精品解析：福建省泉州第五中学2025-2026学年高二下学期第四次单元测试数学试题

2027届泉州五中高二下数学单元测试四 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于是常数，对 求导，得， 将代入导函数得，整理得. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 49 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为. 其中，. 的系数为. 3. 等比数列中，与的等差中项为，若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项和等比数列的性质即可求解. 【详解】由于与的等差中项为17，所以， 又由于，可得， 因为数列是等比数列，是的等比中项，有， 所以，解得， 又因为，且公比为实数且不为0，所以， 因此，故C正确. 4. 若随机变量，随机变量且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， 因为，所以，则，则 5. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等边的边长为，根据椭圆的定义，求得和，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，结合椭圆离心率的定义，即可求解. 【详解】设等边的边长为，可得的周长为， 由椭圆的定义，可得，所以，解得， 则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，即， 所以椭圆的离心率为. 6. 用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ） A. 12 B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，可根据，先计算出，然后把样本中心点带入线性回归方程为中计算出，从而得到线性回归方程，然后将方程化为指数形式，通过待定系数法分别对应出、的值，即可完成求解. 【详解】由已知，，所以， ，，所以 ， 由题意，满足线性回归方程为，所以，所以， 此时线性回归方程为，即， 可将此式子化为指数形式，即为， 因为模型为模型，所以，， 所以. 故选：B. 7. 某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，结合二项分布的数学期望公式与方差公式即可求与；根据排列组合知识和古典概型可知Y取0，1，2，4时的概率，再由公式即可求与，比较大小即可求解. 【详解】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知， 由二项分布的数学期望公式与方差公式可知： ，. 由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4， ， ， ， ， ， ， . 8. 当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法，把问题转化为，，对分与讨论；从而存在满足条件的充要条件是：；接着再对作分类讨论，得到满足条件的. 【详解】因为当时，，得， 令，且，则，即， 所以， 当，，恒成立； 当，，得， 所以； 当，，得， 所以； 所以，存在满足条件的充要条件是：， 令，，则转化为， ， 当，，则在单调递减，，矛盾； 当，令，得, ​当，即，此时，则在单调递增， ，满足条件； 当，即，此时在单调递减，在单调递增， ，，所以， 所以，，因为， 所以，满足条件； 当 ，即，此时在单调递减，在单调递增， ，，但， 与矛盾； 当 ，即，则，则在单调递减，，矛盾； ​综上所述， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数r越大，则线性相关性越强 B. 用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 C. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 D. 在独立性检验中，零假设必须是“分类变量X与Y独立”，不能是“分类变量X与Y有关” 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，两个变量的样本相关系数为r，则越大，线性相关程度越强，故A错误； 对于B，决定系数越接近1，值越大，残差平方和越接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D，在独立性检验中，将“分类变量X与Y独立”作为零假设，是因为在此假设下可以计算出期望频数，从而构造检验统计量进行检验，故D正确． 10. 对于随机事件A，B，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为，，， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 11. 已知函数f（x）= lnx-ax，直线 则下列说法正确的是（ ） A. 若f（x）的极大值点为1，则a=1 B. 若f（x）=-2在定义域上有唯一解，则a≤0 C. 当a=2时，曲线y=f（x）恒在直线l的下方 D. 若点 P 是曲线y=f（x）上任意一点，点Q 是直线l上任意一点.设点 P，Q间的距离为d，则当a=2时，d的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】，的定义域为 对于A，的极大值点为1，，即，解得 当时， 当时，，单调递增；当时，，单调递减 是的极大值点，故A选项正确. 对于B，由可得，可求得 设，则 令，则，解得 当时，，单调递增；当时，，单调递减 在处取得极大值，也是最大值， 当时，；当时， 当在定义域上有唯一解时，或，故选项B错误. 对于C，当时， 设 则 令,解得 当时，，单调递增；当时，，单调递减 当在处取得极大值，也是最大值， ，即 曲线恒在直线l的下方，故选项C正确. 对于D，当时， ，则 直线 的斜率为 令，即，解得 当时，，则曲线在点处的切线与直线l平行 直线 ，直线 ， 则点到直线l的距离 的最小值为，故选项D正确. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】255 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令、、计算即可得. 【详解】令，可得； 令，可得， 令，可得， 所以. 13. 若是曲线的一条切线，则__________. 【答案】1 【解析】 【详解】设切点坐标为，因为， 所以. 设，，则在上恒成立. 所以在上单调递增，且. 所以方程只有1解. 由. 14. 已知：（ⅰ）在一系列独立重复的伯努利试验中，用表示事件第一次发生时已经进行的试验次数，记每次试验中事件发生的概率为，则的分布列为，．如果随机变量具有上式的形式，则称随机变量服从几何分布，且； （ⅱ）若随机变量，满足，则． 连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数，直到2，4，6点均出现为止，则抛掷总次数的数学期望为_____． 【答案】11 【解析】 【分析】根据题中给的条件，构造随机变量，用题中给的规律计算期望. 【详解】设事件表示抛掷一枚骰子朝上的点数为偶数. 设随机变量表示事件第一次发生时已经进行的抛掷次数. 由于每次试验中，事件的概率总为，故服从几何分布，. 记第一个投出的偶数点数为. 设事件表示抛掷一枚骰子朝上的点数为除了以外的两个偶数. 设随机变量表示从出现第一个偶数后，直到出现第二个不同偶数所进行的额外抛掷次数. 在接下来的每次试验中，事件的概率总为，故服从几何分布，. 记第二个出现的偶数点数为. 设事件表示抛掷一枚骰子朝上的点数为除了，以外的那个偶数. 设随机变量表示从出现第二个不同偶数后，直到出现第三个偶数所进行的额外抛掷次数. 在接下来的每次试验中，事件的概率总为，故服从几何分布，. 经过三个步骤，能保证2，4，6点恰好均出现，且出现次数最少的点数出现的次数为1. 随机变量为抛掷骰子直至2，4，6均出现时已经进行的试验次数. . 故 故答案为：11 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为，．若对个来自甲车间，个来自乙车间的零件进行质检． （1）若从这个零件中随机抽取个零件，设其中来自甲车间的零件数为，求的分布列； （2）若从这个零件中随机抽取个，求该零件可以出厂销售的概率． 【答案】（1）X的分布列为: X 0 1 2 P （2）【解析】 【小问1详解】 的所有可能取值为． ，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 【小问2详解】用事件表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件表示“抽取的零件可以出厂销售”，则，， ，． . 16. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程. （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】（1）模型①，； （2）①；②均值为2，方差为 【解析】 【分析】（1）根据残差点的分布情况即可确定函数模型①的拟合效果较好，将非线性回归转化为线性回归，根据所给数据代入公式即可得回归方程； （2）①由题意表示，利用导数分析函数单调性和最值可得结果； ②由①得每年需要人工防治的概率为，故服从二项分布，根据二项分布的均值和方差公式即可得解． 【小问1详解】 模型①更合适，理由如下： 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄， 所以模型①的拟合效果更好，故选模型①比较合适. 令，则， 由所给的参考数据可得，， 所以， 因此关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数关于温度的回归方程为． 【小问2详解】 ①由题意得，， 所以 ， 令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率； ②由①知，当时，取最大值， 所以当时，， 由题意可知每年需要人工防治的概率为，且服从二项分布， 所以，． 17. 已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． （1）求双曲线的方程； （2）已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质，结合已知条件求出，进而求出双曲线的方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和判别式构造方程，进而求出直线方程，证明结论． 【小问1详解】 双曲线：的一条渐近线为：， ，即， 右焦点到直线的距离为，解得， 由，即，得，故， 双曲线的方程为． 【小问2详解】 证明：由题得，设，， 设的方程为， 联立消去并化简得， ，即， 且，， ， ，即 ， 化简得， 解得或，且均满足， 当时，直线的方程为，过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点， 综上，直线过定点，且定点的坐标为． 18. 2026年中央广播电视总台春节联欢晚会设立义乌分会场，向全球展现了“世界小商品之都”的商贸活力与新春年味．某机构为研究观众对义乌分会场节目的满意度是否与了解义乌小商品市场有关，从观看了义乌分会场节目的观众中随机抽取了200人进行问卷调查，得到如下列联表： 对节目基本满意 对节目特别满意 合计 不了解义乌小商品市场 60 40 100 了解义乌小商品市场 30 70 100 合计 90 110 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析观众对义乌分会场节目的满意度是否与了解义乌小商品市场有关； （2）节目组设置了摸“义乌小商品盲盒”游戏环节，观众每次游戏有两种结果： 摸到“一锤定音”，概率为，此时观众获得100元奖金，游戏结束； 摸到“再接再厉”，概率为，此时观众获得10元奖金，并继续游戏，奖金累计计入总奖金； 若一名观众参与游戏最多可摸10次，10次均未摸到“一锤定音”，游戏也结束．求游戏结束时该观众获得的总奖金数X的均值． 附：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数表求出的观测值，再与临界值比对即可. （2）法1：求出的可能值及对应的概率，再利用期望的定义列式，利用错位相减法求和即得；法2：求出获得的累计奖金期望的递推公式，再利用构造法求出通项公式即可. 【小问1详解】 零假设：观众对节目的满意度与了解义乌小商品市场无关， 计算， 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 认为观众对义乌分会场节目的满意度与了解义乌小商品市场有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. 【小问2详解】 方法1：奖金总数， ，其中，， 因此， 即， ， 两式相减得， ， 于是， 所以游戏结束时该观众获得的总奖金数X的均值为：. 方法2：设为剩余最多n次抽奖机会时，获得的累计奖金期望， 则，即，， 因此，而， 则，当n＝10时，， 所以游戏结束时该观众获得的总奖金数X的均值为. 19. 已知函数，. （1）若恒成立，求的最大值； （2）若函数存在两个极值点，. ①求的取值范围； ②设曲线在处的切线方程为.当时，试比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1），（2）①，②当 时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】 （1）只要的最大值小于或等于零即可，所以利用导数求出的最大值即可； （2）①由有两个极值点，得有两个大于零且不相等的解，即即有两个不等正根，从而有，进而可求出的取值范围； ②先求得，利用导数的几何意义求出切线方程，令，对其求出可判断出此函数在上单调递增，而，从而可判断出的正负，进而可比较出与的大小 【详解】解：（1）由，得， 当时，，所以在上单调递减，不可能恒成立； 当时，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以由，得，解得， 所以的最大值为； （2）①，则， 因为有两个极值点，所以有两个大于零且不相等的解， 即有两个不等正根， 所以，即，解得， ②由①可知，所以， 因为， 所以切线方程为， 即， 令， 则， 所以在上单调递增， 因为， 所以当时，，即，当时，，即，当时，， 综上，当 时，；当时，；当时， 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决恒成立问题，考查利用导数比较大小，解题的关键是得到切线方程后，构造函数，再利用导数判断函数为增函数，且，从而分情况可讨论出与的大小，考查数学转化思想，属于较难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届泉州五中高二下数学单元测试四 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 49 C. D. 3. 等比数列中，与的等差中项为，若，则（     ） A. B. C. D. 4. 若随机变量，随机变量且，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ） A. 12 B. C. D. 7 7. 某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（ ） A. B. C. D. 8. 当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数r越大，则线性相关性越强 B. 用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 C. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 D. 在独立性检验中，零假设必须是“分类变量X与Y独立”，不能是“分类变量X与Y有关” 10. 对于随机事件A，B，若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数f（x）= lnx-ax，直线 则下列说法正确的是（ ） A. 若f（x）的极大值点为1，则a=1 B. 若f（x）=-2在定义域上有唯一解，则a≤0 C. 当a=2时，曲线y=f（x）恒在直线l的下方 D. 若点 P 是曲线y=f（x）上任意一点，点Q 是直线l上任意一点.设点 P，Q间的距离为d，则当a=2时，d的最小值为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 若是曲线的一条切线，则__________. 14. 已知：（ⅰ）在一系列独立重复的伯努利试验中，用表示事件第一次发生时已经进行的试验次数，记每次试验中事件发生的概率为，则的分布列为，．如果随机变量具有上式的形式，则称随机变量服从几何分布，且； （ⅱ）若随机变量，满足，则． 连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数，直到2，4，6点均出现为止，则抛掷总次数的数学期望为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为，．若对个来自甲车间，个来自乙车间的零件进行质检． （1）若从这个零件中随机抽取个零件，设其中来自甲车间的零件数为，求的分布列； （2）若从这个零件中随机抽取个，求该零件可以出厂销售的概率． 16. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程. （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 17. 已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． （1）求双曲线的方程； （2）已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 18. 2026年中央广播电视总台春节联欢晚会设立义乌分会场，向全球展现了“世界小商品之都”的商贸活力与新春年味．某机构为研究观众对义乌分会场节目的满意度是否与了解义乌小商品市场有关，从观看了义乌分会场节目的观众中随机抽取了200人进行问卷调查，得到如下列联表： 对节目基本满意 对节目特别满意 合计 不了解义乌小商品市场 60 40 100 了解义乌小商品市场 30 70 100 合计 90 110 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析观众对义乌分会场节目的满意度是否与了解义乌小商品市场有关； （2）节目组设置了摸“义乌小商品盲盒”游戏环节，观众每次游戏有两种结果： 摸到“一锤定音”，概率为，此时观众获得100元奖金，游戏结束； 摸到“再接再厉”，概率为，此时观众获得10元奖金，并继续游戏，奖金累计计入总奖金； 若一名观众参与游戏最多可摸10次，10次均未摸到“一锤定音”，游戏也结束．求游戏结束时该观众获得的总奖金数X的均值． 附：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数，. （1）若恒成立，求的最大值； （2）若函数存在两个极值点，. ①求的取值范围； ②设曲线在处的切线方程为.当时，试比较与的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $