第一章 三角形的证明及其应用(二)(小册子)-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学直击考点与单元双测（北师大版·新教材）湖南专版

BS八数下 垫考訾案 19.解：(1)证明：连接AE,图略。，·AB的垂直平分线EF交 节前购进A粽子m千克，∴.节后购进A粽子(400-m)千 BC于点E,BE=AE,AC=BE,AC=AE,·D为线段 克。根据题意，得(10+2)m+10(400-m)≤4600，解这 CE的中点，∴.AD⊥BC; 个不等式，得m≤300，又.m>0,∴.0<m≤300，∴.m的取 (2):BE=AE,.∠B=∠BAE=35°，∠AEC是△ABE的 值范围为0<m≤300； 一个外角，.∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B=70°，AE= ②设购进的A粽子全部售出后可获得的总利润为0元，则 AC,.LC=LAEC=70°。 w=[20-(10+2)]m+(16-10)(400-m)=2m+2400, 20解：(1)nE=2B,DE/AB: 2>0,0随m的增大而增大，.当m=300时，w取得 最大值，最大值为2×300+2400=3000（元）。 (2)证明：如图，连接BD,与AC交于点P,:四边形ABCD 答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大 为平行四边形，P为对角线AC,BD的交点，∴.DP=BP,又 利润是3000元。 DE=EF,∴.PE是△BDF的中位线，∴.PE∥BF,即AE∥ 23.解：(1)40： BF。 (2)证明：由旋转可知∠B=∠D,:∠AFB=∠HFD, .180°-∠AFB-∠B=180°-∠HFD-∠D,.∠FAB= ∠FHD,LGHC=∠FHD,∠FAB=∠GHC,∠FAB为 旋转角α，∴.∠GHC始终与旋转角α相等； (3)①50或65；【解析】：将△ABC绕，点A逆时针旋转， 21.解：(1)设另一个因式为(x+g),则x2-x-p=(x-3)(x 得到△ADE,.∠AEG=∠ACB,:∠AGE=∠CGH, +q),即x2-x-p=x2-(3-q）x-3q,因此3-q=1,p= ∴.∠CHG=∠CAE=a,.AB=AC,∠BAC=80°，.∴.∠ACB 3q,解得q=2,P=6; =50°，当HG=HC时，∠HGC=LHCG=50°，.∠CHG= (2)设另一个因式为(3x+t),则3x2-14x+k=(x-5)(3x 180°-50°-50°=80°（不合题意舍去），当CG=HG时， +t),即3x2-14x+k=3x2-(15-t)x-5,因此15-t= ∠CHG=∠ACB=50°，∴&=50°；当CG=CH时，LCHG= 14,k=-5t,解得t=1,k=-5,那么另-个因式为(3x+1)。 22.解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前 4C6H=7×(1800-50)=650a=65。综上所远， 每千克A粽子的进价是(x+2)元，根据题意，得480=200 当△CHG为等腰三角形时，旋转角α等于50°或65°。 x+2-x ②∠BME+∠BAC=180°。理由如下：：将△ABC绕点A ×2,解这个方程，得x=10,经检验，x=10是所列方程的 逆时针旋转，得到△ADE,∴.AB=AC,AD=AE,∠BAD= 解，且符合题意。 ∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.∠ABD=∠ACE, 答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元： ∠ACE+∠ACM=180°，∠ABD+LACM=180°，四 (2)①.该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且 边形ABMC的内角和为360°，∴.∠BME+∠BAC=180°。 小册子部分·答案详解 八年级数学（下）BS 第一章三角形的证明及其应用（一） 18.证明：连接BD,图略。在等边△ABC中，D是AC的中 1.C2.C3.B4.D5.C 点LD8C=7LABC=号×60°=30，L4CB=60, 6.钝角7.40°8.12 .CE=CD,.∠CDE=∠E,.∠ACB=∠CDE+∠E, 9解：(1)设多边形每个内角是x,则它的每个外角是子。根 .∠E=30°，∴，∠DBC=∠E=30°，∴.BD=ED,△BDE为 据题意，得x+子=180=108，…这个多边形每个外 等腰三角形，又.·DM⊥BC,∴.M是BE的中点。 19.解：(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C,DE⊥BC,.∠F+ 角的度数是号×180°=72； ∠C=90°，∠BDE+∠B=90°，.∠F=∠BDE,∠ADF= ∠BDE,·∠ADF=∠F,.AD=AF,、△ADF是等腰三角 (2):这个多边形的边数是360°÷72°=5，.这个多边形 形； 的内角和是(5-2)×180°=540°。 (2).DE⊥BC,∴.∠DEB=90°，.∠F=30°，由(1)得 10.解：，·BD是AC边上的高，∴.∠ADB=∠BDC=90°， ∠BDF=∠F=30°，∴.∠B=∠C=60°，，AB=AC, .·∠BEC=∠BDC+∠DCE,且∠BEC=118°，∠BDC= .△ABC为等边三角形，∴.BC=AC,:BD=6,∴.BE=3, 90°，∠DCE=28°，：CE平分∠ACB,∠DCB=2∠DCE .BC=BE+EC=3+8=11,AC=11。 =56°，∠A=70°，.∠ABC=180°-∠A-∠BCD=180 第一章三角形的证明及其应用（二）】 -70°-56°=54°。 1.B2.D3.C4.A 11.C12.A13.B14.B15.B 5.假6.207.20°8.25 16.417.18 9.证明：.·AB=AC,AD平分∠BAC,..AD⊥BC,CD=BD,.:CD 锦上涤 =CE,∴.BD=CE,CE⊥BC,∴.∠ADB=∠BCE=90°，在 答：每个A型放大镜20元，每个B型放大镜10元； Rt△ABD与Rt△BEC中，.AB=BE,BD=CE,.Rt△ABD≌ (2)设某中学购买m个A型放大镜，则购买(75-m)个B Rt△BEC(HL)。 型放大镜。根据题意，得20m+10(75-m)≤1180，∴.m≤ 10.解：△ABD是直角三角形。理由如下：在△CBD中，BC= 43,.m的最大值为43。 10,CD=6,BD=8,CD2+BD2=62+82=100,BC2=102 答：最多可以购买43个A型放大镜。 =100,.CD2+BD2=BC2,△BCD是直角三角形， 第二章不等式与不等式组（二） ∠BDC=90°，.∠ADB=180°-∠BDC=90°，.△ABD 1.D2.C 是直角三角形。 3.x<14.x≤-2 11.B12.C13.B 5.解：(1)y1=500×2+0.7×500x=350x+1000,y2=0.8× 14.9 500(x+2)=400x+800,.y1与x的关系式为：y1=350x+ 15.解：(1).DE垂直平分BC,∴.DB=DC,.∠B=∠DCB 1000,y2与x的关系式为：y2=400x+800; ∠ACB=58°，∠A=82°，.∠B=180°-∠A-∠ACB= (2)当y1<y2时，得350x+1000<400x+800,解得x>4:当 40°，∴.∠DCB=∠B=40°，∴.∠ACD=∠ACB-∠DCB= 58-40°=18°； y1=y2时，得350x+1000<400x+800,解得x=4;当y1>y2 时，得350x+1000>400x+800,解得x<4。.当x>4时， (2),DE垂直平分BC,∴.BD=CD,.△ACD的周长=AC 选择甲旅行社支付的旅游费用较少；当x=4时，选择甲、乙 +AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8+10=18 旅行社支付的旅游费用相同，任选一家即可；当0≤x<4 16.D17.A18.6 时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少。 19.证明：：·BD为∠ABC的平分线，∴.∠ABD=∠CBD,在 6.B7.A8.C9.A10.B11.C △ABD和△CBD中，：AB=BC,∠ABD=∠CBD,BD=BD, ·.△ABD≌△CBD(SAS),.∠ADB=∠CDB,.·点P在BD 12.0(答案不唯一)13.-6 上，PM⊥AD,PN⊥CD,∴.PM=PN。 14解：(1)2x+1>-1, 解不等式①，得x>-1。解不等 第二章不等式与不等式组（一）】 3-x≥1，② 式②，得x≤2。因此，原不等式组的解集为-1<x≤2： 1.A2.D3.C4.A5.B 6.x>70007.> 2x-1<0,① (2) 8.解：(1)在数轴上表示不等式x>-1的解集如图1所示； x+1s7+10,②解不等式①，得x<2。解不等式 4 (2)在数轴上表示不等式x≤-2的解集如图2所示。 ②，得≥-2。因此，原不等式组的解集为-2≤x<7。 -2-1012 -4-3-2-10 图1 图2 3x-1<x+5,① 9.D10.A11.C12.B13.B14.C 15.解：{，3<：-1，@解不等式0，得x<3。解不等式②， 2 15.2x<4(答案不唯一)16.x<217.x>1 得x>-1。在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图 18.10+3x+2(48-x）>110 所示： 19.解：(1)移项，得-3x≥4+2。合并同类项，得-3x≥6。两 边都除以-3，得x≤-2。这个不等式的解集在数轴上表 5-4-3-21012345 示如图所示； 因此，原不等式组的解集为-1<x<3其整数解为0,1,2。 -5-4-3-2-10123456 16.解：(1)设购进x顶甲种遮阳帽，则购进(100-x)顶乙种遮 (2)去分母，得3(x-1)-2(x+1)≤1-2x。去括号，得3x -3-2x-2≤1-2x。移项、合并同类项，得3x≤6。两边 阳帽。根据题意，得>100-名， 130x+15(100-x)≤2280，解这个不 都除以3，得x≤2。这个不等式的解集在数轴上的表示如 等式组，得50<x≤52，又：x为正整数，x可以为51,52， 图所示。 .该网店共有2种进货方案。方案1：购进51顶甲种遮阳 -5-4-3-2-1012345 帽，49顶乙种遮阳帽；方案2：购进52顶甲种遮阳帽，48顶 乙种遮阳帽； 20.解：(1).·x-a-1=0,∴.x=a+1,.该方程的解满足x≤ (2)选择方案1可获利(40-30)×51+(20-15)×49= 2,a+1≤2，解得a≤1； 755(元)；选择方案2可获利(40-30)×52+(20-15)× (2)解不等式1-生<2，得x>-2该不等式的 2 48=760(元)。755<760，∴.购进52顶甲种遮阳帽，48 负整数解为x=-1,由题意，得a+1=-1,解得a=-2。 顶乙种遮阳帽可使获利最大，最大利润是760元。 21.解：(1)设每个A型放大镜x元，每个B型放大镜y元。根 第三章图形的平移与旋转 据题意，得8x+5y=210 解得厂20， 1.B2.C3.C4.B5.C L4x+6y=140 y=10。 6.52°7.140BS·八数下 高升无碗 第一章三角形 做好题考高分 考点三直角三角形 1.如图，在Rt△ABC中，若∠A=40°，则∠B的 度数是 A.40° B.50° C.60 D.80° C D E B A< 第1题图 第2题图 2.如图，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据 “HL”证明Rt△ABE兰Rt△DCF,则还需要 添加一个条件是 ( A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC 3.一个直角三角形的两个锐角，如果一个锐角 是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是 A.20° B.60° C.30° D.45° 4.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形 的是 A.a=6,b=7,c=8 B.a=5,b=12,c=13 C.(c+b)(c-b)=a2 D.∠A+∠B=∠C 5.对于命题“如果a=b,那么ac=bc”,它的逆 命题是 命题。（填“真”或“假”) 6.若直角三角形两直角边长分别为12和16， 则斜边长为 7.如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD是斜边AB的高，∠A=20°，则∠BCD的 度数是 B BIS.C 第7题图 第8题图 直击考点 的证明及其应用（二） 8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以Rt△ABC 的三边为边分别向外作正方形，它们的面积 分别记作S1,S2,S3,若S1+S2+S3=50,则 S1的值为 9.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC, EC⊥BC于点C,且AB=BE,CD=CE。求 证：Rt△ABD≌Rt△BEC。 10.如图，在△ABC中，AB=AC,点D为AC上 一点，连接BD,BC=10。CD=6,BD=8。 试判断△ABD的形状，并说明理由。 考点四线段的垂直平分线 11.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P 为直线CD上的一点，已知线段PA=5,则 线段PB的长度为 () A.6B.5C.4 D.3 锦上涤 A回▣d 回▣回 B 6 第11题图 第12题图 12.如图，某居民小区在三栋住宅楼A,B,C之 间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿 道内部修建了一个凉亭P。若点P到点A, B,C的距离相等，则点P是△ABC的 A.三条角平分线的交点 B.三条高的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三条中线的交点 13.如图，AD⊥BC,BD=CD,点C在AE的垂直 平分线上。若AB=5,BD=3,则DE的长 为 A.5 B.8 C.11 D.13 不M B ∠D B D C /N 第13题图 第14题图 14.如图，已知△ABC的周长为13，根据图中尺 规作图的痕迹，若AE=2,则△ABD的周长 为 15.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC,交BC 于点E,交AB于点D,连接CD。 (1)若∠ACB=58°，∠A=82°，求∠ACD的 度数。 (2)若AC=8,AB=10,求△ACD的周长。 D 考点五角平分线 16.如图，0C平分∠AOB,P是OC上一点，PH ⊥OB于点H,若PH=10,则点P与射线 OA上某一点连线的长度可以是() A.7 B.8 C.9 D.11 B H D 0 第16题图 第17题图 17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠CAB,BC=8cm,BD=5cm,那么D点到 直线AB的距离DE为 () A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.8 cm 18.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线， DE⊥AB于点E,SAARC=28,DE=4,AB=8, 则AC的长是 D C 19.如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB= BC,点P在BD上，PM⊥AD于点M,PN⊥ CD于点N。求证：PM=PN。