精品解析：福建省福州高级中学2025-2026学年高二上学期第二次适应性考试数学试题

福州高级中学2025-2026学年第一学期 高二第二次适应性考试数学试题 试卷总分：150分完卷时间：120分钟 第I卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点， 所以 因为，所以，故． 故选：A 2. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为，可得且，解得. 故选：B. 3. 将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故求出AB中点坐标，折痕与直线AB垂直，进而求出斜率，用点斜式求出折痕所在直线方程. 【详解】，，所以与的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线是，即. 故选：D 4. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得， 所以谷雨日影长为（尺）. 故选：C 5. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D 6. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式确定数列的周期性，从而可得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，，…… 则该数列的周期为， 所以. 故选：C. 7. 已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作垂直准线于，垂直准线于，作于，结合抛物线定义得出斜率为可求. 【详解】如图：作垂直准线于，垂直准线于，作于， 因为，，， 由抛物线的定义可知：，，，所以， 直线的斜率为：. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的值可能为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数以及二倍角公式可得，进而根据数量积的定义得，换元，即可求解，进而根据图形关系,结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以，故舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知， 且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，下列选项正确的有（ ） A. 若，则斜率不存在 B. 若不经过第三象限，则 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可. 【详解】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误； 对于B，由，可得， 若不经过第三象限，则，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误． 故选：BC. 10. 如图，在正三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在上，且，则（ ） A. 直线平面 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 设，分别在线段和上，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标法，结合选项，依次判断. 【详解】如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，， 设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，则， 又，，故，又平面，所以平面，故A正确； ，点到平面的距离，故B错误； ，，故C正确； 设，，，则，， 即,， 所以, 所以，易知当λ=时，，故D正确. 故选：ACD 11. 已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 的内心与外心可能重合 C. 当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为 D. 设点是的内心，则直线的斜率之比为常数 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意得的齐次方程，从而求得离心率，判断选项A；由不可能为等边三角形，判断选项B；分析可得当，的外接圆的面积取到最小值，据此求得的面积，判断选项C；求出内心所在的直线，求得斜率之比为定值，可判断选项D. 【详解】因为点为双曲线右支上一点，所以，且. 若为等腰直角三角形，则. 由，得，即. 对于A，因为离心率，所以，所以选项A正确； 对于B，因为，所以不可能为等边三角形，所以的内心与外心不可能重合，所以选项B不正确； 对于C，设的外接圆的半径为R，则，即. 当，即时，半径R取得最小值c，的外接圆的面积取到最小值. 此时，，所以的面积为.所以选项C正确； 对于D，设点是的内心，过点分别作的垂线，垂足为， 则，所以. 所以点是双曲线的右顶点，点在直线上. 设，则直线的斜率之比为，为常数.所以选项D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程为__________． 【答案】. 【解析】 【分析】由抛物线标准方程直接得解. 【详解】由题抛物线标准方程为，所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 13. 已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得且点P不在左、右顶点处，设，，进而计算可得，求解即可. 【详解】若是锐角，则且点P不在左、右顶点处. 设，，则，， 则， 解得， 所以点P的横坐标的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知数列{an}满足,且其前62项的和为1885，则________． 【答案】88 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论为奇数和偶数时的通项关系式，分组求和可计算出，再根据已知结论求解. 【详解】当n为偶数时，，两式相加，得. 当n为奇数时，，两式相减，得. 所以 ， 所以. 又，所以， 因为，所以，同理可得， 所以，而，所以. 故答案为：88. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等比数列的前项和.已知，. （1）求的通项公式； （2）求，判断，，是否成等差数列并说明理由. 【答案】（1） （2），成等差数列，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）设数列的首项为，公比为，利用已知条件得到方程组求出首项与公比，然后求解通项公式． （2）利用等比数列前项和公式求出，再根据等差数列的性质判断证明即可． 【小问1详解】 解：（1）设数列的首项为，公比为， 因，， 所以，解得， 所以． 【小问2详解】 解：因为，所以， 所以，，成等差数列，理由如下： 因为，， 所以 ， 即，所以，，成等差数列； 16. 已知抛物线与过点直线相交于、两点，点为坐标原点. （1）求的值； （2）若的面积等于3，求直线的一般方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，由根与系数关系求出两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解； （2）把的面积转化为两个三角形，的面积和，然后直接代入三角形面积公式求解 【小问1详解】 设，由题意的斜率不为0，设直线的方程为， 代入抛物线方程可得，， 由根与系数的关系可得， 所以． 【小问2详解】 记为点， 由（1）有， 所以， 所以，解得：， 所以直线的方程为：或． 17. 如图，在中，，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点M在线段上． （1）求证：平面； （2）已知与平面所成角的大小为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】(1)由向量关系知，则，折起后直线平面，得，又所以平面. (2)以C为原点建系，求相关点坐标与向量，得平面法向量，再根据线面角正弦值公式列方程求入进而得CM. 【小问1详解】 证明 ：因为，，所以； 又因，则，所以； 折后 又因为，平面，所以平面，又平面， 所以； 又因为，，平面， 所以 平面. 【小问2详解】 由（1）知，分别以轴建立空间直角坐标系，如图所示： 由几何关系可知，，，， 所以 则 ， 设平面的法向量为 ，则 ，令 ，则， 所以. 因为点M在线段上，所以设 ， 因为 ，则； 因为与平面所成角的大小为， 所以 化简得到 ， 所以，所以， 所以. 18. 已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数. （1）证明：； （2）若，求； （3）是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合求解得证. （2）法1：由（1）可得数列的特征，再求出其前10项和即可；法2，由（1）可得数列的奇数项、偶数项构成的数列特征，再分组求和即得. （3）假定存在，求出，再利用奇数项、偶数项构成的数列特征证明即可. 【小问1详解】 数列的各项均为正数，，则， 两式相减，整理得，而， 所以. 【小问2详解】 解法1：当时，由（1）得， 则，， 于是，数列是公差为6的等差数列， 由，，得，则， . 解法2：由，，得， 当时，由（1）得， 因此数列的奇数项构成首项为1，公差为3的等差数列， 偶数项构成首项为3，公差为3的等差数列， . 【小问3详解】 由，，得， 由（1）知：，则， 假设存在使得数列等差数列， 则，即，解得， 下面证明：当时，数列为等差数列. 由，，， 得数列是首项为1，公差为2的等差数列，， 数列是首项为2，公差为2的等差数列， 因此，， 所以存在使得数列为等差数列，. 19. 从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用．如图，已知双曲线的渐近线方程为．O为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点．由其光学性质知．由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第n个反射点为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）求直线的斜率； （3）证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程及点在双曲线上列式计算求参得出双曲线方程； （2）根据题意求出点的坐标，再根据斜率公式即可得解； （3）当为偶数时，取连续3个反射点，求出直线的方程，联立方程，利用韦达定理可求出，再代入直线的方程，求出，同理求出的坐标，再根据斜率公式化简整理即可得出结论； 【小问1详解】 因为在双曲线上， 联立，解得， 则双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 因为，， 联立，解得或（舍去），则， 已知，则； 【小问3详解】 证明：当为偶数时，取连续3个反射点，，， 则直线的方程为，与双曲线交于点， 联立，消去得， 由韦达定理得，两式相除得， 可得，故， 将代入直线的方程，得， 所以双曲线与直线的另一个交点为， 同理，双曲线与直线的另一个交点为， 故， 即， 所以当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2025-2026学年第一学期 高二第二次适应性考试数学试题 试卷总分：150分完卷时间：120分钟 第I卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知椭圆一个焦点坐标为，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 3. 将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（ ）． A. B. C. D. 4. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 5. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，下列选项正确的有（ ） A. 若，则斜率不存在 B. 若不经过第三象限，则 C. 若，则或 D. 若，则 10. 如图，在正三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在上，且，则（ ） A. 直线平面 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 设，分别在线段和上，且，则的最小值为 11. 已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 的内心与外心可能重合 C. 当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为 D. 设点是内心，则直线的斜率之比为常数 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线准线方程为__________． 13. 已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是________． 14. 已知数列{an}满足,且其前62项的和为1885，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等比数列的前项和.已知，. （1）求的通项公式； （2）求，判断，，是否成等差数列并说明理由. 16. 已知抛物线与过点直线相交于、两点，点为坐标原点. （1）求的值； （2）若的面积等于3，求直线的一般方程. 17. 如图，在中，，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点M在线段上． （1）求证：平面； （2）已知与平面所成角大小为，求． 18. 已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数. （1）证明：； （2）若，求； （3）是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由. 19. 从双曲线一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用．如图，已知双曲线的渐近线方程为．O为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点．由其光学性质知．由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第n个反射点为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）求直线的斜率； （3）证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $