精品解析：山东省聊城第一中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段测试数学试题

聊城一中老校区、新校区高二下学期第一次阶段性测试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是函数的导数，且，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 满足不等式（）的的值可能为（ ） A. 8 B. 9 C. 7 D. 11 4. 若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ） A. 1512种 B. 1346种 C. 912种 D. 756种 7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（ ） A. 有种不同的节目演出顺序 B. 当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C. 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D. 若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 10. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 对，方程恒有两个不同的实数解 C. D. 存在，使得直线与曲线相切 11. 已知函数，则下列说法正确的有（    ） A. 两个函数的图象在处的切线互相平行 B. 函数在上单调递增 C. 存在实数，使得 D. 的图象与的图象关于对称. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有7名同学去听同时进行的4个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是__________. 13. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是___________ 14. 已知，若存在，使得，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 在 处取得极大值10． （1）求的值； （2）求函数 在区间 上的最大值和最小值． 16. 用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. （1）求可组成多少个四位数； （2）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； （3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 17. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？ 18. 已知函数（）． （1）当时，求函数的最大值； （2）当时，求的单调区间； （3）若对，恒成立，求的取值范围． 19. 设函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． （1）设，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由； （2）设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； （3）设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城一中老校区、新校区高二下学期第一次阶段性测试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是函数的导数，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由导数的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由导数的定义可得， 则. 故选：B 2. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导即可得解. 【详解】由可得， 故， 故， 故选：A 3. 满足不等式（）的的值可能为（ ） A. 8 B. 9 C. 7 D. 11 【答案】D 【解析】 【详解】由可得 故，化简得，故，D选项满足条件. 4. 若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围. 【详解】函数的导数为， 令，则或， 上单调递减，上单调递增， 所以0或是函数y的极值点， 函数的极值为：， 函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：. 故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大. 5. 函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解. 【详解】当时，，， 由题意可得在恒成立，即在恒成立，则； 当时，，， 由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，则，即； 又由在上递增，则，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 6. 有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ） A. 1512种 B. 1346种 C. 912种 D. 756种 【答案】D 【解析】 【分析】先从A区域涂色，讨论B，D区域涂相同、不同颜色的两种情况，再确定C，E，F区域涂色方法，应用分类分步计数原理求不同涂色方法数. 【详解】1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法． 2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法． 故不同的涂色方法共有756种． 故选：D 7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，根据题意得在时有两个不同的解，令，也即是在上有两个不同的解，再对求导，分析其单调性，即可求解. 【详解】，因为函数有两个极值点， 所以在时有两个不同的解， 令，则在上有两个不同的解，， 当时，，则在上单调递增，则不存在两个不同的解； 当时，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，当时，， 因为在上有两个不同的解，所以，所以. 故选：A 8. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设不等式和选项的结构，考虑构造函数，求导得其单调性，利用其单调性对自变量进行赋值，即可一一判断选项正误. 【详解】设，则， 因，故得，即在上为减函数. 对于A项，因，则，即，即，故A错误； 对于B项，因，则，即，即得，故B错误； 对于C项，因，则，即，即得，故C错误； 对于D项，因，则，即，即得，故D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（ ） A. 有种不同的节目演出顺序 B. 当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C. 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D. 若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用全排列判断A，利用捆绑法判断B，利用插空法判断C，首先考虑个节目全排列，再除以，即可判断D. 【详解】对于A：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，故A正确； 对于B：当个舞蹈节目接在一起时，把个舞蹈节目看成一个元素，与其他个节目全排列， 有种不同的节目演出顺序，而个舞蹈节目本身有种顺序， 所以共有种不同的节目演出顺序，故B错误； 对于C：把个演唱节目排列，有种顺序，再把个舞蹈节目插入到个空挡中，有种方法， 所以共有种不同的演出顺序，故C正确； 对于D：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，其中原来的个节目有种不同的节目演出顺序， 而现在原来的个节目顺序不变，只占其中一种，所以有种不同的节目演出顺序，故D正确， 故选：ACD． 10. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 对，方程恒有两个不同的实数解 C. D. 存在，使得直线与曲线相切 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于C，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项. 【详解】函数​的定义域为，且， 令，解得 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 则是函数的极小值点，故A 正确； 对于B，的极小值为， 当时，，，当时，， 结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确； 对于C，由于当时，单调递增，所以，则， 即,所以，故C不正确； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为：， 因为切线过，代入得： 化简得：， 整理得：，即， 令，， 则，所以在和上单调递增， 所以当时，，当时，， 则当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确； 11. 已知函数，则下列说法正确的有（    ） A. 两个函数的图象在处的切线互相平行 B. 函数在上单调递增 C. 