专题08二元一次方程组应用与三元一次方程组期中复习讲义 (14大题型+题型突破)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题08二元一次方程组应用与三元一次方程组期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.建模能力：能从实际问题、几何图形中提取等量关系，列出二元一次方程组。 2.解法迁移：掌握三元一次方程组的定义，理解 “消元” 思想，会用代入 / 加减消元法将三元方程组转化为二元、一元求解。 3.应用认知：能根据实际问题的意义检验方程组解的合理性，了解三元一次方程组在多变量问题中的应用。 1.建模求解：能完整解决 “审题→设元→列方程组→解方程组→检验作答” 的应用题全流程。 2.消元拓展：能规范解基础三元一次方程组，会处理含参数或特殊结构的三元方程组。 3.综合应用：能解决行程、工程、销售利润、方案选择、几何计算等经典应用题，会分析图表信息。 1.高频必拿分：根据实际 / 几何问题列二元一次方程组、基础应用题求解、三元一次方程组的定义与基础解法。 2.中档提分点：方案选择问题、图表信息题、三元一次方程组的综合应用。 3.低频拓展点：古代数学问题、开放型问题（时间充裕时练习） 题型01.实际与几何问题列方程组(高频) 题型02.和差倍分问题(高频) 题型03.分配问题(高频) 题型04.行程问题(高频) 题型05.工程问题(高频) 题型06.销售利润问题(高频) 题型07.方案选择问题(高频) 题型08.几何问题(高频) 题型09.三元一次方程组的定义及解(高频) 题型10.年龄问题(低频) 题型11.数字问题(低频) 题型12.图表信息问题(低频) 题型13.三元一次方程的应用(低频) 题型14.古代与其他应用问题(选练) 知识点01:解题核心步骤 1.审：读懂题意，找出两个等量关系 2.设：设两个未知数（直接设或间接设） 3.列：根据等量关系列出二元一次方程组 4.解：用代入 / 加减消元法解方程组 5.验：检验解是否符合实际意义，最后作答 知识点02:经典题型与等量关系 题型 核心等量关系 和差倍分问题 1.和:x+y=总和 2.差:x-y=差值3.倍:x=ky 分配问题 1.数量不变:分配前总量=分配后各部分之和 2.数量关系:甲的数量=乙的数量差值/倍数 工程问题 工作量=效率时间 总工作量=各部分工作量之和 行程问题 相遇:t+v2t=总路程 追击:v1t-v2t=路程差 销售利润问题 利润=售价-进价 利润率=00 方案选择问题 分别计算不同方案的结果,比较后选择最优方案 几何问题 周长/面积/边长关系(如长方形周长:2(a+b)=c) 图表信息问题 从表格/图像中提取数据.转化为等量关系 知识点03:三元一次方程组的解法 1. 核心概念 定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组。 解：使三个方程都成立的三个未知数的值，是一组有序数对 (x,y,z)。 2. 核心解法：消元思想 思路：三元 → 二元 → 一元，逐步消去未知数。 常用方法： 代入消元法：用一个未知数表示另外两个，代入消元。 加减消元法：通过方程变形，消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 步骤： (1)选一个未知数，消去两次，得到两个二元一次方程。 (2)解二元一次方程组，得到两个未知数的值。 (3)回代求第三个未知数，写出方程组的解。 期中高频易错点 1.建模易错：找错等量关系，或漏写一个方程。 2.检验易错：忘记检验解是否符合实际意义（如人数、长度不能为负数）。 3.消元易错：三元消元时漏乘常数项，或加减符号错误。 4.书写易错：作答不完整，或解的格式不规范。 题型01:实际与几何问题列方程组 【典例】《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据现有30钱，买得2斗酒，列出方程组即可． 【详解】解：设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，由题意，得： ； 故选A． 【跟踪专练1】在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组_______________． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．根据长方形的长等于一个小长方形的长与三个小长方形的宽之和、两个小长方形的宽加上等于一个小长方形的长与一个小长方形的宽之和建立方程组即可得． 【详解】解：由题意可列方程组为， 故答案为：． 【跟踪专练2】把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 【跟踪专练3】北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【答案】(1)A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元； (2)①购进8件A型飞船模型和2 件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型 【分析】（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型， 根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案； 【详解】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意，得 ， 解得 ， 即A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元； （2）解：设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，得 ， 则， ∵a，b均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，， 故所有购买方案如下：①购进8件A型飞船模型和2 件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，有理数四则混合计算的实际应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． 题型02:二元一次方程组应用:和差倍分问题 【典例】在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵， 由题意可得：， 故选：D． 【跟踪专练1】某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 【答案】34 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组来解决现实生活中的应用问题；解题的关键是把握题意，正确列出方程，准确求解计算． 设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，根据总营业额万元和一月份变化后总营业额万元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元， 由题意，得方程组 解得 故甲柜台去年十二月份的营业额为万元． 故答案为：． 【跟踪专练2】某生态柑橘园现有柑橘24t，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运柑橘13t；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t． (1)1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求A、B型货车都要有）． 【答案】(1)1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨； (2)共有3种租车方案，方案1：租用2辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，6辆B型车；方案3：租用6辆A型车，3辆B型车． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用， 对于（1），先设载时1辆A型车一次可运柑橘x吨，1辆B型车一次可运柑橘y吨，再根据重量相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），根据题意得，再整理得，然后讨论取值即可得出答案． 【详解】（1）解：设载时1辆A型车一次可运柑橘x吨，1辆B型车一次可运柑橘y吨，依题意，得 ， 解得： 答：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨； （2）解：依题意，得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或． 答：共有3种租车方案，方案1：租用2辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，6辆B型车；方案3：租用6辆A型车，3辆B型车． 【跟踪专练3】现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是多少厘米？ 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图1可知3个长等于5个宽，根据图2可知两个宽减去1个长等于2，据此建立方程组求解即可； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据3个纸杯，8个纸杯建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得， ． 每个小长方形的面积为60； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 由题意得， 解得， ． 小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． 题型03:二元一次方程组应用:分配问题 【典例】在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意可知，灯身的个数灯座的个数；制作灯身的特殊材料板张数制作灯座的特殊材料板张数，列方程组求解即可． 【详解】解：用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套， 根据题意：即． 故答案为：． 【跟踪专练1】一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的构建是解题的关键．根据题意，设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，结合恰好配套，确定等量关系，列出方程后联立构成方程组即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 【跟踪专练2】一套仪器由1个A部件和2个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应分别用多少立方米钢材做A部件和B部件？恰好配成这种仪器多少套？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器240套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设用钢材做A部件，用钢材做B部件，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】设用钢材做A部件，用钢材做B部件， 根据题意，得 解得 所以． 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器240套． 【跟踪专练3】某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 题型04:二元一次方程组应用:行程问题 【典例】甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树． （1）若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要______天完成； （2）若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少______天． 【答案】 33 5 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和方程组． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解，再计算丙在A地植树的天数与在B地植树天数之差即可． 【详解】解：（1）设甲还需要x天完成， 由题意可得：， 解得， 即甲还需要33天， 故答案为：33； （2）设丙在A地植树a天，在B地植树b天， ， 解得， ， 即丙在A地植树的天数比在B地少5天， 故答案为：5． 【跟踪专练1】已知某桥长850米，一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车在桥上的时间为40秒，设火车的速度为x米/秒，车长为y米，下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即整列火车过桥通过的路程=桥长+车长，整列火车在桥上通过的路程=桥长-车长，根据这两个等量关系可列出方程组求解． 【详解】解：设火车的速度为每秒x米，车长为y米，由题意得： ， 故选：C． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．弄清桥长、车长以及整列火车过桥通过的路程，整列火车在桥上通过的路程之间的关系． 【跟踪专练2】为了测得隧道长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始入隧道到完全出隧道共用时，整列火车完全在隧道内的时间为，整列火车长．请你根据小明和小亮获得的数据，求出隧道的长度和火车过隧道的速度． 【答案】隧道长，火车过隧道的速度为 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设隧道的长度为，火车过隧道的速度为，根据行程问题的数量关系路程速度时间建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设隧道的长度为，火车过隧道的速度为， 得， 解得， 所以隧道长，火车过隧道的速度为． 【跟踪专练3】如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路，另一条是外环公路，这两条公路围成四边形，其中且外环公路比市区公路长．在上班高峰时，甲、乙两人驾车从A地出发去B地，甲沿市区公路行驶，汽车平均速度是；乙沿外环公路行驶，汽车平均速度是，结果乙比甲早到．求市区公路和外环公路的长． 小红看到题目后，想到用方程组解决问题： 第一步：设市区公路长为，外环公路的长． 第二步：利用列表法进行分析： 公路 速度 时间 路程 市区公路 40 a x 外环公路 80 b y 第三步：列方程组； 第四步：解方程组； 第五步：检验并作答． 问题解决： (1)请用含x，y的代数式分别表示a、b．则________，________； (2)请按小红的思路求市区公路和外环公路的长． (3)小红调查了市区公路的限速及非上班高峰的平均车速为，如果外环公路平均车速保持不变，所以她说无论哪个时段走外环公路用时都比走市区公路用时短，你同意她的说法吗，通过计算进行说理． 【答案】(1)， (2)市区公路的长为，外环公路的长为 (3)同意，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“路程=速度乘以时间”，即可解答． （2）根据题意，列出二元一次方程组，解出方程组，即可解答． （3）分别求出各时间段的所需的时间，再比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：依题意，得， 解得， 答：市区公路的长为，外环公路的长为． （3）解：同意，理由如下： 在早高峰时由（2）可知走外环公路用时少， 在非高峰时，走市区路公路用时：， 走外环公路用时：， ， 无论哪个时段走外环公路都是用时都比走市区公路用时短． 题型05:二元一次方程组应用:工程问题 【典例】2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组______． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 【跟踪专练1】小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ ） A．10：40 B．10：41 C．10：42 D．10：43 【答案】C 【分析】设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张，根据“10：00时使用甲印制，10：05才开始使用乙一起印制，到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用所需时间=需要印制的总张数甲、乙两影印机的工作效率之和，即可求出结论． 【详解】解：设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张， 依题意得：， 解得：， ， 依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在10：42达到2100张． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【跟踪专练2】现有大量的沙石需要运输．“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？ 【答案】“益安”车队有5辆载重量为8吨的卡车，7辆载重量为10吨的卡车． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．本题设“益安”车队有辆载重量为8吨的卡车，辆载重量为10吨的卡车，根据“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆且全部车辆运输一次能运输110吨沙石，可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：设“益安”车队有辆载重量为8吨的卡车，辆载重量为10吨的卡车， 根据题意得：， 解得：． 答：“益安”车队有5辆载重量为8吨的卡车，7辆载重量为10吨的卡车． 【跟踪专练3】玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 【答案】(1)时间上考虑选择甲公司 (2)从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可； （2）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即可． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （2）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 题型06:二元一次方程组应用:销售利润问题 【典例】母亲节来临之际，学校准备组织一场学生为母亲献鲜花的活动．在商店里，同一种鲜花每枝的价格相同，如果一枝康乃馨和两枝郁金香需要18元，四枝康乃馨和三枝郁金香需要47元，那么如果购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费______元． 【答案】13 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费x、y元，根据“一枝康乃馨和两枝郁金香需要18元，四枝康乃馨和三枝郁金香需要47元”列方程组求解即可． 【详解】解∶设购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费x、y元， 根据题意，得， 两方程相加，得， ∴， ∴购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费13元， 故答案为：13． 【跟踪专练1】某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元；第4天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（　　） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元，根据当第1天、第2天的记录无误时，建立方程组求解，再进一步进行检验即可． 【详解】解：设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元， 当第1天、第2天的记录无误时， 依题意得：， 解得：， ∴（元）， （元）， 又∵， ∴第4天的记录有误． 故选：D． 【跟踪专练2】某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 【答案】x的值为60，y的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 答：x的值为60，y的值为 【跟踪专练3】某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 价格 黄瓜 茄子 批发价/（元/） 零售价/（元/） (1)蔬菜经营户这一天批发的黄瓜数量，茄子数量分别是多少？ (2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元？ 【答案】(1)黄瓜，茄子 (2)元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用． （1）设批发黄瓜，茄子，根据黄瓜的批发价是元，茄子批发价是元，共花了元，列出二元一次方程组计算求解， （2）根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数． 【详解】（1）解：设批发黄瓜，茄子． 根据题意得方程组， 解得 答：黄瓜，茄子． （2） （元） 答：他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚42元钱． 题型07:二元一次方程组应用:方案选择问题 【典例】中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排的座位数，中间是过道．如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生人的购票方案：______（两人座和三人座各几排） 【答案】两人座1排和三人座3排（或两人座4排和三人座1排） 【分析】本题主要考查二元一次方程可能的整数解，根据题意列出二元一次方程并对可能得解进行求解即可． 【详解】解：设两人座有x排，三人座有y排，则 ， 那么，可能解或． 故答案为：两人座1排和三人座3排（或两人座4排和三人座1排）． 【跟踪专练1】刘老师为鼓励学习成绩优秀的同学，计划用60元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本5元，则刘老师购买笔记本的方案共有（   ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】D 【分析】设刘老师购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，根据题意列出二元一次方程，并结合均为非负整数，即可获得答案． 【详解】解：设刘老师购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 根据题意可得， ∴， ∵均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题关键． 【跟踪专练2】利用二元一次方程组解应用题 某校组织八年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？ 【答案】A种车型有45个座位，B种车型有60个座位 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位，然后根据租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位列出方程组求解即可． 【详解】解：设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位， 由题意得，， 解得， ∴A种车型有45个座位，B种车型有60个座位， 答：A种车型有45个座位，B种车型有60个座位． 【跟踪专练3】“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有3种新工人的招聘方案，方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工 (3)千公里 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据工程问题公式：甲的工程量+乙的工程量=总工程量，工作效率×工作人数=对应工程量，列方程即可， （1）鸡兔同笼类二元一次方程组，根据题意列方程组即可； （2）整数类问题，先计算出每日需安装的自行车数量，再通过凑整数，找到对应的工人数量即可； （3）最长路程，即完全利用到轮胎的所有性能，计算出每千公里前后轮一共的轮胎损耗，再用一对轮胎的总寿命除以这个损耗，即可求出最长路程． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 故每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意，可知每日需安装（辆）， 设抽调熟练工m名，则每日可安装辆自行车， 令，则， ∵m，n均为非负整数，且， ∴共有3种新工人的招聘方案，分别是或或，即方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：由题意可知，安装在前轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，安装在后轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命， 则每1千公里，共损耗的轮胎安全寿命， 通过行驶一段时间后，交换前后轮的轮胎，可以使得两个轮胎同时到达安全寿命，将轮胎充分利用， 故一对轮胎能行驶的最长路程是（千公里）． 题型08:二元一次方程组应用:几何问题 【典例】如图，大小相同的杯子叠放在一起．根据图中的信息，“□”处应填_____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设杯高为，每增加一个杯子高度增加，据图，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设杯高为，每增加一个杯子高度增加， 由图可知：， 解得：， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，则大长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设小长方形的长和宽为未知数，依据图形中长与宽的数量关系列方程组，求解出小长方形的长和宽，进而算出大长方形面积．本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握根据图形中的等量关系列方程组求解是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为．由图可知： 解得， ∴大长方形的长为，宽为，大长方形面积 故选：． 【跟踪专练2】如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 【跟踪专练3】我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．如图（）为大棚，设计方案如图（），要求两个大棚之间有间隔的路，已知每个大棚的周长为． (1)求每个大棚的长和宽各是多少？ (2)当面积超过平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米元，总价优惠元；方案二：每平方米元，总价优惠，试问选择哪种方案更优惠？说明理由． 【答案】(1)大棚的长为米，宽为米 (2)选择方案二更优惠，理由见解析 【分析】（）设大棚的长为米，宽为米，根据题意列出方程组即可求解； （）求出大棚的面积为，再分别求出两种方案的造价，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设大棚的长为米，宽为米， 根据题意得，， 解得， 答：大棚的长为米，宽为米； （2）解：选择方案二更优惠，理由如下： 大棚的面积为平方米，   若按照方案一计算，大棚的造价为：元， 若按照方案二计算，大棚的造价为：元， ∵， ∴选择方案二更优惠． 题型09:三元一次方程组的定义与解 【典例】已知三元一次方程组，则________． 【答案】6 【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值． 【详解】解：， ①+②+③，得 2x+2y+2z＝12， ∴x+y+z＝6， 故答案为:6． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加． 【跟踪专练1】解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【答案】A 【分析】此题考查解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 第一个方程中不含，而第二个方程和第三个方程通过加减消元法可消去，再联立第一个方程可组成二元一次方程组，从而实现消元的目的． 【详解】由题知，， 得，， 整理得， ④与①即可组成二元一次方程组， 要使解法较为简单，应先消去， 故选：A． 【跟踪专练2】已知是方程组的解，则__________． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组和不定方程，通过消元法将三元方程组转化为二元方程组，最终用c的倍数表示a和b，从而确定三者的比值． 【详解】解：将第一个方程乘以2，得到： ，用此式减去第二个方程： ， 化简得：， 解得：， 将代入第一个方程： ，即：， 化简得：，即， 此时，，因此： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出三元一次方程组，是解题的关键．根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴，解得：； 故选：B． 题型10:二元一次方程组应用:年龄问题 【典例】六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大_______岁． 【答案】12 【分析】设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意列出二元一次方程组并求解即可计算甲比乙大多少岁． 【详解】解：设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意， 可得，解得， ∴甲比乙大24-12=12岁． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组． 【跟踪专练1】甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 【跟踪专练2】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【跟踪专练3】若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 题型11:二元一次方程组应用:数字问题 【典例】相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图，是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为______． 7 3 6 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．设第1行第3列上的数字为，第2行第1列上的数字为，根据题意建立方程组，解方程组求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：如表格，设第1行第3列上的数字为，第2行第1列上的数字为， 7 3 6 由题意得：， 整理得：， 解得， 则， 故答案为：3． 【跟踪专练1】佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（   ） A．15 B．16 C．25 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位与个位数字之和为7且车行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 【跟踪专练3】有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27． (1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)， (2)47 【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的实际应用： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，原来的两位数为；新的两位数为； （2）由题意，得： ，解得：， ∴原来的两位数为47． 题型12:二元一次方程组应用:图表信息问题 【典例】幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用；根据题意列出关于a与b的二元一次方程组，解方程组即可求得a的值． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 故； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在的方格上做填数游戏，要求每行，每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，则，的值分别是（   ） 3 2 A．1， B．，1 C．2， D．，1 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键．根据每行，每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，可列出方程组，解方程组即得答案． 【详解】解：根据题意，可得方程组， 化简方程组得， 解得． 故选：B． 【跟踪专练2】某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【答案】(1)a，b的值分别为800，600 (2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可． （2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数． 【详解】（1）解：由题意得   解得： ∴a，b的值分别为800，600； （2）由题意得捐款总额为：（元） 设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y； 可得：；整理得：， 即； 又∵x、y均为正整数 ， ∴    ； 即方案一：中学生7人，小学生4人； 方案二：中学生4人，小学生8人； 方案三：中学生1人，小学生12人； 【跟踪专练3】甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 题型13:三元一次方程组应用 【典例】为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．加密规则如下：明文，，对应的密文分别为，，．例如明文1，，3对应的密文为2，，18．若接收方收到密文4，，9，则解密得到的明文为（    ） A．3，0， B．3，，0 C．5，，36 D．4，，3 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．根据接收方收到密文4，，9，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴解密得到的明文为3，，0． 故选：B． 【跟踪专练1】如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“○”的质量相等，则n的值是______________． 【答案】2 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为，再根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为， 根据题意可得：， 整理得：， 得：， 即个“□”与个“○”的质量相等， 故答案为：2． 【跟踪专练2】学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本．已知采购3本英语簿、本数学簿、本作文本需要9元；采购2本英语簿、3本数学簿、4本作文本需要11元．那么采购100本英语簿、100本数学簿、100本作文本需要的钱数是________． 【答案】400元 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，熟练掌握通过方程变形、相加求出相关量的和是解题的关键．本题可通过设未知数表示三种本子的单价，根据已知条件列出方程组，再通过对两个方程进行变形、相加，求出本英语簿、本数学簿和本作文本的总价，进而求出套的总价． 【详解】解：设英语簿每本元，数学簿每本元，作文本每本元． 根据题意可得 得： 两边同时除以得： ∴采购本英语簿、本数学簿、本作文本需要： ， 故答案为： ． 【跟踪专练3】对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．解题关键是根据新定义列出方程组； （1）根据新定义得出，，得出，，代入代数式，进行计算即可求解； （2）根据新定义得出，解方程组，即可求解； （3）由，得，即，得①，由，得②，，得③，解以上方程组成的方程组即可求得、、、的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由①得，代入②得 ∴ ∴ ∴ （2）依题意得， 由（1）可得，代入③得， 解得： ∴ （3）解：， ， ， 有一个不为零的数使得对任意有理数， 则有①， ，②， ，③， 又，， 解得． ∴ 题型14:古代与其他应用问题 【典例】《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：“有人合伙购物，如果每人出8钱，会多3钱；如果每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数和物价分别为人，钱，则可列方程组为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 设人数和物价分别为人，钱，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱”即可得出关于，的方程组． 【详解】解：设人数和物价分别为人，钱， 根据题意，得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，，中每个数只能取，，中的一个，且满足，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设有个，个，则有个，根据，可得出关于，的二元一次方程组，解之可求出、的值，再将其代入中，即可求解． 【详解】解：设有个，个，则有个， 根据题意得：， 解得：， 这个数中，有个，个， ， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路沿线有一家食品公司，它到A地的距离，到B地的距离是．这家公司从A地购买当地特产大货桃运回公司，制成黄桃罐头后全部销售到B地．已知黄桃的进价为每吨2000元，黄桃罐头（含包装）的出厂价为每吨4000元；公路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元：铁路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元．若这两次运输（第一次：A地→公司；第二次：公司→B地）共支付公路运费720元，铁路运费990元． (1)求此次购买的黄桃和制成的罐头分别为多少吨？ (2)求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【答案】(1)购买了10吨黄桃，制成了40吨罐头 (2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多138290元 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，解题的关键是根据公路运费和铁路运费的条件分别列出方程，组成方程组并求解； （1）设购买了吨黄桃，制成了吨罐头，根据题意列出方程组，联立方程组求解得到黄桃和罐头的重量； （2）分别计算销售款、原料费和运输费，进而求出销售款比原料费与运输费的和多的金额； 【详解】（1）解：设购买了吨黄桃，制成了吨罐头． 根据题意得：， 解得：． 答：购买了10吨黄桃，制成了40吨罐头； （2）解：黄桃的收购款为（元）， 罐头的销售款为（元）， 运费支出（元）， 多出（元）． 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多138290元． 【跟踪专练3】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 【答案】有人，物价为钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，物价为钱，根据题意，可列方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设有人，物价为钱， 由题意可得，， 解得， 答：有人，物价为钱．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08二元一次方程组应用与三元一次方程组期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.建模能力：能从实际问题、几何图形中提取等量关系，列出二元一次方程组。 2.解法迁移：掌握三元一次方程组的定义，理解 “消元” 思想，会用代入 / 加减消元法将三元方程组转化为二元、一元求解。 3.应用认知：能根据实际问题的意义检验方程组解的合理性，了解三元一次方程组在多变量问题中的应用。 1.建模求解：能完整解决 “审题→设元→列方程组→解方程组→检验作答” 的应用题全流程。 2.消元拓展：能规范解基础三元一次方程组，会处理含参数或特殊结构的三元方程组。 3.综合应用：能解决行程、工程、销售利润、方案选择、几何计算等经典应用题，会分析图表信息。 1.高频必拿分：根据实际 / 几何问题列二元一次方程组、基础应用题求解、三元一次方程组的定义与基础解法。 2.中档提分点：方案选择问题、图表信息题、三元一次方程组的综合应用。 3.低频拓展点：古代数学问题、开放型问题（时间充裕时练习） 题型01.实际与几何问题列方程组(高频) 题型02.和差倍分问题(高频) 题型03.分配问题(高频) 题型04.行程问题(高频) 题型05.工程问题(高频) 题型06.销售利润问题(高频) 题型07.方案选择问题(高频) 题型08.几何问题(高频) 题型09.三元一次方程组的定义及解(高频) 题型10.年龄问题(低频) 题型11.数字问题(低频) 题型12.图表信息问题(低频) 题型13.三元一次方程的应用(低频) 题型14.古代与其他应用问题(选练) 知识点01:解题核心步骤 1.审：读懂题意，找出两个等量关系 2.设：设两个未知数（直接设或间接设） 3.列：根据等量关系列出二元一次方程组 4.解：用代入 / 加减消元法解方程组 5.验：检验解是否符合实际意义，最后作答 知识点02:经典题型与等量关系 题型 核心等量关系 和差倍分问题 1.和:x+y=总和 2.差:x-y=差值3.倍:x=ky 分配问题 1.数量不变:分配前总量=分配后各部分之和 2.数量关系:甲的数量=乙的数量差值/倍数 工程问题 工作量=效率时间 总工作量=各部分工作量之和 行程问题 相遇:t+v2t=总路程 追击:v1t-v2t=路程差 销售利润问题 利润=售价-进价 利润率=00 方案选择问题 分别计算不同方案的结果,比较后选择最优方案 几何问题 周长/面积/边长关系(如长方形周长:2(a+b)=c) 图表信息问题 从表格/图像中提取数据.转化为等量关系 知识点03:三元一次方程组的解法 1. 核心概念 定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组。 解：使三个方程都成立的三个未知数的值，是一组有序数对 (x,y,z)。 2. 核心解法：消元思想 思路：三元 → 二元 → 一元，逐步消去未知数。 常用方法： 代入消元法：用一个未知数表示另外两个，代入消元。 加减消元法：通过方程变形，消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 步骤： (1)选一个未知数，消去两次，得到两个二元一次方程。 (2)解二元一次方程组，得到两个未知数的值。 (3)回代求第三个未知数，写出方程组的解。 期中高频易错点 1.建模易错：找错等量关系，或漏写一个方程。 2.检验易错：忘记检验解是否符合实际意义（如人数、长度不能为负数）。 3.消元易错：三元消元时漏乘常数项，或加减符号错误。 4.书写易错：作答不完整，或解的格式不规范。 题型01:实际与几何问题列方程组 【典例】《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组_______________． 【跟踪专练2】把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【跟踪专练3】北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 题型02:二元一次方程组应用:和差倍分问题 【典例】在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 【跟踪专练2】某生态柑橘园现有柑橘24t，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运柑橘13t；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t． (1)1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求A、B型货车都要有）． 【跟踪专练3】现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是多少厘米？ 题型03:二元一次方程组应用:分配问题 【典例】在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为___________． 【跟踪专练1】一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一套仪器由1个A部件和2个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应分别用多少立方米钢材做A部件和B部件？恰好配成这种仪器多少套？ 【跟踪专练3】某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 题型04:二元一次方程组应用:行程问题 【典例】甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树． （1）若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要______天完成； （2）若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少______天． 【跟踪专练1】已知某桥长850米，一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车在桥上的时间为40秒，设火车的速度为x米/秒，车长为y米，下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】为了测得隧道长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始入隧道到完全出隧道共用时，整列火车完全在隧道内的时间为，整列火车长．请你根据小明和小亮获得的数据，求出隧道的长度和火车过隧道的速度． 【跟踪专练3】如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路，另一条是外环公路，这两条公路围成四边形，其中且外环公路比市区公路长．在上班高峰时，甲、乙两人驾车从A地出发去B地，甲沿市区公路行驶，汽车平均速度是；乙沿外环公路行驶，汽车平均速度是，结果乙比甲早到．求市区公路和外环公路的长． 小红看到题目后，想到用方程组解决问题： 第一步：设市区公路长为，外环公路的长． 第二步：利用列表法进行分析： 公路 速度 时间 路程 市区公路 40 a x 外环公路 80 b y 第三步：列方程组； 第四步：解方程组； 第五步：检验并作答． 问题解决： (1)请用含x，y的代数式分别表示a、b．则________，________； (2)请按小红的思路求市区公路和外环公路的长． (3)小红调查了市区公路的限速及非上班高峰的平均车速为，如果外环公路平均车速保持不变，所以她说无论哪个时段走外环公路用时都比走市区公路用时短，你同意她的说法吗，通过计算进行说理． 题型05:二元一次方程组应用:工程问题 【典例】2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组______． 【跟踪专练1】小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ ） A．10：40 B．10：41 C．10：42 D．10：43 【跟踪专练2】现有大量的沙石需要运输．“益安”车队原来有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？ 【跟踪专练3】玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 题型06:二元一次方程组应用:销售利润问题 【典例】母亲节来临之际，学校准备组织一场学生为母亲献鲜花的活动．在商店里，同一种鲜花每枝的价格相同，如果一枝康乃馨和两枝郁金香需要18元，四枝康乃馨和三枝郁金香需要47元，那么如果购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费______元． 【跟踪专练1】某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元；第4天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（　　） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 【跟踪专练2】某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表： 种类 长征系列画册 红色经典故事 进价元/套 300 x 售价元/套 y 100 该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值． 【跟踪专练3】某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 价格 黄瓜 茄子 批发价/（元/） 零售价/（元/） (1)蔬菜经营户这一天批发的黄瓜数量，茄子数量分别是多少？ (2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元？ 题型07:二元一次方程组应用:方案选择问题 【典例】中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排的座位数，中间是过道．如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生人的购票方案：______（两人座和三人座各几排） 【跟踪专练1】刘老师为鼓励学习成绩优秀的同学，计划用60元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本5元，则刘老师购买笔记本的方案共有（   ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【跟踪专练2】利用二元一次方程组解应用题 某校组织八年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？ 【跟踪专练3】“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 题型08:二元一次方程组应用:几何问题 【典例】如图，大小相同的杯子叠放在一起．根据图中的信息，“□”处应填_____． 【跟踪专练1】如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，则大长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【跟踪专练3】我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．如图（）为大棚，设计方案如图（），要求两个大棚之间有间隔的路，已知每个大棚的周长为． (1)求每个大棚的长和宽各是多少？ (2)当面积超过平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米元，总价优惠元；方案二：每平方米元，总价优惠，试问选择哪种方案更优惠？说明理由． 题型09:三元一次方程组的定义与解 【典例】已知三元一次方程组，则________． 【跟踪专练1】解三元一次方程组 时， 最简单的做法是（　　） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【跟踪专练2】已知是方程组的解，则__________． 【跟踪专练3】在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型10:二元一次方程组应用:年龄问题 【典例】六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大_______岁． 【跟踪专练1】甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【跟踪专练2】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【跟踪专练3】若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 题型11:二元一次方程组应用:数字问题 【典例】相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图，是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为______． 7 3 6 【跟踪专练1】佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（   ） A．15 B．16 C．25 D．34 【跟踪专练2】将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【跟踪专练3】有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27． (1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 题型12:二元一次方程组应用:图表信息问题 【典例】幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值是______． 【跟踪专练1】如图，在的方格上做填数游戏，要求每行，每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，则，的值分别是（   ） 3 2 A．1， B．，1 C．2， D．，1 【跟踪专练2】某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 【跟踪专练3】甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 题型13:三元一次方程组应用 【典例】为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．加密规则如下：明文，，对应的密文分别为，，．例如明文1，，3对应的密文为2，，18．若接收方收到密文4，，9，则解密得到的明文为（    ） A．3，0， B．3，，0 C．5，，36 D．4，，3 【跟踪专练1】如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“○”的质量相等，则n的值是______________． 【跟踪专练2】学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本．已知采购3本英语簿、本数学簿、本作文本需要9元；采购2本英语簿、3本数学簿、4本作文本需要11元．那么采购100本英语簿、100本数学簿、100本作文本需要的钱数是________． 【跟踪专练3】对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 题型14:古代与其他应用问题 【典例】《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：“有人合伙购物，如果每人出8钱，会多3钱；如果每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数和物价分别为人，钱，则可列方程组为_________． 【跟踪专练1】已知，，中每个数只能取，，中的一个，且满足，则 A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路沿线有一家食品公司，它到A地的距离，到B地的距离是．这家公司从A地购买当地特产大货桃运回公司，制成黄桃罐头后全部销售到B地．已知黄桃的进价为每吨2000元，黄桃罐头（含包装）的出厂价为每吨4000元；公路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元：铁路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元．若这两次运输（第一次：A地→公司；第二次：公司→B地）共支付公路运费720元，铁路运费990元． (1)求此次购买的黄桃和制成的罐头分别为多少吨？ (2)求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【跟踪专练3】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $