第四章 因式分解-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学直击考点与单元双测（北师大版·新教材）湖南专版

直击考点与单元双测 ●》》数学·八年级下 高升无桃 第四章 因式分解 做好题考高分 时间：100分钟满分：120分 题号 二 三 总分 得 分 封 n 一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的) 1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 () A.(a+4)(a-4)=a2-16B.x2-3y2=(x+3y)(x-3y) C.x2-2x+1=x(x-1)+1D.x2-8x+16=(x-4)2 2.把5(a-b)+m(b-a)提公因式后-个因式是(a-b),则另一 个因式是 A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5 3.下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是( A.a2+1 B.a2-6a+9C.x3+x D.a2-4 内4.已知x+2y=13,x-2y=3,则多项式x2-4y2的值是( ) A.10 B.16 C.39 D.78 5.下列因式分解正确的是 A.x2-4=(x-2)2 B.x2+2x-1=(x+1)2 C.2x2-2=2(x+1)(x-1) D.x2+4x+4=x(x+4)+4 不 6.数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的 三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分 解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰。给出的三张卡片如 图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是 x2+5x+12 5x+13 x2-13 M N P 得 A.甲：M+N B.乙：M-W C.丙：N+PD.丁：N-P 7.如图，边长为a,b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2 的值为 答 A.160 B.180 C.320 D.480 8.已知一个正方形的面积是x2-4x+4(x<2),则这个正方形的 边长是 A.2-x B.x-2 C.4-x D.x-4 题 9.多项式4x2+16y2加上一个单项式后，使它成为一个整式的平 方，那么加上的单项式为 A.16xy B.-16xy C.8xy D.±16xy 10.如图，小亮在一次创新性实验课上，用9张A类正方形卡片，4 张B类正方形卡片和12张C类长方形卡片，拼成了一个大 正方形，则拼成的大正方形的边长是 （) B C b b A.3a+26 B.a+26 C.3a+b D.2a+b 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.分解因式：3x2-9xy= 12.已知整式x2+mx-3可以因式分解为(x-1)(x+3),则m的 值为 13.一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x-1),请你写 出一个符合条件的多项式： 14.人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将 确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因 式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码。例 如多项式x2y-4y,将其分解因式为y(x+2)(x-2)。若取x =15,y=12,则有y=12,x+2=17,x-2=13,其中12,17,13 分别为因式码。将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形 成密码121317。已知多项式9a3-16a,小明取自己的年龄13 为α的值，用上述方法生成的密码为 0 15.已知a2-a-2=0,则代数式a3-2a2-a+100= 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分)分解因式： (1)12a3b4c2-18a265; (2)15x(x-y)-12(y-x)2。 17.(9分)已知4m+n=40,2m-3n=5。求(m+2n)2-(3m n)的值。 18.(9分)填数游戏：在x2-☐xy+口y2中的每个“☐”内，填入 适当的整数，使之能分解因式。 (1)分解因式：x2-2xy+y2; (2)在两个“口”内分别填入-1和0，请你写出所有不同的结 果，并分解因式。 19.(9分)整式A,B,C,D如表所示。 整式A a2-b2 整式B C=A+B a-b D=A÷B (1)将整式A进行因式分解； (2)化简整式D,当C=18,D=8时，计算a和b的值。 20.(9分)“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次 飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律。请 观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：22=1+12+2； 第2个等式：32=2+22+3； 第3个等式：42=3+32+4； 第4个等式：52=4+42+5； (1)请用此方法拆分2026； (2)请你用上面的方法归纳一般结论，列出第n个等式(n为 正整数)，并借助运算证明这个结论是正确的。 21.(9分)(1)因式分解：x2(x+y)-y(y+x); (2)下面是小亮同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4 进行因式分解的过程。 解：设x2-4x=y 原式=(y+2)(y+6)+4(第一步) =y+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =(x2-4x+4)2(第四步)》 ①该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式 ②该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个 结果是否分解到最后？ (填“是”或“否”)； ③请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+ 2)+1进行因式分解。 22.（10分)请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务。 “我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫作完全平 方式”。如果一个多项式不是完全平方式，我们常常作如下 变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减 去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法，配方 法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似 不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的 问题或求代数式最大值、最小值等问题。 例如：x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+ 2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)。 任务： (1)若多项式x2-16x+k是一个完全平方式，则常数k= (2)用配方法分解因式：x2-6x+5; (3)当x为何值时，多项式-2x2-4x+5有最大值？并求出 这个最大值。 8 23.（10分)【阅读材料】 名师点评三 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分 组分解法。分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组；二是 “2+2”分组。两种分组的主要区别就在于多项式中是否存 在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3 W +1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组。 例如，x2+2x+1-4=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+ 封 1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3); am +bm an +on=(am +bm)+(an +on)=m(a +b)+n(a +b)=(a+b)(m+n)。 【应用知识】 (1)因式分解：a2-ab+bc-ac; (2)因式分解：-a2-6ab-9b2+9; 线 【拓展应用】 (3)已知一三角形的三边长分别是a,b,c,且满足，2a2=c(2a -c)+b(2a-b),试判断这个三角形的形状，并说明 理由。 内 WWWWW 不 yWWWWWWAWWWWWWW 得 题BS八数下 AC,∴.四边形ABC1A1的周长=m+AA1+CC1=m+2PP =m+12,∴.PP1=6。 21.解：(1)证明：连接DB,DC,图略。AD平分∠BAC,DE⊥ AB,DF⊥AC,∴.DE=DF,DG⊥BC且平分BC于点G, ∴.DB=DC,在Rt△BDE和Rt△CDF中，.·BD=CD,DE= DF,.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),·BE=CF; (2)由(1)知BE=CF,AD平分∠BAC,∴.∠EAD= ∠FAD,∴.∠DEA=∠DFA,AD=AD,∴.△ADE≌△ADF (AAS),.AE AF=AC CF,CF=BE AB-AE,.'.AE =AC+AB-AE,,2AE=AC+AB=8+20=28,.AE=14。 22.解：(1)设租甲种客车x辆，则租乙种客车(8-x)辆，根据 题意，得45x+30(8-x)≥318+8，解这个不等式，得x≥ 5背：打算同时粗甲，乙两种客车<8，即5号≤：< 8,且x为整数，∴.x=6,7,有两种租车方案。方案一：租甲 种客车6辆，租乙种客车2辆；方案二：租甲种客车7辆，租 乙种客车1辆； (2)方案一费用：6×800+2×600=6000（元），方案二费 用：7×800+1×600=6200（元），6000<6200，.租甲 种客车6辆；租乙种客车2辆，所需付费最少为6000元； (3)设同时租65座45座和30座的三种客车各x辆，y辆， (7-x-y)辆，根据题意，得65x+45y+30(7-x-y）=318 +7,整理，得7x+3y=23,1≤x<7,1≤y<7,1≤7-x-y< 7,且x,y均为整数，故符合题意的为：x=2,y=3,7-x-y =2,租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车3辆， 30座的2辆。 23.解：(1)75°； (2)①如图，此时，PC⊥PD,∴.∠DPC=90°，由(1)知 ∠DPC=75°，∠CPC=75°+90°=165°，.当a等于 165度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； D M B/ ②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM= 2,当PC转到与PM重合时，t=180°60°=40（秒），分 3° 两种情况：当PC转到与PD重合前，∠CPD=∠BPM时， .∠CPD=180°-∠BPD-∠BPM-∠APN-∠APC= 180°-45°-2t°-3t°-60°=(75-5t)°，当∠CPD= LBPM,即21=75-5，解得1=7汽；当PC转到与PD重合 后，∠CPD=∠BPM时，.∠CPD=LBPD+∠BPM+ ∠APW+∠APC-180°=45°+2t°+3t°+60°-180°=(5t -75)°，当∠CPD=∠BPM,即2t=5t-75,解得t=25。综 上所述，当LCPD=∠BPM,旋转的时间是巧或25秒。 第四章因式分解 1.D2.A3.D4.C5.C6.D7.A8.A9.D10.A 11.3x(x-3y）12.213.x2-1(答案不唯一)14.133543 垫考訾案 15.98【解析】由题意，得a2-a=2,.a2-2a2-a+100=a -a2-a2-a+100=a(a2-a)-a2-a+100-2a-a2-a +100=-a2+a+100=-(a2-a)+100=-2+100=98。 故答案为：98。 16.解：(1)原式=6a26(2ac2-3b); (2)原式=3(x-y)[5x-4(x-y)]=3(x-y)(x+4y)。 17.解：(m+2n)2-(3m-n)2=(m+2n+3m-n)(m+2n- 3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n)。 当4m+n=40,2m-3n=5时，原式=-40×5=-200。 18.解：(1)x2-2y+y2=(x-y)2； (2)当前后方框分别填入-1、0时x2+y=x(x+y);当前 后方框分别填人0、-1时，x2-y2=(x+y)(x-y)。 19.解：(1)由表可知，A=a2-62=(a+b)(a-b); (2)由表可知，A=a2-b2,B=a-b,C=A+B,D=A÷B, .D=(a2-b2)÷(a-b)=a+b,C=a2-b2+a-b= (a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1),C=18,D =8,.a+b=8,(a-b)(a+b+1)=18,.(a-b)·(8+ 1=1-628箭 16=3。 20.解：(1)依据材料中等式的规律，得20262=2025+20252 +2026; (2)依据材料中等式的规律，得第n个等式是n2=(n-1) +(n-1)2+n.证明：右边=n-1+m2-2n+1+n=n2, 左边=n2,.左边=右边，n2=(n-1)+(n-1)2+n 成立。 21.解：(1)x2(x+y)-y2(y+x)=(x+y)(x2-y2)=(x+y)2· (x-y); (2)①C; ②否； ③设x2-2x=y,则原式转化为：y(y+2)+1=y+2y+1= (y+1)2=(x2-2x+1)2=(x-1)4。 22.解：(1)64； (2)x2-6x+5=x2-6x+9-4=(x-3)2-4=(x-3+2)· (x-3-2)=(x-1)(x-5); (3)-2x2-4x+5=-2(x2+2x)+5=-2(x2+2x+1)+2 +5=-2(x+1)2+7,所以当x+1=0,即x=-1时，多项 式-2x2-4x+5有最大值，最大值是0+7=7。 23.(1)a2-ab+bc-ac=(a2-ab)+(be-ac)=a(a-b) -c(a-b)=(a-b)(a-c); (2)-a2-6ab-962+9=(-a2-6ab-962)+9=9-(a2 +6ab+9b2)=32-(a+3b)2=(3+a+3b)(3-a-3b); (3)这个三角形是等边三角形。理由如下：：2a2= c(2a-c）+b(2a-b),.2a2=2ac-c2+2ab-b2,.2a2- 2ac+c2-2ab+b2=0,(a2-2ac+c2）+(a2-2ab+b2)= 0,.(a-c)2+(a-b)2=0,∴.a-c=0,a-b=0,.a=c,a =b,∴.a=b=c,∴.这个三角形是等边三角形。 第五章分式与分式方程基础达标检测卷 1.D2.A3.D4.C5.D6.A7.B8.B9.C B【解析】根据题意，可知M-N=+2-2 2