专题07二元一次方程组的概念与解法期中复习讲义 (10大题型+题型突破)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题07二元一次方程组的概念与解法期中复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1辨概念：能精准识别二元 1.会解题：能规范、快速地 L基础必拿分：概念辨析、 一次方程/方程组，抓住 解基础二元一次方程组，会 解的检验、代入/加减消 “含2个未知数、次数为1、根据方程特点灵活选方 元法解简单方程组。 整式方程”三大特征。 法。 2.中档提分点：已知解求参 2.懂解的意义：明白方程组 2.会逆向：已知方程组的解， 数、错解还原、同解方程组 的解是两个方程的公共 能反求字母参数；能搞定 问题。 解，会快速检验一组数是否 “错解复原“同解方程组” 3压轴拉分点：由解的情况 为解。 等期中热门题型。 求参数、构造方程组解决实 3会消元：吃透“化二元为3.会拓展：能判断方程组解 际问题。 一元”的消元思想，熟练掌 的情况（唯一解/无数解/ 握代入消元法和加减消元 无解)，并据此求参数范围。 法两大解题利器。 ☆ 题型梳理 题型 二元一次方程的定义与解 题型二 二元一次方程组的定义与解的判断 题型三已方程组的解球参数 题型四代入消元法解方程组 题型五加减消元法解方程组 题型六二元一次方程组的特殊解法 题型七错解复原问题 题型八构造方程组求解 题型九由方程组解的情况求参数 题型十同解方程组问题 解答题(5题 ☆ 知识梳理 。年。。e。。。。。 知识点01：二元一次方程组相送概念 1.二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c(a≠0，b≠0) 解的特征：二元一次方程有无数个解，每个解都是一对有序数对（飞，y)。 2.二元一次方程组 试卷第1页，共3页 定义：由两个二元一次方程（或一个二元一次方程与一个一元一次方程）组成的 方程组。 方程组的解：使方程组中两个方程都成立的未知数的值，即两个方程的公共解， 通常只有唯一一组解。 解的检验：将(x,y)代入两个方程，若都成立，则是方程组的解。 知识点02：代入消元法 核心思路：用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消去一个未知数，转 化为一元一次方程。 步骤： L变：将一个方程变形为yab(或x=y+b)的形式： 2.代： 将变形后的式子代入另一方程，消去一个未知数； 3.解： 解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4.回代： 将求出的值代入变形式，求出另一个未知数； 5.写 写出方程组的解仪： 知识点03：加减消元法 核心思路：通过方程两边同乘一个数，使某个未知数的系数互为相反数或相等， 再将两方程相加/减，消去该未知数。 步骤： (ax+by=C 1.化： 将方程组整理成标准形式{ax+b,y=马 2乘 给方程两边同乘适当的数，使某未知数系数互为相反数或相等： 3.加减：将两方程相加/减，消去一个未知数： 4.解：解一元一次方程，求出一个未知数： 5.回代：代入原方程求另一个未知数； 6.写： 写出方程组的解。 知识点04核心结论与拓展 1.解的情况（期中拓展） 试卷第1页，共3页 a x+by=C 对于方程组 a x+by=C2 若费+总， 则有唯一解； 若贵=总+号，则无解： 若司=会=号，则有无数组解。 2.已知解求参数 方法：将方程组的解(&，y)代入原方程组，得到关于参数的新方程（组），解出 新方程（组）即可求出参数。 3.特殊题型处理 错解复原：将错解代入看错的方程，结合原方程，联立求参数； 同解方程组： 两个方程组的公共解，可先解出其中一个方程组的解，再代入另一 组求参数。 核心易错点 ·概念易错：漏看“整式、两个未知数、次数为1”，错判二元一次方程。 ·解的检验：只代一个方程，没验证两个方程。 ·代入消元：移项忘变号，代入漏括号，不回代。 ·加减消元：漏乘常数项，加减符号搞错。 ·书写错误：解不加大括号，步骤不规范。 ·参数问题：代入计算出错，错解/同解题型搞反条件。 ☆ 题型精析 题型01：二元一次方程的定义与解 【典例】(24-25七年级下·吉林白山期中)下列方程中，是二元一次方程的是() A.xy=1 B.x2+y2=1 C.2x+y=1 D.x+l=I 【跟踪专练1】(24-25七年级下·山东淄博期中)在方程①x-y=-1,②2x+y=0,③ X=一 x+2y=-3,④3x+2y=1中，任选两个组成二元一次方程组， 若 是该方程组的解， v=2 则选择的两个方程是 .(填序号) 【跟踪专练2】(24-25七年级下·江西上饶期中)在平面直角坐标系中，点A的坐标为 试卷第1页，共3页 m,n,若m,n都为整数，且mn>0,m+n=4,则点A的坐标可能是 【跟踪专练3】(23-24七年级下重庆江津期中)已知(2-a)x+y=3是关于x,y的二 元一次方程，则a的值是() A.2 B.-2 C.2或-2 D.1 题型02：二元一次方程组的定义与解的判断 【典例】(24-25七年级下·广东珠海期中)下列方程组中是二元一次方程组的是() 2a+2b=10 x+y=5 x2=9 x+y=6 A. B. C. 5b+4c=24 2x+3y=10 x+y=3 0 x2-y=4 【跟踪专练1】(24-25七年级下·全国单元测试)若关于x,y的二元一次方程组的解为 =1，则这个方程组可以是 x=-5 x-(m-1)y=5 【跟踪专练2】2425七年级下山西临汾月考)若+n-)=3是关于y的二元一 次方程组，则m”= x=8 【跟踪专练3】（23-24八年级上河南驻马店期末)下列方程组中，解为 y=2 的方程组是 () x+y=10 x+y=10 A. B. x-y=4 x-2y=4 c. x+2y=11 [x-2y=5 D. 3x-2y=18 3x-2y=20 题型03：已知方程组的解求参数 【典例】(25-26七年级上黑龙江绥化期中)己知关于x,y的二元一次方程组的解为 x=1 y=-3’则这个二元一次方程组可以是 【跟踪专练1】(24-25七年级下·湖北黄冈·期末)己知方程组 2x+y=■ x+y=3 的解为 x=2 y=▲' 则■，▲分别为() 试卷第1页，共3页 A.1,2 B.1,5 C.5,1 D.2,4 x+y=* x=6 【跟踪专练2】(24-25七年级下，浙江温州期中)如果方程组 3x-y=15 的解为 V=△ 那么被“*”遮住的数是 【跟踪专练3】(24-25七年级下，全国课后作业)小明在解关于x、y的二元一次方程组 2x-3y=5 x+y=G时，解得 x=4 y= ,则0和0代表的数分别是() A.3、-1 B.1、5 C.-1、3 D.5、1 题型04：代入消元法解方程组 【典例】(24-25七年级下·江苏盐城期中)已知二元一次方程2x-3y=-4,用含x的代数 式表示y,则y= x=3y-2① 【跟踪专练1】(24-25七年级下·吉林辽源期中)解方程组 时，把①代入②， 2y-5x=10② 得() A.2(3y-2)-5x=10 B.2y-3y-2=10 C.(3y-2)-3x=10 D.2y-53y-2)=10 【跟踪专练2】.(24-25七年级下北京延庆期中)已知关于x,y的方程组 3ax-by =5 的解 bx-ay=1 是x1 y=2’则a-b的值为 【跟踪专练3】（24-25七年级下·全国单元测试)老师设计了一个解方程组的接力游戏， 学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将 结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程.过程如图所示，合作中，出现 错误的同学是() 老师 甲 乙 丙 丁 2x+3y=8,① 由①，得x= :将③代入②，得 去分母，得 解得=1.由 3r5y=5.② 8-3y .③ 3× 2 8-3y-5y-5. 2 24-9y10y=5. ③， 得x A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 试卷第1页，共3页 题型05：加减消元法解方程组 3x+2y=9 【典例】（23-24七年级下·广西南宁期中)若关于x,y的二元一次方程组 2x+3y=6'则 x-y= 【跟踪专练1】(2025·辽宁丹东.一模)二元一次方程组 x+y=5 2x-y=4的解为() x=1 x=2 x=3 x=4 A y=4 y=3 y=2 0 y=1 【跟踪专练2】(24-25七年级下·黑龙江佳木斯期末)已知关于x,y的方程组 4x+3y=11,3x-5y=1 ar+y=-2和6x-0-6的解相同.则(a+的值为一· 【跟踪专练3】(24-25七年级下·湖南长沙期末)已知关于x,y的方程组 x+my=7① m.x-y=2+m② 将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当 m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为() x=4 X=1 x=5 x=-5 A B D y=-1 y=-4 y=-4 y=4 题型06：二元一次方程组的特殊解法 3x-2y=5 【典例】(24-25七年级下山西晋城期中)若关于x,y的方程组 的解为 2x+y=1 x=1 3m+1-2(n-1=5 y=-1’ 则关于m,n的方程组 2(m+1)+(n-1)=1 的解为() m=0 m=1 1m=0 m=1 A B C. D n=0 n=0 n=-1 n=-1 2x+y=1 【跟踪专练1】(24-25七年级下·北京·期中)已知x,y满足方程组 x+2y=2'则x-y的 值为 【跟踪专练2】(24-25七年级下·江苏无锡期中)关于x、y的方程组 (a,x+by=G的解是 ax+by=c2 试卷第1页，共3页 x=6 =4 则方程组 [3a,x+2b,y=G的解是 3azx+2b2y=c2 【跟踪专练3】(23-24七年级下浙江金华月考)己知关于x,y的方程组 (a,x+by=G的 ax+bay=c2 x=2.1 y=45· 解是 则关于x,y的方程组 a,(x-2)+3b,y=2G的解是() a2x-2)+3b2y=2c2 x=4.1 x=4.1 x=6.2 x=6.2 A. B C. y=13.5 y=4.5 (y=9 y=3 题型07：错解复原问题 ax+8y=7① 