存在实数，使得 D. 的图象与的图象关于对称. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过求导得切线斜率判断A；构造新函数，并分析导函数符号验证B；分析与的单调性求最值，比较最值判断C；利用中心对称的代数特征推导对称点，可判断D. 【详解】对于A，求的导数得，故； 求的导数得，故. 两函数的图像在处切线斜率相等，且，， 所以切线不重合，故切线互相平行，故A正确. 对于B，设，可得， 当时，，故分子， 即，故在上单调递增，故B正确. 对于C，， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 故在处取最小值； ，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 故在处取最大值.因， 故的值始终大于的值，不存在实数，使得，故C错误； 对于D，若函数与关于点中心对称， 则对任意，有，因为， 对应得，解得， 故与的图像关于点对称，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有7名同学去听同时进行的4个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分步计数原理直接求解即可. 【详解】7名同学每人有4种选择，所以共有种. 13. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】求导，设切点，得到切线方程，代入，得到方程有两个不相等的实数根，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】，设切点为， 故切线方程为， 且切线过点，则， 即，， 由题意可得，方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 故答案为：. 14. 已知，若存在，使得，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先对已知等式变形构造函数，根据其单调性与特殊值确定，再参变分离构造函数，分析其单调性与值域得到的取值范围. 【详解】由题意可得：，即， 令，即存在使得， 构造，， 由，可得，由，可得， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以方程存在唯一解， 所以存在使得，等价于存在，使得， 参变分离得到， 令，，， 易得当时，，当时，， 所以，在单调递减，在单调递增， 最小值为，当时，， 所以，的值域为：， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 在 处取得极大值10． （1）求的值； （2）求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）最大值为10，最小值为2. 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解， （2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答. 【小问1详解】 ， 故且，解得， 则， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取到极大值，故满足题意. 【小问2详解】 由（1）知：在和单调递增，在单调递减， 且极大值为, 极小值为，又因为 故函数  在区间  上的大值为10，最小值为2. 16. 用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. （1）求可组成多少个四位数； （2）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； （3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用排列的乘法原理，先确定千位数的限制条件，再计算剩余数字的全排列数； （2）采用插空法处理不相邻问题，先排列不受限制的元素，再分类讨论偶数插入时的首位限制； （3）通过逐位分类与排列计数，结合字典序排列规则定位具体位置对应的数. 【小问1详解】 四位数的千位不能为，从数字中选不重复的四位数个数， 千位从中选，有种选法， 剩余三位从剩下的个数字中选个排列： 总数：. 【小问2详解】 用组成无重复数字的六位数，且偶数互不相邻 先排奇数，排列数：, 三个奇数从左到右形成个空隙， 个空隙中选个放入偶数（每个空隙一个偶数，保证偶数互不相邻）： 若空隙未被选：只能选空隙，偶数全排列种， 若空隙被选：空隙不能放，故从中选个放在空隙（种），剩余两个偶数放入另两个选中的空隙（种）， 包含空隙的空隙选择有种，每种对应种偶数排法，共种， 偶数排法总数：， 六位数总数：. 【小问3详解】 从小到大排列这些四位数，求第个数， 千位为时：后三位从剩余个数中选个排列，有个（第个）， 千位为时：也有个（第个）， 第个在千位为中排第个， 千位为时： 百位为：个（第个）， 百位为：个（第个）， 第个是，第个是. 17. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？ 【答案】当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小. 【解析】 【详解】设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25 两栏面积之和为2(x－20)，由此得y= 广告的面积S=xy=x()＝x， 整理得S= 因为x－20＞0， 所以S≥2 当且仅当时等号成立， 此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25，得y＝175， 即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500， 故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小. 【点睛】本题主要考查函数表达式及基本不等式的应用.由题已知，可通过假设矩形的长与宽，进而表示广告面积的表达式，利用基本不等式，求出面积的最小值.在应用不等式求最值时，需要满足一正二定三相等的原则，即①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值. 18. 已知函数（）． （1）当时，求函数的最大值； （2）当时，求的单调区间； （3）若对，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出，得到函数的单调区间，从而求得函数的最大值； （2）分，和以及四种情况讨论函数的单调性； （3）将问题转化为，令，结合导数求出的最小值即可. 【小问1详解】 当时，，令，则，于是可列表如下： 1 0 单调递增 极大值 单调递减 ∴当时，取最大值为. 【小问2详解】 （）， 当时，令或， ①当时，由或，由， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由或，由， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，由， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时，由，则函数在上单调递增. 综上： 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间. 【小问3详解】 ，则不等式转化为， 设， 令（），则，由，由， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以， 又， 得，则， 即，所以，即实数的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 设函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． （1）设，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由； （2）设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； （3）设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】（1） 由零点为极值点为， 由于，所以极值点既不左偏移，也不右偏移． （2） 因为，其中且， 因此在内的零点为1和． 而，， 因此在内的极值点为． 此时， 而，由于， 因为，所以，即， 则函数在上的极值点右偏移得证． （3） 先考虑有两个零点，此时． 设，则， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 而当时，时， 所以结合图像， 有两解时，的取值范围是，此时的两个零点． 再考虑极值点，， 当时，有解， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 因此有唯一极值点，并且． 要证明，即证明，因为，所以， 又因为在上单调递减， 所以只需要证明， 又因为，所以只需要证明， 构造 ，由于， 则， 即在区间上单调递减，且，即在上恒有， 则， 所以原不等式得证， 因此函数在上的极值点左偏移． 解法二：由， 可得． 欲证，即证，即证． ， 不妨设，令， 于是， 此时即证：当时，． 令，求导并整理，得， 因此函数在区间上单调递增， 其值域为，而， 因此当时，，即， 从而得证，即函数在上的极值点左偏移． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数求解零点和极值点，即可得出判断； （2）利用三次函数求解零点和极值点，再用作差法比较大小，也可得出判断； （3）利用分析法，再借助，可转化证明，然后构造，证明其单调性，从而问题得证； 方法二：利用分析法，把要证明的不等式，利用零点性质转化证明，从而问题得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $