第一章 三角形的证明及其应用 能力提升评估卷-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学直击考点与单元双测（北师大版·新教材）湖南专版

直击考点与单元双测 》》数学·八年级下 高升无随第一章 三角形的证明及其应用 做好题考高分 时间：100分钟满分：120分 能力提升评估卷 ⊙ 封 题 三 总 分 得 分 一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的)》 1.若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周 线 长为 ( A.8 B.10 C.12 D.8或10 2.一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是( A.7 B.8 C.9 D.10 3.一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与 内 地面成30°角，示意图如图所示，这棵树在折断前的高度为 A.10米 B.8米 C.6米 D.4米 不 459 30°7 B D 第3题图 第4题图 第5题图 4.按图中所给的条件，∠1+∠2的度数是 ( A.195° B.205° C.225° D.235 得5.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB,交AB于点E, DF⊥AC,交AC于点F,若DE=2,AC=4,则△ADC的面积是 () A.4 B.6 C.8 D.10 6.某平板电脑支架如图所示，EA=ED,∠AEC=140°。为了使用 的舒适性，可调整∠AEC的大小。若∠AEC增大16°，则∠BDE 的变化情况是 () A.增大16° B.减小16°C.增大8° D.减小8 龙州楼 D B D 第6题图 第7题图 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断 以下结论错误的是 A.∠BAD=∠B B.∠BDE=∠BAC C.DE=DC D.AE=AC 8.如图，BE平分∠ABC,CE平分外角∠ACM。若∠E=20°，则 ∠A的度数为 () A.10° B.20° C.30° D.40° A E B C M B F E 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB,BC交于点 D,E,AC的垂直平分线FG分别与BC,AC交于点F,G,BC=5, EF=2,则△AEF的周长是 A.7 B.8 C.9 D.10 10.如图，在△ABC中，∠ABC,∠EAC的角平分线BP,AP交于点 P,延长BA,BC,PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论中错误的是 ( A.CP平分∠ACF B.∠ABC+2∠APC=180° C.∠ACB=∠APB D.SAPAC=SAMAP+S△NCP 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若一个三角形的三个内角度数之比为1：3：4，则这个三角 形是 12.如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然 后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABC DE.在图2中，∠ACD的度数为 图1 图2 第12题图 第13题图 13.如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 14.如图，在△ABC中，∠ABC=110°，点D在AC上，将△ABD沿 BD折叠，点A落在BC上的点E处，若∠EDC=25°，则∠C的 度数为 B E P D A C B 第14题图 第15题图 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=6cm,若点P 从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→C→B→A运动， 设运动时间为t(t>0)秒。若点P恰好运动到AB的垂直平 分线上时，t的值为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（8分)如图，已知△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD是边AC 上的高，求∠DBC的度数。 17.（9分)如图，一艘轮船以每小时40海里的速度沿正北方向航 行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时 后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上。当轮 船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了多少海里。 30 18.(9分)A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下 列各小题。 (1)嘉嘉说：“因为B的边数比A多，以B的外角和比A的 大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由； (2)设A的边数为n(n>3)。 ①若n=7,求x的值； ②淇淇说：“无论n取何值，x的值始终不变.”请用列方 程的方法说明理由。 A一你的边数比我的多x条。 我的内角和比你的多360°B 19.(9分)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC,交AB于 点E。 (1)求证：∠EBD=∠EDB; (2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明 理由。 20.(9分)如图，某市的两条道路BA,BC分别经过旅游景点A和 景点C。为了促进当地旅游发展，要在S区的一块平地上修 建一个度假村，按照设计要求，使度假村到景点A和景点C 的距离相等，且到两条道路BA和BC的距离也相等。 (1)运用直尺和圆规作图，作出修建的度假村M的位置；（保 留作图痕迹，不写作法) (2)根据以上信息，在所作的图形中连接AM,CM,求证： ∠MCB+∠MAB=180°。 A. S B 21.（10分)如图，AD是等边△ABC的中线，DF⊥AC交AB的延 长线于点E,垂足为点F。 (1)求证：BD=BE; (2)连接CE,若AC=2,求CE的长度。 22.(10分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=60cm, 动点P,Q同时从A,B两点出发，分别在AB,BC边上匀速移 动，它们的速度分别为vp=2cm/s,vo=1cm/s,当点P到达 点B时，P,Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts。 (1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ (2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ B→QC 23.（11分)已知，在△ABC中，点D在边BC上，点E在BC的延 名师点评 AAAA 长线上，且DB=AB,CE=AC。 (1)如图1所示，若∠BAC=90°，∠B=45°，试求∠DAE的度 数； (2)若∠BAC=90°，∠B=60°，请直接写出∠DAE的度数： ∠DAE= (3)如图2所示，若∠BAC>90°，其余条件不变，则∠DAE与 ∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由。 封 图1 图2 线 WAAAAAAAAWAAAAAAAWAAV 内 自我评价 WWVAALAJ 不 得 题BS·八数下 努力使答案更完美 NULISHIDAANGENGWANMEI 高升无抛 做好题考高分 大卷部分·答案详解 八年级数学（下）BS 第一章三角形的证明及其应用基础达标检测卷 =720°，即∠E+∠D+∠C+∠B+∠BFG+∠FGE= 1.A2.B3.B4.C5.D6.C7.A8.C9.B 720°.AB∥DE,∠E+∠A=180°，∠E=124°，.∠A 10.B【解析】如图，连接OE,OF。点P关于OM,ON的对称 =180°-∠E=180°-124°=56°..FG⊥AE,∴.∠FGE= 点分别为E,F,∴OP=OE=OF,∠POM=∠EOM,∠PON= ∠FGA=90°，∴∠BFG=∠A+∠FGA=56°+90°=146°， ∠NOF,∴.∠EOF=2∠MON,:OP=EF,∴.OE=OF=EF, 又.·∠D=∠BFG,∴.∠D=146°，∴.124°+146°+80°+ .△OEF是等边三角形，∠E0F=60°，.∠M0N=30°。 ∠B+146°+90°=720°，解得∠B=134° 故选：B。 21.解：(1)AB1BC。理由如下：在△ABC中，AB=90米，AC= 150米，BC=120米，AB2+BC2=902+1202=22500,AC =1502=22500,.AB2+BC2=AC2,∴.∠ABC=90°，.AB ⊥BC; (2)在Rt△BCD中，BC=120米，DC=60米，根据勾股定 11.30°12.313.1014.50°或70° 理，得BD=√1202+602=605（米），AB+BD=90+60V5 15.150°或105或60°【解析】小：∠C=90°，∠B=60°，.∠A= ≈222（米），AC+CD=150+60=210(米)，：222>210， 30°，分三种情况讨论：①当BA=BE时，如图1，.∠BEA= .A-C-D路线更短。 ∠A=30°，.∠BEB'=180°-∠B'EA=150°；②当AB′= 22.解：(1)0D与OE相等。理由如下：0为∠ABC,∠ACB AB时，如图2，∠ABB=∠ABE=180,∠4=750， 的平分线的交点，OD⊥AB,OF⊥BC,OE⊥AC,.OD=OF, 2 OE=OF,∴.OD=OE: .∠BEB'=180°-∠AEB'=105°；③当EA=EB'时，如图 (2)连接0A,图略。0F=3,0D=0E=0F=3, 3,.∠A=∠EBA=30°，.∠BEB=∠A+∠EBA=60°。 综上所述，∠BEB为150°或105°或60°。故答案为：150 :Sae=5Sam+Sac+SaaSam=7ABx3+Z× 或105°或60°。 B BC×3+子C4×3,即Sae=子x(AB+BC+C4), 3 :△ABC的周长是30，AB+BC+CA=30,.S6ABc=2× C(D) B' C(B 30=45。 图1 图2 图3 23.解：(1)三角形外角的性质； 16.证明：在Rt△ACE和Rt△CBF中，：AC=BC,AE=CF, (2)能想出其他解法。延长CD交AB于E,如图。 .Rt△ACE≌Rt△CBF(HL),.∠EAC=∠BCF,:∠EAC .∠BED=∠A+∠C,∠BDC=∠B+∠BED,∴.∠BDC= +∠ACE=90°，∴.∠ACE+∠BCF=90°，∴.∠ACB=180°- ∠A+∠B+∠C; 90°=90°。 17.解：AD是高，.∠ADC=90°，：∠BAC=58°，∠C=72°， ∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠C=50°，∠DAC=180°- ∠ADC-∠C=18°，.∠BAD=∠BAC-∠CAD=40°，BE (3)这个零件不合格。理由如下：∠A=110°，∠B=18°， 是LABC的平分线LABF=分∠ABC=25°，∠AFB= ∠C=20°，∴.∠A+∠B+∠C=148°，，∠BDC=145°， ∴.∠BDC≠∠A+∠B+∠C。·.这个零件不合格。 180°-∠ABF-∠BAD=115°。 18.解：已知：PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F;求证：PE=PF: 第一章三角形的证明及其应用能力提升评估卷 证明：，：AB=AC,AD为BC边上的中线，∴.∠BAD= 1.B2.C3.C4.C5.A6.D7.A8.D9.C ∠CAD,.·PE⊥AB,PF⊥AC,.PE=PF。 10.C【解析】A.过点P作PD⊥AC于D,如图。BP平分 19.证明：（1)，·△ABC是等边三角形，·.∠BAC=∠C=60°， ∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,PM AB=AC=BC。在△ABE和△CAD中，，AB=CA,∠BAC= =PN,PM=PD,PN=PD,点P在∠ACF的角平分线 ∠C,AE=CD,∴.△ABE≌△CAD(SAS); 上，.CP平分∠ACF,故A正确；B.PM⊥AB,PN⊥BC, (2).△ABE≌△CAD,.∠ABE=∠CAD。∴.∠BQP= .∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，∴.∠ABC+∠MPN= ∠ABE+∠BAQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°。.·BP⊥ 180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，'PM=PD,PA=PA, AD,.∠BPQ=90°，.∠PBQ=30°，.BQ=2PQ。 ∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),∠APM=∠APD,同理： 20.解：六边形BCDEGF的内角和为：(6-2)·180°=4×180° Rt△PCD≌Rt△PCN(HL),∴.∠CPD=LCPN,'.LMPN= 锦上涤 ∠APM+∠APD+∠CPD+∠CPN=2∠APC,.∴∠ABC+ 20.解：(1)如图所示，点M即为所求； 2∠APC=180°，故B正确；C..AP平分∠CAE,BP平分 ∠ABC,∴.∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,∠PAM= 7LABC+LAPB,÷LACB=2LAPB,故C错误) D.:Rt△PAM≌Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△PCN,∴.SAAPD= S△PW,SACPD=SACPN,.S△APW+SACPN=S△APc,故D正a确 (2)证明：过点M作BA的垂线，交BA的延长线于点P,过 故选：C。 点M作BC的垂线，交BC于点N,则∠MPA=90°，∠MNC =90°，.度假村到景点A和景点C的距离相等，且到两条 道路BA和BC的距离也相等，∴.AM=MC,PM=MN, .△APM≌△CNM(HL),.∠PAM=∠MCN,:∠PAM+ B CF ∠BAM=180°，..∠MCB+∠MAB=180°。 11.直角三角形12.72°13.45°14.22.5° 15孕或19【解析】知因，AB的垂直平分线分到交AC,4B于 P1,P2,∠C=90°，AB=10cm,BC=6cm,.AC= √AB-BC=8cm,当P运动到P1时，：AP1=tcm, 21.解：(1)证明：，·△ABC是等边三角形，∴，∠CAB=∠CBA= P1C=(8-t)cm,PP2垂直平分AB,AP1=BP1,根 据勾股定理，得P1C2+BC2=P1B,(8-t)2+62=t,t 60°，：DF⊥AC,∴.∠AFE=∠CFE=90°，.∠CAB+∠AEF =90°，.∠AEF=30°，∠AEF+∠BDE=∠CBA, 交当P造功到乃时，PA=月B-14=91 ∴.∠BDE=30°=∠AEF,∴.BD=BE; 19。综上所速：4的值为宁或19。故答求为：空或19。 (2).·AD是等边△ABC的中线，AC=2,∴.AB=BC=AC= 4 2,8D=BCC1D1AF=AB+BE 3EF=30FE0FCF =AC-AF=分，在△AEF中，EF=AE-AP-在 6.解：AB=AC,LABC=LC,LA=36,“LC=2为 Rt△CEF中，CE=√CF2+EF=√万。 (180°-36°)=72°，.·BD是边AC上的高，∴.∠BDC= 22.解：(1)在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，.∠B=60°， 90°，∴.∠DBC=90°-∠C=18°。 60÷2=30(s),.0≤t≤30，BP=(60-2t)cm,BQ= 17.解：CD⊥DB,∠CBD=60°，∴.∠DCB=30°，.DB= tcm。当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形，即60-2t=t, 2BC,又：LBC1=60-30=30,Bc=BA,:BM=2 ∴.t=20；.当t=20s时，△PBQ为等边三角形； (2)若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP=90°时，：∠B= ×40=80(海里)…DB=0C=2BH=40海里。 2 60°，LBPQ=30°，∴BP=2BQ,即60-2t=2t,∴.t=15, 答：当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了40 ②当∠BPQ=90°时，.·∠B=60°，∠BQP=30°，.∴.BQ= 海里。 2BP,即t=2(60-2t),∴.t=24。综上所述，当t=15或t= 18.解：(1)嘉嘉的说法不正确；理由：多边形的外角和始终为 24时，△PBQ为直角三角形。 360°，与多边形的边数无关； 23.解：(1)在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，.∠ACB= (2)A的边数为n,则B的边数为(n+x)。 ①180°×(7+x-2)-180°×(7-2)=360°，解得x=2,即 90°-LB=45°，“DB=AB,∠BAD=∠BDA= 2(1800 x的值为2； -∠B)=子x(1800-45)=67.5,LDAC=∠BMC- ②180°×(n+x-2)-180°×(n-2)=360,整理，得180°x =360°，解得x=2。∴.无论n取何值，x的值始终不变。 ∠BAD=90°-67.5°=22.5°，CE=AC,.∠E=∠CAE, 19.解：(1)证明：BD是△ABC的角平分线，∠CBD= :∠ACB是△ACE的外角，·∠ACB=∠E+∠CAE= ∠EBD,:DE∥BC,.LCBD=∠EDB,∴.∠EBD=∠EDB; 2∠CAE=45°，.∠CAE=22.5°，∠DAE=∠DAC+ (2)CD=ED。理由如下：AB=AC,.∠C=∠ABC,:DE ∠CAE=22.5°+22.5°=45°； ∥BC,.∠ADE=∠C,LAED=∠ABC,∴.∠ADE=LAED, (2)45°；【解析】在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°， AD=AE,AC-AD=AB-AE,.CD=BE,由(1)，得 .∠ACB=90°-∠B=30°，，DB=AB,.△ABD是等边三 ∠EBD=∠EDB,∴.BE=DE,∴CD=ED。 角形，∴.∠BAD=∠BDA=60°，'.∠DAC=∠BAC-∠BAD