【典例】(23-24七年级上山东滨州期末)在解关于x、y的方程组 3x-by=4② 时甲看错 ①中的a,解得x=4,y=2,乙看错②中的b,解得x=-3,y=-1,则a和b的正确值应是 () A.a=-4.25,b=3 B.a=4,b=13 C.a=4,b=4 D.a=-5,b=4 ax+by=5 【跟踪专练1】(24-25七年级下·浙江杭州期中)在解关于x,y的方程组 (x+gys-5时， x=5 x=1 甲同学因看错了c,得到的解为 (y=-5’ 而正确的解为 y=3则a= ,b= C= ax+by=6 【跟踪专练2】(24-25七年级下湖南长沙期中)解方程组 时，小强正确解得 cx-4y=-21 x=2 X=-2 ys2’ 而小刚只看错了c,解得 y=4,则a-b+c的值为 r-7y=8时，一学生把c看错 ax+by=2 【跟踪专练3】(24-25七年级下·山东滨州期末)解方程组 x=-2 x=3 而得到 y=2，而正确的解是 y=-2’ 那么a+b+c的值为() A.4 B.5 C.6 D.7 试卷第1页，共3页 题型08：构造方程组求解 x=4 【典例】(24-25七年级下·江苏扬州期中)若方程组 x+y=的解为v=6'咖 ax+bay=c2 则方程 组 〔4a,x+3by=G的解为 4azx+3b2y=cz 【跟踪专练1】(2425七年级下·山东威海期中)定义运算“*”，规定x*y=ax2+by,其中 a,b为常数，且1*2=5,2*1=6，则2*3=() A.8 B.4 C.3 D.10 【跟踪专练2】(25-26七年级上·江苏常州·期中)一大正方形和四个相同的小正方形按图①② 两种方式摆放，则小正方形的边长为 ① ② 【跟踪专练3】(24-25八年级上·重庆大足·期末)对x、y定义一种新运算T,规定： T(x,y)=axy+by-2(其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如： T(1,0)=a×1×0+b×0-2=-2,若T(2,1=5,T(-1,2)=0,则结论正确的个数为() [m=-1m=-2[m=0m=-3 ①a=2,b=3;②若T(m,n=1,m、取整数，则 n=3或 或 或 n=-3域ln=1 n=-1 ； ③若T(x,ky)=T(y,kx)对任意有理数xy都成立（这里T(x,y)和T(y,x均有意义），则 k=0 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 题型09：由方程组解的情况求参数 2x-y=5k 【典例】(24-25七年级下·辽宁大连·期中)若关于x,y的二元一次方程组 的解 x+y=k 也是二元一次方程3x-2y=6的解，则k= 试卷第1页，共3页 x+y=4 【跟踪专练1】(24-25七年级下江苏南通·期中)若关于x,y的方程组 (x-y=6m-2的 解满足x-1)(3-y)=18,则m的值为() A,±2 B.±5 C.±V6 D.tV万 【跟踪专练2】(24-25七年级下.湖南娄底月考)已知关于x、y的方程组 2x+5y=-k+3 7x+4y=3k-1 的解满足5x-y=4,则k的值是· 【跟踪专练3】(23-24七年级下·云南昆明期中)己知实数x,y满足x+y=2,且 3x+2y=7k-2 则k的值为() 2x+3y=6 7 A:6 B.5 6 D.2 题型10：同解方程组问题 【典例】(23-24七年级下·湖南永州期中)如果方程组 x+y=3 x+y=8 与方程组 x-y=1 mr-y=4的解 相同，则(m+n2= x=3 【跟踪专练1】(24-26七年级下·河北期中)如果方程组 的解与方程组 ax+by=5 y=4 6x+=2的解相同，则a,b的值是() a=-1 a=l a=1 a=-1 A. C. D. b=2 b=2 b=-2 b=-2 2x+3y=19 【跟踪专练2】(24-25七年级下·江苏扬州期中)关于x,y的方程组 ar+by=-1与 [3x-2y=9 bx+ay=-7有相同的解，则a+6的值为一， 3x-4y=2 【跟踪专练3】(24-25七年级下·全国单元测试)己知关于x、y的方程组 ar-by=-4和 试卷第1页，共3页 bx+=3的解相同，则(3a+b)的值为（) 2x+5y=9 A.1 B.-1 C.0 D.2021 【解答题】 1.(24-25七年级下·福建福州期中)定义：二元一次方程y=x+b与二元一次方程 y=bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y=3x+1与二元一次方程y=x+3 互为“反对称二元一次方程”。 (1)直接写出二元一次方程y=3x-1的“反对称二元一次方程”： x=m (2)二元一次方程y=2x+4的解 ,又是它的“反对称二元一次方程的解，求出m、n的 y=n 值 2.(25-26七年级上·吉林长春期中)用适当的方法解下列方程组： 2x-y=10 (1) (4x+y=8 x=y+2 (2) x+3y=8 x+2y= 3.(24-25七年级下·湖南张家界·期末)在解方程组 时，小军由于粗心看错了 2x+y=8 x=2 x=-2 方程组中的n,解得 少=2：小红由于看错了方程组中的m,解得 y=4· (1)则m,n的值分别是多少？ (②)原方程组正确的解应该是怎样的？ 4.(24-25七年级下·福建福州期中)当m,n.都是实数，且满足2m-n=6时，称 Qm,n为巧妙点 (1)若Am,4)是巧妙点，则m=; (2)判断点P(4,-2)是否为巧妙点，并说明理由： x+y=a (3)己知关于x,y的方程组 且a、b为正整数，若以方程组的解为坐标的点B(x,y)是 x-y=b 试卷第1页，共3页 专题07二元一次方程组的概念与解法期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.辨概念：能精准识别二元一次方程 / 方程组，抓住 “含 2 个未知数、次数为 1、整式方程” 三大特征。 2.懂解的意义：明白方程组的解是两个方程的公共解，会快速检验一组数是否为解。 3.会消元：吃透 “化二元为一元” 的消元思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法两大解题利器。 1.会解题：能规范、快速地解基础二元一次方程组，会根据方程特点灵活选方法。 2.会逆向：已知方程组的解，能反求字母参数；能搞定 “错解复原”“同解方程组” 等期中热门题型。 3.会拓展：能判断方程组解的情况（唯一解 / 无数解 / 无解），并据此求参数范围。 1.基础必拿分：概念辨析、解的检验、代入 / 加减消元法解简单方程组。 2.中档提分点：已知解求参数、错解还原、同解方程组问题。 3.压轴拉分点：由解的情况求参数、构造方程组解决实际问题。 题型一 二元一次方程的定义与解 题型二 二元一次方程组的定义与解的判断 题型三已知方程组的解求参数 题型四 代入消元法解方程组 题型五 加减消元法解方程组 题型六 二元一次方程组的特殊解法 题型七 错解复原问题 题型八 构造方程组求解 题型九 由方程组解的情况求参数 题型十 同解方程组问题 解答题(5题) . 知识点01:二元一次方程组相关概念 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a0,b0） 解的特征：二元一次方程有无数个解，每个解都是一对有序数对 (x,y)。 2. 二元一次方程组 定义：由两个二元一次方程（或一个二元一次方程与一个一元一次方程）组成的方程组。 方程组的解：使方程组中两个方程都成立的未知数的值，即两个方程的公共解，通常只有唯一一组解。 解的检验：将 (x,y) 代入两个方程，若都成立，则是方程组的解。 知识点02:代入消元法 核心思路：用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消去一个未知数，转化为一元一次方程。 步骤： 1.变：将一个方程变形为 y=ax+b（或 x=ay+b）的形式； 2.代：将变形后的式子代入另一方程，消去一个未知数； 3.解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 4.回代：将求出的值代入变形式，求出另一个未知数； 5.写：写出方程组的解 知识点03:加减消元法 核心思路：通过方程两边同乘一个数，使某个未知数的系数互为相反数或相等，再将两方程相加 / 减，消去该未知数。 步骤： 1.化：将方程组整理成标准形式 2.乘：给方程两边同乘适当的数，使某未知数系数互为相反数或相等； 3.加减：将两方程相加 / 减，消去一个未知数； 4.解：解一元一次方程，求出一个未知数； 5.回代：代入原方程求另一个未知数； 6.写：写出方程组的解。 知识点04:核心结论与拓展 1. 解的情况（期中拓展） 对于方程组 ： 若 ，则有唯一解； 若 ，则无解； 若 ，则有无数组解。 2. 已知解求参数 方法：将方程组的解 (x,y) 代入原方程组，得到关于参数的新方程（组），解出新方程（组）即可求出参数。 3. 特殊题型处理 错解复原：将错解代入看错的方程，结合原方程，联立求参数； 同解方程组：两个方程组的公共解，可先解出其中一个方程组的解，再代入另一组求参数。 核心易错点 · 概念易错：漏看 “整式、两个未知数、次数为 1”，错判二元一次方程。 · 解的检验：只代一个方程，没验证两个方程。 · 代入消元：移项忘变号，代入漏括号，不回代。 · 加减消元：漏乘常数项，加减符号搞错。 · 书写错误：解不加大括号，步骤不规范。 · 参数问题：代入计算出错，错解 / 同解题型搞反条件。 题型01:二元一次方程的定义与解 【典例】（24-25七年级下·吉林白山·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1．据此逐项判断即可． 【详解】解：A：，含两个未知数，但含未知数的项的次数为2，不是一次方程； B：，含两个未知数，但次数均为2，不是一次方程； C：，含两个未知数x和y，次数均为1，是二元一次方程； D：，含两个未知数，但y在分母，不是二元一次方程． 故选：C． 【跟踪专练1】（24-25七年级下·山东淄博·期中）在方程①，②，③，④中，任选两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则选择的两个方程是______．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将、分别代入每个方程，判断是否符合方程即可得出答案． 【详解】解：当、时， ①； ②； ③； ④； 所以是方程组的解， 故答案为：②④． 【跟踪专练2】（24-25七年级下·江西上饶·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若m，n都为整数，且，，则点A的坐标可能是__________． 【答案】或或 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中点的坐标． 先根据得到m，n同号，再根据得到m，n均为正数，最后列出所有情况即可． 【详解】∵， ∴m，n同号． ∵， ∴m，n均为正数． ∵m，n都为整数， ∴或或， ∴点A的坐标可能是或或． 故答案为：或或． 【跟踪专练3】（23-24七年级下·重庆江津·期中）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据二元一次方程的定义，方程需满足两个未知数的次数均为1，且系数不为零； 【详解】1. 系数条件：方程中的系数为，需满足，即， 2. 次数条件：的指数为，需满足，解得，即或， 3. 排除矛盾：当时，的系数为0，方程退化为关于的一元一次方程，不符合“二元”条件，故舍去， 4. 验证唯一解：当时，的系数为，y的指数为，方程化为，符合二元一次方程的定义， 综上，， 故选：B； 题型02:二元一次方程组的定义与解的判断 【典例】（24-25七年级下·广东珠海·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组，根据二元一次方程组的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程组的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、方程组含有三个未知数（、、），故不符合题意； B、方程组含有两个未知数（、），且每个方程均为一次方程，符合题意； C、第一个方程中的次数为2，不是一次方程，故不符合题意； D、第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了以解为条件构造方程组，熟练掌握方程组的意义是解题的关键． 以x，y为主元素，任意构造即可． 【详解】解：二元一次方程组的解为的方程组有无数个， 如： 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】（24-25七年级下·山西临汾·月考）若是关于的二元一次方程组，则___________． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 【跟踪专练3】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可． 【详解】解：A、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； B、把满足中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确； C、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； D、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误． 故选B． 题型03:已知方程组的解求参数 【典例】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则这个二元一次方程组可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查以解为条件构造二元一次方程组，理解方程组解的意义是解题的关键； 根据方程组的解就是能使方程组中的每个方程成立的未知数的值，据此即可解答． 【详解】解：由关于，的二元一次方程组的解为，可计算得，，因此，方程组满足条件， 故答案为（答案不唯一）． 【跟踪专练1】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知方程组的解为，则■，▲分别为（    ） A．1，2 B．1，5 C．5，1 D．2，4 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义．把代入②可得▲，把代入①得：■，从而可得答案． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴，解得：， ∴▲， 把代入①得：■， 故选：C． 【跟踪专练2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入方程中即可求出的值，继而求出被“”遮住的数． 【详解】解：把代入方程中，得， 把，代入方程中，得， 故答案为：． 【跟踪专练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【详解】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 题型04:代入消元法解方程组 【典例】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程，移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其它的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含的式子表示的形式． 把方程，用含的代数式表示，只需要先移项，再把的系数化为1即可． 【详解】解：移项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】（24-25七年级下·吉林辽源·期中）解方程组时，把①代入②，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是将方程①中的代入方程②替换对应的未知数． 利用代入消元法，把方程①中的表达式代入方程②，替换方程②里的． 【详解】解：由方程①得， 将其代入方程②得：． 故选：D． 【跟踪专练2】.（24-25七年级下·北京延庆·期中）已知关于的方程组的解是，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，由题意得，解得，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程组的解是， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】（24-25七年级下·全国·单元测试）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组．解二元一次方程组的关键思想是消元，把二元一次方程转化为一元一次方程，解决本题的关键是注意在去分线、移项、合并同类项的、系数化为的过程中是否出现错误． 【详解】解：由， 移项可得：， 方程两边同时乘以可得：， 故甲计算正确， A选项不符合题意； 把代入得：， 故乙计算正确， B选项不符合题意； 去分母可得：， 去括号可得：， 故丙计算错误， C选项符合题意； 丁看到的是， 移项可得：， 合并同类项得：， 解得：， 把代入可得：， 故丁计算正确， D选项不符合题意． 故应选：C． 题型05:加减消元法解方程组 【典例】（23-24七年级下·广西南宁·期中）若关于x，y的二元一次方程组，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的加减消元法的应用，熟练掌握加减消元法是解题的关键．将两式相减即可． 【详解】解：， ，得， 故答案为：． 【跟踪专练1】（2025·辽宁丹东·一模）二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用消元法求解二元一次方程组，得到解后对应选项即可． 【详解】解：， ∵将，消去，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为，对应选项为C． 【跟踪专练2】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为____． 【答案】0 【分析】本题考查了同解方程组的解法及乘方运算，解题的关键是明确“解相同”意味着两组方程的解能同时满足四个方程，从而先求出公共解再代入求参数． 联立两个方程组中不含参数的方程，求出公共解x、y；将公共解代入含a、b的方程，解出a、b的值；计算的2026次方． 【详解】∵两个方程组解相同， ∴先解不含a、b的方程组：， 得：， 即， 解得． 将代入①得：，解得． 因此，相同的解为． 将代入含a、b的方程： 得：， 解得， 将代入④得：，求得， ∴． 故答案为：0． 【跟踪专练3】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组． 根据题意得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解． 【详解】解：①+②得，， ， ， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ∴，解得：， 所以这个公共解为， 故选：C． 题型06:二元一次方程组的特殊解法 【典例】（24-25七年级下·山西晋城·期中）若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握换元的思想方法是解题的关键．利用换元的思想方法设，，则得到，解方程组即可得出结论． 【详解】解：设，， 则关于x，y的方程组就是关于m，n的方程组 ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】（24-25七年级下·北京·期中）已知，满足方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．将方程组中的第一个方程减去第二个方程即可得． 【详解】解：， 将①②得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）关于的方程组的解是，则方程组的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把方程组变为，进而由二元一次方程组的解的定义得到，，解方程即可求解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组可变为， ∵关于的方程组的解是， ∴，， 解得，， ∴方程组的解是， 故答案为：． 【跟踪专练3】（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键．将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数据即可求解． 【详解】解：变形为 由题意得：， 解得： 故选：D 题型07:错解复原问题 【典例】（23-24七年级上·山东滨州·期末）在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入中求得b的值，再将代入中解得a的值即可． 【详解】解：将代入，得， 解得：； 将代入得， 解得：. 故选：D． 【跟踪专练1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则_________，_________，_________． 【答案】 2 1 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将代入方程，将代入方程组，从而求出a、b、c的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， 经整理，得①， 将代入方程组，得， 解方程③，得， 由①和②建立关于a和b的二元一次方程， 解得， ． 故答案为：2，1，． 【跟踪专练2】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，先把代入原方程组得到，则，；再把代入方程得到，联立，求出、，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：是方程组的解， ， 解得：，， 小刚只看错了，解得， 是方程的解， ， 联立， 解得：， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】（24-25七年级下·山东滨州·期末）解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先将两组解代入方程组中的第一个方程可得关于的方程组，解方程组可得的值，再将代入方程组中的第二个方程可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：由题意，将和代入方程得：， 解得， 将代入得：，解得， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 题型08:构造方程组求解 【典例】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 根据方程组的解是，可知的解是，解得出方程组的解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴的解是， 即． 故答案为：． 【跟踪专练1】（24-25七年级下·山东威海·期中）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到，再代入求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即， ∴. 故选：D． 【跟踪专练2】（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组得， ， 得．即 所以小正方形的边长为． 故答案为：． 【跟踪专练3】（24-25八年级上·重庆大足·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据新定义运算得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，然后再根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解方程组， 得到：， 故正确； 由可知， ， ， 又、取整数， 有或或或， 故正确； 对任意有理数都成立， ， ， ， ， 故正确． 正确的有三个． 故选：D ． 题型09:由方程组解的情况求参数 【典例】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．先解二元一次方程组，再代入中求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得，， 将代入得， ， 解得，， 故答案为：． 【跟踪专练1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）若关于，的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，利用平方根解方程，掌握加减消元法额代入消元法是解题关键．利用加减消元法解二元一次方程组，再将方程组的解代入已知等式求解即可． 【详解】解：方程组为， 将两式相加，得：， 解得：， 将代入得：， 将和代入， 得：， 整理得：，即， 解得： 故选：A． 【跟踪专练2】（24-25七年级下·湖南娄底·月考）已知关于、的方程组的解满足，则的值是_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，确定字母与方程组的解之间的关系是解题的关键． 结合方程组用含有k的代数式表示出，再代入关系式，求出解即可． 【详解】解：， ，得， 即． 因为， 所以， 解得． 故答案为：2． 【跟踪专练3】（23-24七年级下·云南昆明·期中）已知实数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解一元一次方程，方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出的值即可．熟知方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ①②得：， ∵， ∴， ∴，即的值为． 故选：C． 题型10:同解方程组问题 【典例】（23-24七年级下·湖南永州·期中）如果方程组与方程组的解相同，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组，先解方程组得，进而把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， ∵方程组与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】（24-26七年级下·河北·期中）如果方程组的解与方程组的解相同，则，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考核知识点：解二元一次方程组.解题关键点：熟练解二元一次方程组． 把代入方程中其余两个方程得，解方程组可得． 【详解】解：由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是 ， 把 代入方程中其余两个方程得 解得 故选A． 【跟踪专练2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，先根据两个方程组的解相同得新的方程组，根据一个方程组求出相同的解，再代入求出的和． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴方程组和方程组也有相同的解， 解方程组，得， 方程组的①②，得即， 当时，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则有， 解得：， ∴， 故选：B． 【解答题】 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法（加减消元法、代入消元法），熟练掌握消元法将二元方程转化为一元方程求解是解题的关键． （1）用加减消元法，将两个方程相加消去，先求，再代入求； （2）把代入另一个方程，先求，再代入求． 【详解】（1）解：， ① + ②得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 3．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）在解方程组时，小军由于粗心看错了方程组中的n，解得；小红由于看错了方程组中的m，解得． (1)则m，n的值分别是多少？ (2)原方程组正确的解应该是怎样的？ 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于把已知的值代入方程组. （1）将第一对解代入方程组的第一个方程求出m的值，将第二对解代入方程组的第二个方程求出n的值即可； （2）确定出正确的方程组，求出解即可解答. 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， 把将代入得：， 解得：； 所以，； （2）解：将，代入原方程组得， 解得：． 所以，原方程组正确的解为：． 4．（24-25七年级下·福建福州·期中）当m，n．都是实数，且满足时，称为巧妙点． (1)若是巧妙点，则_____； (2)判断点是否为巧妙点，并说明理由； (3)已知关于x，y的方程组且为正整数，若以方程组的解为坐标的点是巧妙点，求的坐标． 【答案】(1)5 (2)不是巧妙点，理由见解析 (3)或或． 【分析】本题考查了新定义问题，解题关键是准确理解新定义，熟练运用二元一次方程组求解． （1）根据巧妙点的定义代入求解即可； （2）根据巧妙点的定义判定即可； （3）先解方程组，再代入求解即可． 【详解】（1）解：是巧妙点，则，解得， 故答案为：5． （2）解：不是巧妙点； ∵， ∴不是巧妙点． （3）解：解方程组得，， 点是巧妙点，则，化简得， ∵为正整数， ∴，，， 则点C的坐标为或或． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $