精品解析：广西崇左市扶绥县扶绥县柳桥镇第二初级中学2025-2026学年下学期 九年级期中质量检测数学

2026年春季学期九年级期中质量检测 数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑） 1. 下列图形中，不是相似图形的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出结论． 【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形的定义并能结合具体图形进行准确判断是解题的关键． 2. 已知分别交与的延长线于点和点，则的长等于（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由AB∥CD，根据平行线分线段成比例定理，又由CP=4，DP=6，BP=2，即可求得AD的值． 【详解】 ， ， ， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用． 3. 若一个三角形的三边长之比为，与它相似的一个三角形的最长边的长为，则其余两边长的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例的性质，原三角形最长边对应相似三角形的最长边，求出相似比后计算其余两边的长度之和即可． 【详解】解：∵原三角形三边之比为，相似三角形的最长边为， ∴相似比为， ∴相似三角形中，其余两边分别为，， ∴两边之和为， 故选：A． 4. 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（　　） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用cos60°=,可求把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1． 【详解】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°， ∴ 在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2， ∴ 即a2+c2=b2+ac， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法． 5. 如图，在中，，已知，则的长可表示为 （      ）  A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴. 6. y与x成反比例，当时，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求解． 【详解】设．根据题意得：， 解得：， 即函数解析式是． 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式．待定系数法是求函数解析式最常用的方法，需要熟练掌握． 7. 如图所示，是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义得出，根据反比例函数图象位于二、四象限即可得出答案． 【详解】解：∵矩形的面积为，点在反比例函数图象上， ∴， ∵反比例函数图象位于二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式． 8. 如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD． 【详解】解：在中，，， ∴ ∴ 由勾股定理得, 过点D作于点E，如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 在中, ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键． 9. 如图，直线（a是常数，）与双曲线交于点A，与直线交于点B，当面积最小时，a的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求得、，得到，利用三角形面积公式列式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为1， 故选：B． 【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合题，利用函数的解析式表示点的坐标，并表示线段的长，解题的关键是利用二次函数的性质解决问题． 10. 已知反比例函数，直线交于、两点，则代数式的值是（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 【答案】B 【解析】 【分析】联立两个函数解析式，得到关于x的一元二次方程，从而得a+m=2，把、代入可得=-2a，=-2m，进而即可求解． 【详解】联立，，得：， ∴， ∵反比例函数，直线交于、两点， ∴的两个根为：x=a，x=m， ∴a+m=2， ∵，， ∴=-2a，=-2m， ∴=-（a+m）=-2． 故选B． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． 11. 如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由∠A＝120°可得∠1+∠2的度数，从而求得∠CBD+∠BCE的度数，根据BM，CM分别是△ABC的外角平分线，得∠3+∠4的度数，即可求出∠M的度数，得到答案． 【详解】解：如图： ∵∠A＝120°， ∴∠1+∠2=60°， ∴∠CBD+∠BCE=(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°-(∠1+∠2)=300°， ∵BM，CM分别是△ABC的外角平分线， ∴∠3+∠4=∠CBD+∠BCE=(∠CBD+∠BCE)=150°， ∴∠M=30°， ∴∠M的余弦值是． 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，涉及三角形内角和定理，角平分线的定义等知识．解题的关键是利用三角形内角和定理求出∠3+∠4的度数 ． 12. 如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，，得出的轨迹是圆，取点，则是的中位线，则求得的正弦的最大值即可求解，当与相切时，最大，则正弦值最大，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则， 则的横坐标为，纵坐标为， ∴， 取点，则是的中位线， ∴， ∵， ∴点在半径为的上运动， ∵是的中位线， ∴， ∴，当与相切时，最大，则正弦值最大， 在中，， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则 ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，, 则 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点的轨迹是解题的关键． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 如图，，AC：CF＝2：3，DE＝9，则BD的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴BD＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，利用得到，是解答本题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数的图象上，则此反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移、待定系数法求反比例函数解析式，根据点的平移规律求出点B的坐标，再利用待定系数法求出答案即可，熟练掌握点的平移规律和待定系数法是解题的关键． 【详解】解：∵点向下平移5个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为， 设反比例函数的表达式为， 把点代入得，， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 故答案为： 15. 如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数） 【答案】20 【解析】 【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点， 由题意得：，， ， 在中，，， 在中，， ， 在中，， 即这架无人机的飞行高度大约是， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则有，然后把当时，；当时，代入求解即可； （2）直接把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【小问1详解】 解：设，由可得：， ∴把，和，代入得： ，解得：， ∴y与x的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：由（1）可把代入得：． 18. 如图，在平行四边形中，点E在边上，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． （1）求证：； （2）若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）先运用性质结合证明四边形是平行四边形，再根据平分，，推出，证明是菱形，即可求解； （2）先运用菱形性质推出，再根据相似性质推出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 20. 如图1，内接于⊙O，直线与⊙O相切于点D，与相交于点E，． （1）求证：； （2）如图2，若是⊙O的直径，E是的中点，⊙O的半径为4，求的长． 【答案】 （1）证明：连接OB，如图所示： ∵直线与⊙O相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∵OD是⊙O的半径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OB，由题意易得，则有，进而可得，然后问题可求证； （2）由题意易得，进而可得，然后再根据勾股定理可求解． 【详解】（1）略 （2）∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵⊙O的半径为4， ∴， ∵是⊙O的直径， ∴， ∴AB=4，， ∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查切线的性质、三角函数、含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质、三角函数、含30°的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 21. 如图，海中有两个小岛，，某渔船在海中的处测得小岛D位于东北方向上，且相距，该渔船自西向东航行一段时间到达点处，此时测得小岛恰好在点的正北方向上，且相距，又测得点与小岛相距． (1)求的值； (2)求小岛，之间的距离(计算过程中的数据不取近似值)． 【答案】(1)；(2)小岛、相距. 【解析】 【分析】(1)如图，过点作，垂足为，在中，先求出DE长，然后在中，根据正弦的定义由即可求得答案； (2)过点作，垂足为，则四边形BEDF是矩形，在中，利用勾股定理求出BE长，再由矩形的性质可得，，继而得CF长，在中，利用勾股定理求出CD长即可. 【详解】(1)如图，过点作，垂足为， 在中，，， ∴ 在中，， ∴； (2)过点作，垂足为，则四边形BEDF是矩形， 在中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 因此小岛、相距. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形，灵活运用相应三角形函数是解题的关键. 22. 如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式． （2）现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中，与是否总相似，并说明理由． 【答案】（1） ， （2） 解：点P在滑动过程中，与总相似，理由如下： 轴， ， ， 轴， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）将点代入中，得，由此即可求出的值，进而可得反比例函数的表达式；将，分别代入中，得，解方程组即可求出、的值，进而可得一次函数的表达式； （2）由两直线平行同位角相等可得，，然后由相似三角形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点代入中，得：， ， 反比例函数的表达式为； 将，分别代入中，得：， 解得：， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，相似三角形的判定，两直线平行同位角相等，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合及反比例函数与几何综合是解题的关键． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且． （1）求反比例函数与一次函数关系式； （2）点是线段上一点，且，求出点坐标； （3）在（2）的条件下，在轴上找一点，使的面积与的面积相等，直接写出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数关系式为 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等，解题关键是数形结合思想的应用． （1）将代入可求出的值，作轴，交轴于点．则，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，然后据待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）设直线与轴交于，由（1）知直线的解析式为，过作轴于，求得，设，则，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论； （3）过作交轴于，则的面积与的面积相等，求得直线的解析式为，设直线的解析式为，得到直线的解析式为，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，作轴于点， 由点可知在反比例函数上，， ，，， 又， ， ． 即， ∴， 则， 所以反比例函数与一次函数关系为，； 【小问2详解】 设直线与轴交于， 由（1）知直线的解析式为， ，， ， 过作轴于， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， ，， ； 【小问3详解】 过作交轴于， 则的面积与的面积相等， ； 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 点， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，， ， 当点在轴的正半轴上时，，， 综上所述，，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期九年级期中质量检测 数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑） 1. 下列图形中，不是相似图形的一组是（ ） A. B. C. D. 2. 已知分别交与的延长线于点和点，则的长等于（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 2 3. 若一个三角形的三边长之比为，与它相似的一个三角形的最长边的长为，则其余两边长的和为（ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（　　） A. B. C. 1 D. 5. 如图，在中，，已知，则的长可表示为 （      ）  A. B. C. D. 6. y与x成反比例，当时，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ） A. B. 3 C. D. 2 9. 如图，直线（a是常数，）与双曲线交于点A，与直线交于点B，当面积最小时，a的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知反比例函数，直线交于、两点，则代数式的值是（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 11. 如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 如图，，AC：CF＝2：3，DE＝9，则BD的长为_____． 14. 在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数的图象上，则此反比例函数的表达式为______． 15. 如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数） 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值． 18. 如图，在平行四边形中，点E在边上，若，求的长． 19. 如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． （1）求证：； （2）若，四边形与四边形相似，求的长． 20. 如图1，内接于⊙O，直线与⊙O相切于点D，与相交于点E，． （1）求证：； （2）如图2，若是⊙O的直径，E是的中点，⊙O的半径为4，求的长． 21. 如图，海中有两个小岛，，某渔船在海中的处测得小岛D位于东北方向上，且相距，该渔船自西向东航行一段时间到达点处，此时测得小岛恰好在点的正北方向上，且相距，又测得点与小岛相距． (1)求的值； (2)求小岛，之间的距离(计算过程中的数据不取近似值)． 22. 如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式． （2）现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中，与是否总相似，并说明理由． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且． （1）求反比例函数与一次函数关系式； （2）点是线段上一点，且，求出点坐标； （3）在（2）的条件下，在轴上找一点，使的面积与的面积相等，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $