移动1个单位长度，直至到达点时停止移动，则下列结论正确的是（ ） A. 移动的方法共有252种 B. 仅有4次连续向上移动的方法有30种 C. 经过点的移动方法有70种 D. 若对任意，从第次到第次的移动方向相同，则移动的方法有2种 11. 已知则下列结论正确的是（ ） A. 若点P的坐标为，则过点P与相切的直线只有一条 B. 若存在两个极值点，且则与有3个交点 C. 若，则 D. 若的图象与x轴交于A，B，C三点，且在三点处的切线的斜率分别为，则 三、填空题 12. 已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式中系数最大的项等于54，则正数的值为__________. 13. 某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 14. 若，，则的值为______. 四、解答题 15. 为了了解学生普法教育情况，某学校组织了一次法律知识测试，现随机抽取了该校20名学生的测试成绩，得到如图所示的茎叶图： （1）若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率； （2）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求的分布列及数学期望． 16. 已知函数 （1）讨论的单调性. （2）若对任意都有恒成立，求的取值范围. 17. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆的圆心的轨迹与轴交于两点，位于轴右侧的动点满足，并且直线分别与交于两点． （1）求轨迹的方程及动点的轨迹方程； （2）直线是否过定点?若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，，． （1）求的长； （2）若， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②空间中一动点满足，求的最小值． 19. “猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行． （1）双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为． （i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率； （ii）求第次答题的是选手甲的概率． （2）单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2025-2026学年高二第二学期数学适应性训练 一、单选题 1. 小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 2. 甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因为第一排的站法有种，第二排的站法有种， 所以不同的站法有种. 故选：B. 3. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 4. 如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ） A. 19种 B. 18种 C. 17种 D. 16种 【答案】C 【解析】 【分析】按第一行的染色分类，再计算对应第二行的染色数即可求解. 【详解】①第一行全蓝（蓝蓝蓝）：第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红， 三个格子的染色共：1（全蓝）3（1个红）1（2个不相邻红）=5种； ②第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）：第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为（蓝XY）， 要求X、Y不都红，共3种符合要求的染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）； ③第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）：第二行中间格子不能为红，第二行格式为（X蓝Y），X、Y无相邻限制，共种符合要求的染色； ④第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）：和第二种情况对称，共3种符合要求的染色； ⑤第一行两个红（红蓝红）：第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为（蓝X蓝），X可红可蓝，共2种符合要求的染色； 所以总染色方法数：种. 5. 若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑时，根据零点存在定理确定此时函数有一个零点，结合题意可知时，有两个零点，对函数求导，利用导函数得到函数的单调性，求出函数的最小值为，和端点函数值，构造不等式求解即可. 【详解】当时，则，， 所以在上单调递增，且，， 在内存在唯一零点； 因为函数在其定义域内恰有三个零点， 所以当时，有两个零点， ，令，则或（舍去）， 在上单调递减，在上单调递增， 又当，时，，且，当时，， 所以当时，有两个零点时， 需满足，解得. 6. 定义在上的函数满足，对任意的，且，均有. 若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为偶函数可把原不等式化成， 再根据得在上是增函数， 故在上是减函数，从原不等式可进一步化为在上恒成立， 参变分离后得在上恒成立，利用导数分别求两个函数的最大值、最小值即可. 【详解】因为，故为上的偶函数且原不等式可化为① ， 又不妨设，则， 故在上是增函数，所以在上是减函数， 故①可化为在上恒成立， 所以在上恒成立， 也就是在上恒成立. 令，则， 当时，，故为增函数； 当时，，故为减函数，所以. 令，则， 当时，，故为减函数，所以. 综上，， 故选:. 7. 中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中?已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（ ） A. 28种 B. 36种 C. 48种 D. 64种 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，分3种情况讨论： ①若前庭功能排在最后一项，超重耐力排在第三项，则失重飞行有3种排法，所以有3·=6种情况； 若前庭功能排在最后一项，超重耐力不排在第三项，则超重耐力有3种排法，此时失重飞行有2种排法， 所以有(3×2)·=12种情况.故共有18种情况. ②若前庭功能排在第三项，失重飞行有排在最后一项与不排在最后一项两种，情况同①.故共有18种情况. ③若前庭功能排在第2或第4位（2种情况），先排前庭功能，有2种排法，再排超重耐力， 若超重耐力排在第三项，则失重飞行有3种排法； 若超重耐力不排在第三项，则超重耐力有2种排法， 此时失重飞行有2种排法.故共有2×(3+2×2)·=28种情况. 综上，共有18+18+28=64种安排方案. 8. 现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（ ） A. 在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B. 第二次取到1号球的概率 C. 如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 D. 如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 【答案】B 【解析】 【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解，对于C选项利用贝叶斯公式求解，对于D选项，不同元素的分配问题，先分类再分配即可求解. 【详解】对于A选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, ， 则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，故A正确； 对于B选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, , 依题意 两两互斥, 其和为, 并且， ， ， ， 应用全概率公式, 有， 故B错误； 对于C选项，依题设知, 第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同, 则， ， ， 故在第二次取到1号球的条件下, 它取自编号为的口袋的概率最大，故C正确； 对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份， 再放入三个不同的口袋， 则不同的分配方法有，故D正确. 故选：B. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（   ） A. 若随机变量，则 B. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 C. 若，，且，则C，D相互独立 D. ，，，则的值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过二项分布方差计算公式与方差的性质，条件概率，全概率公式求解. 【详解】，，选项错误； 设小黄同学做对的题目数量为，则，期望为，选项正确； 根据条件概率公式，由，得， 所以，则C，D相互独立，选项正确； 由全概率公式，即， 解得，选项正确. 10. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点从点处出发，每次向上或向右移动1个单位长度，直至到达点时停止移动，则下列结论正确的是（ ） A. 移动的方法共有252种 B. 仅有4次连续向上移动的方法有30种 C. 经过点的移动方法有70种 D. 若对任意，从第次到第次的移动方向相同，则移动的方法有2种 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合分步乘法原理利用组合数求解判断AC，结合分类加法原理利用组合数求解判断B，逐个分析即可判断有“先连续向右，再连续向上，最后连续向右”和“先连续向上，再连续向右，最后连续向上”2种方法判断D. 【详解】对A，由题可知，无论怎样走，一定移动10次，其中5次向上移动，5次向右移动， 故移动的方法共有种，故A正确； 对B，仅有4次连续向上移动的方法有种，故B正确； 对C，若经过点，则前3次向右移动2次向上1次，后7次向右3次向上4次， 所以移动的方法有种，故C错误； 对D，由题可知，当时，第1,2次的移动方向相同，当时，第3,4,5次的移动方向相同， 当时，第6,7,8,9次的移动方向相同，因为向右5次，向上5次， 所以第次的移动方向相同，则移动的方法有2种，故D正确. 故选：ABD 11. 已知则下列结论正确的是（ ） A. 若点P的坐标为，则过点P与相切的直线只有一条 B. 若存在两个极值点，且则与有3个交点 C. 若，则 D. 若的图象与x轴交于A，B，C三点，且在三点处的切线的斜率分别为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程求解判断A；利用极值点的意义分析判断B；利用方程根的意义求解判断C；设出点的横坐标，利用导数的几何意义计算判断D. 【详解】对于A，由点为的对称中心，得， ，设过点P的直线与相切的切点为， 切线方程为，则， 即， 整理得，解得，因此过点P与相切的直线只有一条，A正确； 对于B，依题意，为的两个不等实根，则， 设，即，由， 得 ，而， 因此方程有两个解，即与有两个交点，B错误； 对于C，依题意，1和2是的两根，设， 则，C正确； 对于D，设三点的横坐标分别为，则， ， 则， 因此，D正确. 三、填空题 12. 已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式中系数最大的项等于54，则正数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值．根据展开式的系数最大的项等于，求得的值． 【详解】展开式的通项为: ， 令，解得，故展开式的常数项为． 由题意可得，故有． 由于展开式的系数最大的项等于，，解得． 由于，所以 故答案为： 13. 某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意可知，每个人第2天选择餐厅的概率为， 且， 所以. 14. 若，，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】先利用对数换底公式，对原不等式进行整理变形，得到，求该函数的最小值，得到，构造函数，研究函数的单调性与最值，进而确定的值 【详解】因为，所以， 所以， 令，所以， 则当时，即在上单调递减， 所以当时，，矛盾，故. 时，，，单调递减；，，单调递增； 所以， 记，求导得， ，，单调递增；，，单调递减； 所以最大值为， 因此恒成立，仅当时满足要求， 所以. 四、解答题 15. 为了了解学生普法教育情况，某学校组织了一次法律知识测试，现随机抽取了该校20名学生的测试成绩，得到如图所示的茎叶图： （1）若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率； （2）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）通过分析“优秀成绩”人数服从超几何分布，按超几何分布得出； （2）通过分析抽到“优秀成绩”学生的人数服从二项分成，按二项分布计算. 【小问1详解】 通过阅读茎叶图，得知“优秀成绩”为4人，设“优秀成绩”人数为，服从超几何分布,,,，，. 设“至多一人成绩优秀”为事件，则． 【小问2详解】 由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率． 表示抽到“优秀成绩”学生的人数， ,,. ，， ， 可取0，1，2，3，故的分布列为 0 1 2 3 故． 16. 已知函数 （1）讨论的单调性. （2）若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. 【小问2详解】 因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. 17. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆的圆心的轨迹与轴交于两点，位于轴右侧的动点满足，并且直线分别与交于两点． （1）求轨迹的方程及动点的轨迹方程； （2）直线是否过定点?若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1），； （2）过定点. 【解析】 【分析】（1）设动圆圆心为，利用两圆相切建立关系，再借助椭圆的定义求出轨迹的方程，利用斜率坐标公式求出点的轨迹方程. （2）由点在椭圆上结合已知可得，设出直线方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算即得. 【小问1详解】 设动圆圆心为，半径为， 而圆的圆心，半径，圆的圆心，半径 由动圆与圆外切，得，由动圆与圆内切，得， 则，即点的轨迹是以为焦点，长轴长等于12的椭圆， 显然该椭圆的长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以轨迹的方程为； 显然，设，由，得， 当时，，当时，点符合要求， 所以动点的轨迹方程是. 【小问2详解】 依题意，，设点，显然，即， 当点不在轴上时，，则， 设直线，由消去得， ，， 由，得，即 ，整理得， 则，化简得， 解得或，当时，直线过点，不符合题意，则，满足， 直线过定点，当点在轴上时，直线与轴重合，也过点， 所以直线过定点. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，，． （1）求的长； （2）若， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②空间中一动点满足，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，由勾股定理求解即可； （2）①建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量求解平面与平面夹角的余弦值即可； ②因为点满足，所以设点在的垂直平分面上，则的最小值即为点到平面的距离，利用向量求解即可. 【小问1详解】 如图： ， 在等腰梯形中，过点作于，过点作于， 因为，，则，所以， 连接， 在三角形中，由余弦定理得：， 所以，又，，所以， 所以，又，，且平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 ①在三角形中，由余弦定理得：， 所以，由于平面， 所以以为坐标原点，分别以，向量的方向为轴的正方向， 过点作垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的一个法向量为， ，， ，所以，令，则，， 所以， 设平面的一个法向量为， ，， ，所以，令，则，， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则. ②因为点满足，所以设点在的垂直平分面上， 则为平面的法向量， 则的最小值为点到平面的距离， 的中点为，， 所以点到平面的距离为， 所以的最小值为. 19. “猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行． （1）双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为． （i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率； （ii）求第次答题的是选手甲的概率． （2）单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件，根据全概率公式求出，再根据条件概率公式求；（ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件，记，由全概率公式求出与的递推关系，构造数列求其通项公式可得. （2）首先求出的分布列，得出的表达式，错位相减法求出. 【小问1详解】 （i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件， 由题知，， 由全概率公式知，， ， 已知第2次答题的是选手乙，则第1次答题的是选手甲的概率为． （ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件， 记， 由题知，当时， ， 由全概率公式知， ， ， ， 故数列是首项为，公比为的等比数列， ， 则，即第次答题是选手甲的概率为． 【小问2详解】 的所有可能取值为， 所以的分布列为 1 2 3 ．．． ．．． 故①， ②， ①-②，得 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $