精品解析：江苏省连云港市东海县2026年中考第一次调研考试数学试题

2026年中考第一次调研考试 数学试题 （请考生在答题卡上作答） 温馨提示： 1．本试卷共27题，全卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 今年春节期间，东海县纳入监测的家旅游景区、个乡村旅游点和家旅游度假区，共接待游客人次，较年春节假期增长．数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（ ） A. 有1个交点，且在第一象限 B. 有1个交点，且在第二象限 C. 有1个交点，且在第三象限 D. 有1个交点，但不在第四象限 7. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（ ）． A. B. C. D. 3 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使式子 有意义，则x的取值范围是_______． 10. 分解因式：____． 11. 在一个样本中，将个数据分成组，其中第一组的频数是，第三组与第四组的频率之和是，那么第二组的频数是___________． 12. 第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 13. 如图，内接于，若，，则______． 14. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为____． 15. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 16. 如图，在中，，，以为斜边作，且有，连接，并延长至点，使得，连接，则的最大值为_________． 三、解答题（本题共11小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 化简：． 20. 2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，； 抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理数据】，两班的数据整理如下： 【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示； 平均数 中位数 众数 方差 班 班 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：____，_____，请补全条形统计图； （2）假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； （3）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价． 21. 为落实“健康第一”的教育理念，老师课间调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成四组：A．篮球，B．羽毛球，C．乒乓球，D．跳绳． （1）明天小明同学恰好被分到球类运动项目的概率是_____； （2）小明和小虎是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率． 22. 如图，为的直径． （1）使用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①在上方的上求作一点，使得为等边三角形； ②在①的基础上作的内接矩形； （2）说明（1）中所作四边形是矩形的理由． 23. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，点（点在点的左侧）．连接，过点作轴，垂足为，与交于点． （1）若已知点的坐标为． ①求的值； ②点的坐标为_____，_____； （2）当时，请直接写出线段的长． 24. 某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． （1）若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； （2）设小明接温水的时间为， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 25. 水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 26. 抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过定点． （1）当时，求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）设点、在该抛物线上，且（点在点右侧），，求证：； （3）已知点和是抛物线上的两点，若对于，且，都有，求的取值范围． 27. 解答下列问题： （1）【教材再现】八年级上册《伴你学》第139页第26题有这样一个小问：如图1，在和中，，，将绕着点旋转，使得点落在边上，试探究线段，，之间的数量关系，并证明结论； （2）【纵向探变】在（1）基础上若已知，，求的长； （3）【理解内化】如图2，点在线段上，，，以点为直角顶点，作等腰，连接，，求当最小时，的最小值； （4）【实际应用】如图3，水晶公园有一块四边形空地．在，，上分别取点，，，使得，计划在四边形区域内种植观赏花卉．若已知，，，，，请直接写出种植这种花卉的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次调研考试 数学试题 （请考生在答题卡上作答） 温馨提示： 1．本试卷共27题，全卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用实数大小的比较方法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：， 最小的数是：． 故选：C． 2. 今年春节期间，东海县纳入监测的家旅游景区、个乡村旅游点和家旅游度假区，共接待游客人次，较年春节假期增长．数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，需要将写成，且满足．将的小数点向左移动位，可得，符合，． 【详解】解：． 3. 中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形得到其三视图，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该白釉暗刻龙纹高足杯的主视图和左视图相同，故B选项符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算法则对选项逐一判断即可． 【详解】解：选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，运算正确，符合题意，选项正确； 选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，和不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂相除、合并同类项，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 5. 如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴缩小后的宽是， 缩小后的矩形的面积． 6. 关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（ ） A. 有1个交点，且在第一象限 B. 有1个交点，且在第二象限 C. 有1个交点，且在第三象限 D. 有1个交点，但不在第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线解析式判断其所在象限，即可求解． 【详解】解：直线中，，经过一、二、三，不经过第四象限， 因为直线与直线的不相等，所以两直线必有一个交点， 又因为交点必在直线上，所以交点不可能在第四象限， 故选项D符合题意． 7. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（ ）． A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，由同弧所对的圆周角相等可得，利用网格求出即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， 结合网格可知，，，， 在中，， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使式子 有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数即可得出结论． 【详解】解：要使式子有意义，则 ， 解得：． 故答案为：． 10. 分解因式：____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直到不能分解为止． 【详解】解： ． 11. 在一个样本中，将个数据分成组，其中第一组的频数是，第三组与第四组的频率之和是，那么第二组的频数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频率的意义（频数与数据总数的比值或者百分比称为这类数据频数的频率），根据频率的意义知各个小组的频率之和是，可得第二组的频率是，再列式计算即可．关键是根据各个小组的频率之和是和已知条件列出算式． 【详解】解：∵各个小组的频率之和是，第一组的频率是：，第三组与第四组的频率之和是， ∴第二组的频率是：， ∴第二组的频数为：． 故答案为：． 12. 第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形中心角度数公式计算即可． 【详解】解：正九边形中心角度数为． 13. 如图，内接于，若，，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】利用三角形内角和求出，再用圆周角定理求，最后在等腰中求即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ． 14. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键，根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为 故答案为：10 15. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 16. 如图，在中，，，以为斜边作，且有，连接，并延长至点，使得，连接，则的最大值为_________． 【答案】16 【解析】 【分析】以为斜边作，且使得，延长到F，使得，连接，可证明，得到，则；由三角形中位线定理可得；证明垂直平分，得到；根据，得到当A、F、Q三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，以为斜边作，且使得，延长到F，使得，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴为的中位线， ∴； ∵，，即， ∴垂直平分， ∴； ∵， ∴当A、F、Q三点共线时，有最大值，最大值为． 三、解答题（本题共11小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算乘方，算术平方根，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】依次解不等式，最后取公共部分得不等式组的解集． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①， 去分母得， 解得， 解不等式②， 移项得， 即， 解得， 综上，可得不等式组的解集为． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，； 抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理数据】，两班的数据整理如下： 【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示； 平均数 中位数 众数 方差 班 班 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：____，_____，请补全条形统计图； （2）假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； （3）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价． 【答案】（1），，图见解析 （2）人 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数定义求解即可； （2）根据样本估计总体进行计算即可； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可； 【小问1详解】 解：班不了解人数为人，比较了解人数为人，了解共人，故非常了解共人， 将成绩按从小到大排序，可知中位数位于第、之间， 故， 由B班成绩，可得， 补全条形图如下： 【小问2详解】 解：人， 故成绩为“了解”的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：从平均数看，，两班学生测试成绩的平均水平一样； 从中位数看，班学生测试成绩的中位数低于班学生测试成绩的中位数，说明班的整体水平好一些； 从众数看，班学生测试成绩的众数低于班学生测试成绩的众数，说明班学生测试成绩的高分集中趋势高一些； 从方差看，班学生测试成绩的方差低于班学生测试成绩的方差，说明班学生测试成绩的波动小一些． 21. 为落实“健康第一”的教育理念，老师课间调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成四组：A．篮球，B．羽毛球，C．乒乓球，D．跳绳． （1）明天小明同学恰好被分到球类运动项目的概率是_____； （2）小明和小虎是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，解题思路为先确定所有等可能结果的总数，再找出符合要求的结果数，利用概率公式计算得到结果． （1）直接分类数出结果计算概率， （2）通过画树状图列举所有等可能结果，再计算两人同组的概率． 【小问1详解】 解：一共有4种等可能的分组结果，其中属于球类运动项目的结果有3种． 因此小明恰好被分到球类运动项目的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如图， ∴所有等可能的结果共有16种，其中小明和小虎被分到同一组的结果有4种． 因此他俩明天被分到同一组的概率为． 22. 如图，为的直径． （1）使用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①在上方的上求作一点，使得为等边三角形； ②在①的基础上作的内接矩形； （2）说明（1）中所作四边形是矩形的理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】1）以点为圆心，长为半径作弧．交上方的于点；连接，则为等边三角形； ②延长交于点；顺次连接、、和，四边形就是所求作的矩形． （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得结论． 【小问1详解】 解：①如图所示，即为所求； ②矩形即为所求； 【小问2详解】 解：理由如下： 点，都在上， ，， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 又是的直径， （直径所对的圆周角是直角）， 四边形是矩形． 23. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，点（点在点的左侧）．连接，过点作轴，垂足为，与交于点． （1）若已知点的坐标为． ①求的值； ②点的坐标为_____，_____； （2）当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①；②； （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入，求得，再利用待定系数法求解即可； ②联立一次函数与反比例函数解析式求得的坐标，进而求得的解析式，再求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点A作，垂足为点H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①把点代入， 得． ． 把点代入， 得； ∴ ②联立 解得：或 ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴， 解得： ∴ ∵，轴 ∴的纵坐标为 将代入 ∴ 解得； ∴， ∴ 【小问2详解】 解：如图，过点A作，垂足为点H， 设，则点B坐标为． 轴，， ， ， ， ， ， ， ． 点，点在反比例函数上， ． 解方程，得（不符合题意，舍去），． 线段的长为． 24. 某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． （1）若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； （2）设小明接温水的时间为， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解； ②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：设需再接开水的时间为． 根据题意，得， 解得． 答：需再接开水的时间为． 【小问2详解】 解：①由题意，知温水体积为，开水体积为， 设水杯中水的温度为，由题意， ∴， ∴当时． 解得： ②∵饮水适宜温度是， ∴， 解得． 25. 水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】最大宽度 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，构造直角三角形和矩形，根据勾股定理和三角函数可得出、、、的长度，最终即可求出最大宽度的长度． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： 根据题意，可知，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴． 26. 抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过定点． （1）当时，求该抛物线的解析式及顶点坐标； （2）设点、在该抛物线上，且（点在点右侧），，求证：； （3）已知点和是抛物线上的两点，若对于，且，都有，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式可得，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）可证明，根据，，得到，据此可证明结论； （3）分两种情况：当时，点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，要使，则要小于的最小值，根据离对称轴越远，函数值越小建立不等式求解即可；当时，点在对称轴上或在对称轴右侧，点在对称轴右侧，要使，则要小于的最小值，根据离对称轴越远，函数值越小建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴当时，， ∵该抛物线经过定点， ∴，即， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 证明：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即； ∵点、在该抛物线上， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点一定在对称轴右侧； ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 当时，则， ∴此时点在对称轴左侧， ∵对于，且，都有， ∴要小于的最小值， ∴点P到对称轴的距离要大于点Q到对称轴的最大距离， ∴， 解得； 当时，则， ∴此时点在对称轴右侧或在对称轴上 ∵对于，且，都有， ∴要小于的最小值， ∴， 解得； 综上所述，或． 27. 解答下列问题： （1）【教材再现】八年级上册《伴你学》第139页第26题有这样一个小问：如图1，在和中，，，将绕着点旋转，使得点落在边上，试探究线段，，之间的数量关系，并证明结论； （2）【纵向探变】在（1）基础上若已知，，求的长； （3）【理解内化】如图2，点在线段上，，，以点为直角顶点，作等腰，连接，，求当最小时，的最小值； （4）【实际应用】如图3，水晶公园有一块四边形空地．在，，上分别取点，，，使得，计划在四边形区域内种植观赏花卉．若已知，，，，，请直接写出种植这种花卉的最大面积． 【答案】（1），证明见解析 （2）的长度为或 （3）的最小值为 （4） 【解析】 【分析】（1）证明，即可证出； （2）先根据勾股定理求出，，设，则，根据勾股定理得，列出方程求解即可； （3）过点作，且，连接，证明，当点、、三点共线时，最小，延长，，交于点，由，当最小时，最小，然后根据等面积法求解； （4）如图，连接，，过点A作于点F，解直角三角形求出，，，延长到点，使，连接，证明出，得到，，表示出四边形的面积，当取得最小值时，四边形的面积取得最大值，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或，均满足题意， 即的长度为或． 【小问3详解】 解：过点作，且，连接，，如下图所示： 由（1）中证明方法，同理可得， ∴，， ∴， ∴当点、、三点共线时，取得最小值，即的长度 ∴， ∵， ∴， ∴时，最小， 如图，延长，，交于点，如下图所示： ∵， ∴当时，最小，此时最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【小问4详解】 解：如图，连接，，过点A作于点F ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图，延长到点，使，连接， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积 ， ∴当取得最小值时，四边形的面积取得最大值， ∵， ∴当时，最小，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $