期中检测卷2025-2026学年新教材人教版八年级数学下册

期中检测卷2025-2026学年新教材人教版八年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：D 2．（本题3分）已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的基本应用，熟练掌握勾股定理是解题关键，根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，直接计算即可． 【详解】解：∵ 两直角边长分别为1和2， ∴ 第三边（斜边）长． 故选：C． 3．（本题3分）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 4．（本题3分）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 5．（本题3分）如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理解可得，进而推出，即． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵分别以，，为直径向外构造半圆，三个半圆的面积，，， ∴， ∴， 故选：B． 6．（本题3分）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 7．（本题3分）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 8．（本题3分）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：是四个全等的直角三角形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 9．（本题3分）如图，在正方形中，点E在线段上，连接，过点C作于点G，交于点F，连接并延长交于点H．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；由题意易得，则可证，然后可得，过点A作于点K，进而可得，设，则有，最后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作于点K，如图所示： ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴， 设，则有， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，即； 故选B． 10．（本题3分）如图，在中，，，，P是边上的动点（），将沿翻折得，射线与射线交于点E．下列说法正确的个数是（   ） （1）当时，； （2）当点落在上时，四边形是菱形； （3）在点运动的过程中，线段的最小值为4； （4）连接，则四边形的面积始终等于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】（1）画出图形，求出，根据等角对等边即可判断其正确； （2）画出图形，证明出是等边三角形，从而得到，根据四条边相等的四边形是菱形即可判断其正确； （3）画出反例的图形，即可判断其错误； （4）画出图形，连接交于点，根据，即可判断其正确． 【详解】解：（1）如图所示，当时， ， ， 将沿翻折得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故（1）正确； （2）如图所示，当落在上时，点和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 将沿翻折得， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 故（2）正确； （3）如图所示， 当点靠近点时，在四边形外部，此时， ， 的最小值小于4， 故（3）错误； （4）如图所示，连接交于点， 将沿翻折得， 垂直平分， ， 故（4）正确． 综上，正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分） ______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（本题3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____． 【答案】50 【分析】根据∠C的度数确定△ABC为直角三角形，且AB为斜边，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°， ∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边． ∵AB=5， ∴． 故答案为：50． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键． 13．（本题3分）如图，已知的对角线，交于点，且，，则的周长比的周长多 _____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可知，，，，再根据的周长为，的周长为，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长为，的周长为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 14．（本题3分）如图，已知点，等腰直角中，，，，在轴上滑动时，的最小值是_______。    【答案】 【分析】本题主要考查了最短路线问题，如图所示，过作轴的平行线，作点关于的对称点，连接，则，当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，此时，存在最小值．过作于，推出、、三点共线，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【详解】解：如图所示，过作轴的平行线，作点关于的对称点，连接，则， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长， 过作于， 轴， 轴， 、、三点共线， 等腰直角中，，，， ，， ， 中，， 的最小值是． 故答案为：． 15．（本题3分）如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K， ∵正方形边长为4， ∴OK=2，KC=2， ∴KC=CE， ∴CH是△OKE的中位线 ∴， 作GM⊥CD，垂足为点M， ∵G点为EF中点， ∴GM是△FCE的中位线， ∴，， ∴， 在Rt△MHG中，， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式的加减运算，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式展开，再根据二次根式的加减运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 17．（本题9分）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能灵活运用是解题的关键； 在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后求四边形的面积． 【详解】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 18．（本题9分）如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，从而可得结论． 【详解】证明：在菱形中， ，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 19．（本题9分）年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜和香菜部分的面积差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键， （1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，从而列式得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴种植青菜部分的周长等于长方形空地的周长为：． ∴种植青菜部分的周长是； （2）解：由题可得：种植香菜部分的面积为：， 种植青菜部分的面积为：， ∴ ∴种植青菜和香菜部分的面积差为． 20．（本题9分）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 21．（本题9分）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 22．（本题10分）阅读与理解： 勾股定理是初等几何的一个基本定理，我国清代数学家梅文鼎给出了其中一种证明方法，如图1所示：以的三边分别向外作三个正方形；延长和交于点，连接并延长分别交和于点，，延长交于点，延长交于点．然后，通过证明，得到，，所以，进一步得到四边形为平行四边形．因为，所以与正方形同底等高，与长方形等底等高，所以正方形与长方形的面积相等．同理可得正方形与长方形的面积相等．证得正方形与正方形的面积和等于正方形的面积，从而证得勾股定理． （1）如图2，以三边为直径向外分别作三个半圆，其半圆的面积分别表示为、、则它们的数量关系为_____；如图3，以三边为直角边分别作等腰直角三角形，等腰直角三角形，等腰直角三角形．若图中阴影部分的面积分别为、、、，则它们的数量关系为_____（用含、、、的式子表示）． 思考与拓展： 从梅文鼎的证明方法中，不难发现是以平行四边形的面积作为“桥梁”，用等积变换得到三个正方形的面积关系．进一步思考：将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作法如下（如图4）： ①分别以直角边、为边向外作和； ②分别延长，交于点； ③作射线与相交于点，在射线上截取； ④过点作的平行线，并在直线上截取，连接、，即得． （2）如图4，在和中，若，，，，，求的面积． 【答案】（1）图2：；图3：；（2） 【分析】（1）图2：分别用表示出、、，然后根据即可得出、、的关系； 图3：设，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． （2）先证明当四边形，四边形，四边形均为矩形，且时，；再证当四边形，四边形，四边形均为平行四边形，且时，；然后分别求出和即可求解． 【详解】解：（1）图2： ， ∵， ∴， ∴； 图3，分别交、于点、点 ∵均是等腰直角三角形 ∴， 设，，   ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）如图5，当四边形，四边形，四边形均为长方形，且时，求证： 证明：过作交直线，于，，过作交，于，． ∵， ∴， ∴． ∵与等底等高， ∴ ∴； 同理可证，， ． 如图4，当四边形，四边形，四边形均为平行四边形，且时， 证明：过分别作的垂线，    ∵，， ∴ ∴， 同理可得， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 同理：， ∴， ∴， ． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式． 23．（本题10分）问题背景：如图1，在平行四边形中，，，于点E，点F为线段上一点，连接，过点F作交延长线于点G． (1)问题发现：小知发现，他的做法是过点F作交于点K，请根据小知的做法完成的证明； (2)问题探究：如图2，在（1）的结论下，连接，H为中点，为中点，连接、、，猜想线段，之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； (3)问题拓展：如图3，在（2）问情况下，将沿翻折得到，连接，当取得最小值时，此时将线段沿着所在直线进行平移得到对应线段，连接、，若，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，过点F作交AB于点K，利用角度直角的互余关系可得，由，， 可得，可知，，可证，即可得结论； （2）延长交于点，连接，连接，结合题意可知是等腰直角三角形，则，再证，进而可证明，得，，再证得，，可证得是等腰直角三角形，根据，即为的中点，可得结论； （3）连接，，由轴对称可知，，，，可知为等腰直角三角形，则，过点作，点作，则，得，可知，，即在上方，且距离为2的直线上，当时，取得最小值，此时，取的中点，则，，即在上，再证，则，即此时为的中点，亦即在上，得，可知四边形是矩形，则，，过点作交于点，交延长线于，则四边形是矩形，得，，则，由平移可知，，作，且，则四边形是平行四边形，可知，当点在上时取等号，即的最小值为，此时在上，再证，得，即可求解． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，， ∵，则， ∴， 过点F作交AB于点K， ∵，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ； （2）解：，，理由如下： 延长交于点，连接，连接， ∵，，则是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，即为的中点， ∴，； （3）连接，，由轴对称可知，，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，则， 过点作，点作，则， ， ∴， ∴， ∴，， 即在上方，且距离为2的直线上， 当时，取得最小值，此时， 取的中点，则，，即在上， ∴，则， ∵， ∴，则，即此时为的中点，亦即在上， ∴，即， 可知四边形是矩形，则，， 过点作交于点，交延长线于，则四边形是矩形， ∴，，则， 由平移可知，， 作，且，则四边形是平行四边形， ∴， 则，当点在上时取等号， 即的最小值为，此时在上， 令交于，交于， ∵在上，，， ∴， 又∵， ∴，则 ∴， 由（2）可知，由轴对称可知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的最小值为3． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，轴对称的性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形，证得在上方，且距离为2的直线上，是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测卷2025-2026学年新教材人教版八年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 2．（本题3分）已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（    ） A．3 B． C． D．1 3．（本题3分）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 4．（本题3分）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 7．（本题3分）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（本题3分）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 9．（本题3分）如图，在正方形中，点E在线段上，连接，过点C作于点G，交于点F，连接并延长交于点H．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在中，，，，P是边上的动点（），将沿翻折得，射线与射线交于点E．下列说法正确的个数是（   ） （1）当时，； （2）当点落在上时，四边形是菱形； （3）在点运动的过程中，线段的最小值为4； （4）连接，则四边形的面积始终等于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共15分） 11．（本题3分） ______． 12．（本题3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____． 13．（本题3分）如图，已知的对角线，交于点，且，，则的周长比的周长多 _____． 14．（本题3分）如图，已知点，等腰直角中，，，，在轴上滑动时，的最小值是_______。    15．（本题3分）如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）计算： (1)； (2)． 17．（本题9分）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 18．（本题9分）如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：． 19．（本题9分）年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜和香菜部分的面积差． 20．（本题9分）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 21．（本题9分）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 22．（本题10分）阅读与理解： 勾股定理是初等几何的一个基本定理，我国清代数学家梅文鼎给出了其中一种证明方法，如图1所示：以的三边分别向外作三个正方形；延长和交于点，连接并延长分别交和于点，，延长交于点，延长交于点．然后，通过证明，得到，，所以，进一步得到四边形为平行四边形．因为，所以与正方形同底等高，与长方形等底等高，所以正方形与长方形的面积相等．同理可得正方形与长方形的面积相等．证得正方形与正方形的面积和等于正方形的面积，从而证得勾股定理． （1）如图2，以三边为直径向外分别作三个半圆，其半圆的面积分别表示为、、则它们的数量关系为_____；如图3，以三边为直角边分别作等腰直角三角形，等腰直角三角形，等腰直角三角形．若图中阴影部分的面积分别为、、、，则它们的数量关系为_____（用含、、、的式子表示）． 思考与拓展： 从梅文鼎的证明方法中，不难发现是以平行四边形的面积作为“桥梁”，用等积变换得到三个正方形的面积关系．进一步思考：将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作法如下（如图4）： ①分别以直角边、为边向外作和； ②分别延长，交于点； ③作射线与相交于点，在射线上截取； ④过点作的平行线，并在直线上截取，连接、，即得． （2）如图4，在和中，若，，，，，求的面积． 23．（本题10分）问题背景：如图1，在平行四边形中，，，于点E，点F为线段上一点，连接，过点F作交延长线于点G． (1)问题发现：小知发现，他的做法是过点F作交于点K，请根据小知的做法完成的证明； (2)问题探究：如图2，在（1）的结论下，连接，H为中点，为中点，连接、、，猜想线段，之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； (3)问题拓展：如图3，在（2）问情况下，将沿翻折得到，连接，当取得最小值时，此时将线段沿着所在直线进行平移得到对应线段，连接、，若，请直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $