精品解析：2026年湖北襄阳高新技术产业开发区第二中学等校九年级数学阶段性反馈

襄阳高新二中九年级数学阶段性反馈 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. 3.14 B. 0 C. 5 D. 2. 2024年，我国可再生能源新增装机370000000千瓦．数据370000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，将一块含角的直角三角板（）按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. “掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件 B. “射击运动员射击一次，命中八环”是必然事件 C. “翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D. “某彩票的中奖率是，买10张彩票一定中奖”是必然事件 7. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题∶“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（ ） A. 3步 B. 6步 C. 9步 D. 12步 8. 如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，．以点B为圆心，适当长为半径作弧，交y轴于C，D两点；分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线．点是点A关于直线的对称点，连接交于点P，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个大于﹣3的有理数是_____． 12. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是_______． 13. 方程的解是________． 14. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____． 15. 如图，和都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，连接交于点F，则①角的度数为________． ②若，，则________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或测算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 18. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 实施过程 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量，两点间的距离； 3．站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； 4．测量到地面的高度． 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量两点间的距离； 3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； 4．测量两点间的距离； 5．测量到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 19. 每年11月9日是全国消防日．为提高师生的消防安全意识和自我保护能力，某校开展了“筑牢消防防线，竞逐知识锋芒”消防安全知识竞赛活动．为了解七、八年级的学生对消防知识的掌握情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生进行测试，满分为100分，以下是测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】七年级20名学生测试成绩统计如下：56，58，64，67，69，70，70，71，74，77，78，78，84，86，86，86，86，91，92，95． 【整理数据】八年级20名学生测试成绩频数分布表： 成绩 人数 0 4 5 7 4 【描述数据】七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为）； 【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 76.9 77.5 86 119.89 八年级 79.2 81 74 100.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全七年级20名学生测试成绩频数分布直方图； （2）估计该校八年级参加测试的300名学生中成绩在80分及以上的人数； （3）请根据“学生参加消防知识竞赛成绩统计表”，从平均数、众数、中位数三个统计量中任意选一个，对本次竞赛中两个年级的成绩做出评价． 20. 如图，一次函数与反比例函数（为常数，）交于两点，且一次函数与数交于点． （1）求m，n，k的值； （2）若若是反比例函数图象上的两点，，请直接写出点M，N各位于哪个象限． 21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 22. 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 23. 中，，将绕点A旋转得到，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，交于点N，点N为的中点，，，求线段的长； （3）如图3，点N为的中点，延长分别交于H、F． ①求证：，②当时，直接写出的值． 24. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求b的值和点D坐标； （2）如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标； （3）将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S． ①求S关于n的函数解析式； ②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳高新二中九年级数学阶段性反馈 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. 3.14 B. 0 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵无限不循环小数叫做无理数， ∴是有理数，不符合题意， 是无理数，符合题意． 2. 2024年，我国可再生能源新增装机370000000千瓦．数据370000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：A． 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．主视图是从正面看到的视图，据此即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为 故选：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则，涉及同底数幂乘法、合并同类项、积的乘方，根据对应法则计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，， ∴ A错误； 选项B和选项C，根据合并同类项法则：合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，， ∴ B错误，C正确； 选项D，根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式分别乘方，再把结果相乘；， ∴ D错误； 故选：C． 5. 已知直线，将一块含角的直角三角板（）按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. “掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件 B. “射击运动员射击一次，命中八环”是必然事件 C. “翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D. “某彩票的中奖率是，买10张彩票一定中奖”是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件与不可能事件．解题的关键在于明确各名词的含义．依据各选项中事件的可能性进行判断即可． 【详解】解：A．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故选项正确，符合要求； B．射击运动员射击一次，命中八环是随机事件，故选项错误，不符合要求； C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是随机事件，故选项错误，不符合要求； D．“某彩票的中奖率是，买10张彩票一定中奖”是随机事件，故选项错误，不符合要求． 故选：A． 7. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题∶“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（ ） A. 3步 B. 6步 C. 9步 D. 12步 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为891平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合长不小于宽，即可确定x的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意，此时； 当时，，不符合题意，舍去． ∴长比宽多6步． 故选B． 8. 如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据平行线的性质，得到，，圆周角定理得到的度数，，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵连接并延长，交于点， ∴为直径， ∴， ∴； 故选C． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，．以点B为圆心，适当长为半径作弧，交y轴于C，D两点；分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线．点是点A关于直线的对称点，连接交于点P，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线作图及线段垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键．由点是点A关于直线的对称点，，可得，，由平行线分线段成比例定理可得，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：如图，与交于点G， 由作图知，垂直平分， ∴， ∵， ∴点G的纵坐标为2． ∵点是点A关于直线的对称点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 10. 二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； 一次函数经过第一、二、四象限， 反比例函数图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个大于﹣3的有理数是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较即可求得答案 【详解】写出一个大于﹣3的有理数是-2 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，理解题意是解题的关键． 12. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是_______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．直接利用概率公式可得答案． 【详解】解：∵共有四种区域文化，随机选一种文化开展专题学习，随机选一种文化开展专题学习， ∴则选中“荆楚文化”的概率是， 故答案为：． 13. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得根，舍去使分母为零的增根，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 解整式方程得或， 检验：当时，，分式无意义，因此是增根，舍去； 当时，，因此是原方程的解． 14. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】根据关系式，令h=0求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间. 【详解】解：依题意，令得： ∴ 得： 解得：（舍去）或 ∴即小球从飞出到落地所用的时间为 故答案为4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单. 15. 如图，和都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，连接交于点F，则①角的度数为________． ②若，，则________． 【答案】 ①. ##60度 ②. 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，则可证明得到，进而可证明；②过点C作于点M，于点N，过点A作于点H，连接，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，由全等三角形的性质得到，则可证明平分，得到；利用等面积法求出的长，利用勾股定理求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：①∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ②如图所示，过点C作于点M，于点N，过点A作于点H，连接， ∵是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴； 由（1）得， ∴ ∵，，， ∴， ∴平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或测算步骤） 16. 计算：． 【答案】11 【解析】 【详解】解： ． 17. 如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，然后证，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ，即， 平行四边形是矩形． 18. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 实施过程 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量，两点间的距离； 3．站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； 4．测量到地面的高度． 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量两点间的距离； 3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； 4．测量两点间的距离； 5．测量到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】 【解析】 【分析】“测角仪”方案：证明四边形是矩形，得到，，解直角三角形求出，计算即可；“平面镜”方案， 证明，利用相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：“测角仪”方案， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ； “平面镜”方案， ，，，， ， ，即， ． 19. 每年11月9日是全国消防日．为提高师生的消防安全意识和自我保护能力，某校开展了“筑牢消防防线，竞逐知识锋芒”消防安全知识竞赛活动．为了解七、八年级的学生对消防知识的掌握情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生进行测试，满分为100分，以下是测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】七年级20名学生测试成绩统计如下：56，58，64，67，69，70，70，71，74，77，78，78，84，86，86，86，86，91，92，95． 【整理数据】八年级20名学生测试成绩频数分布表： 成绩 人数 0 4 5 7 4 【描述数据】七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为）； 【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 76.9 77.5 86 119.89 八年级 79.2 81 74 100.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全七年级20名学生测试成绩频数分布直方图； （2）估计该校八年级参加测试的300名学生中成绩在80分及以上的人数； （3）请根据“学生参加消防知识竞赛成绩统计表”，从平均数、众数、中位数三个统计量中任意选一个，对本次竞赛中两个年级的成绩做出评价． 【答案】（1）见解析 （2）人 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先求出七年级70～80分的人数，然后补全频数分布直方图； （2）根据样本中20名学生测试成绩中在80分及以上的人数为人估计八年级参加测试的300名学生中成绩在80分及以上的人数． （3）根据平均数、众数、中位数的意义进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：七年级在范围内的人数有（人）， 补全直方图如下所示： 【小问2详解】 解： （人）． 答：估计该校八年级参加测试的名学生中成绩在分及以上的人数有人． 【小问3详解】 解：从平均数看，八年级学生测试成绩的平均数高于七年级平均数．所以八年级学生成绩好． 从中位数看，八年级学生测试成绩的中位数高于七年级．说明七年级学生成绩大 概有一半在以上，八年级学生成绩大概有一半在以上．所以八年级学生成绩好． 从众数看，七年级学生成绩为分的最多，八年级学生得分的最多． （答案不唯一，符合题意即可）． 20. 如图，一次函数与反比例函数（为常数，）交于两点，且一次函数与数交于点． （1）求m，n，k的值； （2）若若是反比例函数图象上的两点，，请直接写出点M，N各位于哪个象限． 【答案】（1） （2）M位于第三象限，N位于第一象限 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用函数图象上的点的坐标满足函数解析式，通过代入法求出函数中的未知参数． （1）先将点坐标代入一次函数求出，进而得到一次函数解析式，再将点坐标代入一次函数求出，最后将点坐标代入反比例函数求出； （2）根据反比例函数的性质以及和的大小关系判断点所在象限． 【小问1详解】 解：把代入中，可得， 解得， 此时一次函数的解析式为． 点在一次函数的图象上， 把代入， 解得， ， 又点在反比例函数的图象上， 将代入中，可得， 解得， 综上，； 【小问2详解】 解：由（1）知反比例函数解析式为，其图象在一，三象限，在每个象限内随的增大而减小． 已知，说明不在同一象限． 在第三象限值恒小于0，在第一象限值恒大于0，且， 位于第三象限，位于第一象限． 21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【小问1详解】 证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 【答案】（1）购买A种水果2千克，B种水果1千克 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【小问1详解】 解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克． 【小问2详解】 解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：， ∴结合实际可得：； ②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：. 23. 中，，将绕点A旋转得到，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，交于点N，点N为的中点，，，求线段的长； （3）如图3，点N为的中点，延长分别交于H、F． ①求证：，②当时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，再证明，即可证明； （2）可证明；由直角三角形的性质得到，则，则可证明；过点A作于点H，则四边形是矩形，则，由三线合一定理可得； （3）①可证明，进而证明，则可证明，即可推出；②过点A作于点T，同理可得四边形是矩形，，则；设；可证明，得到，则，，进而得到，，则；由相似三角形的性质可得；过点A作于点S，则，，过点H作于点R，设，解直角三角形得到，，，则，据此可得，则，，由此可得答案． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴； ∵点N为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：①∵点N为的中点，， ∴， ∴； 由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点A作于点T， 同理可得四边形是矩形，， ∴， 同理可得； ∵， ∴可设； ∵， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴； ∵点N为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 如图所示，过点A作于点S，则， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，过点H作于点R，设， ∴， ∴； 在中，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求b的值和点D坐标； （2）如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标； （3）将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S． ①求S关于n的函数解析式； ②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出b的值，进而得到抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）过点E作于点F，求出点B的坐标，进而求出，则；设，则，可得方程，，解方程即可得到答案； （3）①可求出抛物线L的解析式为，则，可得到，由旋转的性质可得，，则可得到；②求出当L与线段没有公共点时n的取值范围，再根据（3）①所求求出S随n的增大而增大时n的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点D的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于点F， 由（1）得抛物线的解析式为， 在中，当时，，则， 当时，则， 解得或，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， 解得（已检验）或（舍去）， ∴点E的横坐标为 【小问3详解】 解：①设抛物线L的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵点P的纵坐标为n， ∴， ∴， ∴抛物线L的解析式为， ∴抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴， 由（1）得点D的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，即轴， ∴； ②如图3-1所示，当抛物线L的顶点恰好是点D时，则， 解得； 如图所示，当抛物线L的顶点在点D下方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-3所对，当抛物线L的顶点在点D上方，且点M恰好在抛物线L上，且在抛物线L的对称轴左侧时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时点P的坐标为，即此时D、P、M三点共线； 如图3-4所示，当抛物线L的顶点在点D上方，且点Q在点D下方，点P在点D上方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-5所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方，且点M恰好在抛物线L上时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 如图3-6所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方时， 由函数图象可知当点M的横坐标小于时，满足抛物线L与线段没有公共点， ∴， ∴， 综上所述，当抛物线L与线段没有公共点时，或或； ∵， ∴当时，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大，此时不满足题意； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 综上所述，当或时，S随n的增大而增大， ∴当或时，抛物线L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $