精品解析：2025年江苏省连云港市东海县九年级中考一模数学卷

2025年中考第一次调研考试 数学试题 （请考生在答题卡上作答） 温馨提示： 1．本试卷共6页，27题．全卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数是的绝对值的是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值的是2025， 故选：C． 2. 公元2025年是我国农历乙已年，金蛇献瑞，蛇舞新春！下列年画图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：A． 3. 电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注．截止 年月日，电影的全球票房已突破 亿，将 亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解： 亿， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方，根据合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图， 是 的弦，连接，点在上（不与点重合），连接，若，则 的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ 的度数可能是 故选：D． 6. 共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ） A. 平均数小，方差大 B. 平均数小，方差小 C. 平均数大，方差小 D. 平均数大，方差大 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可． 【详解】解：人均收入平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求． 故选：C． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 7. 用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，若图2的面积比图1的面积大，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．在菱形中过点作 于点，设，则，然后分别用含的式子表示出菱形和正方形的面积，最后根据题意列方程即可求解． 【详解】解：如图，在菱形中过点作 于点， 设， ， ， 菱形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积比菱形的面积大， ， 解得：， 即菱形的边长为， 故选：D． 8. 我们知道，通过列表，描点，连线可以画出一个函数的图像．在画完函数的图像后，张老师给同学们提出一个问题：“不通过画图，你能解释为什么函数的图像经过第一、三象限吗？”．聪明的小亮经过思考，给出了这样的解答：“当时，，此时描出的点都在第一象限；当时，，此时描出的点都在第三象限．所以函数的图像一定经过第一、三象限”．大家不禁为善于思考的小亮鼓掌．最后张老师又给大家留了一道思考题：下面四个图像中是函数的图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，函数图象的识别，掌握函数关系中自变量与函数值的关系，二次根式的性质是关键． 根据二次根式的性质得到 ，随增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：函数中，， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴随增大而增大，增大速度缓慢，故只有C选项符合， 故选：C ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使分式有意义，则x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：若分式有意义，则， ∴， 故答案为：． 10. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 11. 写出一个比1小的无理数：______．（只写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的定义，理解无理数的定义是解题关键．只需要写出一个比1小的无理数即可． 【详解】解：比1小的无理数为 ， 故答案为： ． 12. 若无实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式是解题的关键． 根据一元二次方程无实数根得到 ，代入即可得出答案． 【详解】方程没有实数根， ， ， 故答案为：． 13. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点A、B、C都在格点上，那么 的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据所给网格，连接，利用勾股定理及逆定理得出与垂直，再结合正切的定义即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 设小正方形网格的边长为， 则由勾股定理得：，， ， ∴， ∴是直角三角形，且， 在中， ， 故答案为：． 14. 如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的公式，熟练掌握弧长公式：是解题的关键，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆弧所在圆的半径为 ，由弧长公式得： ， 解得：， 故答案为：． 15. 若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图像的交点问题、分式的化简求值，熟练掌握函数图像上的点的特征是解答的关键．将交点坐标代入两函数的解析式中得到 ，，代入分式中求解即可． 【详解】解：∵函数的图像与函数的图像相交于点， ∴ ，，即， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，在以为直径 中，弦 ，，点D是上一动点，以为一边在左侧作，使 ， ，连接 ，则 的最大值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】如图所示，延长到点F，使，连接 ，首先勾股定理求出，然后证明出，得到，求出，得到点E在以点F为圆心，4为半径的圆上运动，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长到点F，使，连接 ∵为直径 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点E在以点F为圆心，4为半径的圆上运动 ∴当点E在的延长线上时， 取得最大值 ∴此时． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了圆外一点到到圆上一点最值问题，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形． 三、解答题（本题共11小题，共102分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，有理数的混合运算，先计算乘方和负整数指数幂、除法运算，最后计算加减，即可求解． 【详解】解： ． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．求出第二个个不等式，然后得到不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式得： ， ∴不等式组的解集为：． 19. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：去分母得． 解得． 检验：当时． ∴是原方程的解． 20. 扫地机器人已经成为新时代人们日常生活的重要助手．为了解扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间情况，小明所在的综合实践小组利用周末时间开展调查活动．他们在相关技术人员的帮助下，对两款扫地机器人分别随机调查了10台，记录了它们运行的最长时间x（分钟），并将数据分为四个等级：较差，一般，较好，很好． 收集数据： A款：112 98 96 102 92 108 108 95 100 89 B款：102 92 102 99 97 112 101 91 94 110 分析数据： 类别 平均数 中位数 众数 方差 A a 99 b 50.6 B 100 c 102 35.4 解决问题：根据以上信息，解决下列问题： （1）上表中的______，______， ______； （2）某商场购进了一批B款扫地机器人500台，请估算这批B款扫地机器人运行最长时间等级为就“较好及以上”的台数； （3）根据以上统计信息和数据，你认为哪款扫地机器人的运行最长时间更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）100，108，100 （2）250台 （3） 款．理由：从抽样调查分析数据看： 、两款扫地机器人运行最长平均使用时间均为100分钟， 但从中位数比较，款优于款， 而且从方差看，款比款更稳定， 所以款更好一些． 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的确定方法求解即可； （2）用500乘以“较好及以上”的占比，即可求解； （3）根据中位数和方差作决策即可． 本题考查统计表，求平均数数、众数，利用中位数和众数作决策，部分估计总体，解题的关键是掌握相关知识． 【小问1详解】 A款扫地机器运行最长时间的平均数； ∵A款扫地机器运行最长时间中108分钟出现的次数最多 ∴众数； 将B款扫地机器运行最长时间从小到大排列后，中间的两个数为99，101 ∴中位数； 【小问2详解】 由题意得：（台）． 答：这批款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”的台数为250台． 【小问3详解】 略 21. 国产大模型 的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． （1）甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． 【小问1详解】 ∵共有4个主题， ∴甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是； 【小问2详解】 列表如下： 乙 甲 共有12中等可能结果，其中甲乙都没有选择“D．专家系统”的共有6种结果． 所以（甲乙都没有选择“．专家系统”）． 22. 如图，已知 ， ，与交于点M．过点C作 ，过点B作 ，与 交于点N． （1）求证： ； （2）已知 ，求的长． 【答案】（1） 证明：在与 中， ∵ ， ， ， ∴． （2）3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用 证明 ，即可作答． （2）先根据 得出 ，再结合平行线的性质得 ， ，则 ，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： 由（1）知 ． ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ． ∴ ． ∴ ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点，顶点，的坐标分别为，．正比例函数 （为常数，）的图像与线段交于点，与线段交于点．反比例函数（为常数，）的图像过点． （1）则点的坐标为______； （2）的取值范围是______；当点是中点时，则的值为______； （3）直接写出图中阴影部分的面积之和． 【答案】（1）； （2），； （3） ． 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中关于原点中心对称的点的坐标之间的关系求解即可； 分别求出正比例函数经过点和点时的的值，即可得到的取值范围；求出当点是中点时的坐标，利用待定系数法即可求出的 值； 根据中心对称图形的性质可得：阴影部分的面积是 的面积的，根据平行四边形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：关于原点中心对称， 点与点关于原点中心对称， 又点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当正比例函数 （为常数，）的图像经过点时， 可得：， 当正比例函数 （为常数，）的图像经过点时， 可得：， 解得：， ； 当点是中点时， 点的横坐标为， 点的坐标为， ， 解得：； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：点，的坐标分别为，，点的坐标为， ，点到的距离为， 又和正比例函数的图象都是关于原点的中心对称图形， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、平行四边形的性质、中心对称图形的性质，解决本题的关键是利用中心对称图形的性质求出点的坐标，再根据点的坐标求出阴影部分的面积． 24. 如图中，，平分交边于点D． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且 过A、D两点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）中作图基础上，求证：与 相切； （3）若 ，，求（1）中所作的 的半径． 【答案】（1）作图如图所示 （2）证明：因为平分， 所以． 又由（1）知： 经过、两点． 所以 ． 所以 ． 所以 ． 所以 ． 所以 ．即． 因为点在 上， 所以与 相切； （3） 【解析】 【分析】（1）作出线段的垂直平分线与相交即为点； （2）根据等边对等角结合角平分线证明 ，则 ，即可证明切线； （3）先由勾股定理得．设 的半径为 ，则由（1）知：，则，易证，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，， 所以 ． 设 的半径为 ，则由（1）知：． 所以． 由（2）知： ． 所以． 所以， 即， 解得． 所以 的半径为． 25. 美丽的西双湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段．数学综合实践小组利用课余时间对的长进行测量，采取如下方案：在岸边取一点，观察发现点在点的正北方．小组成员小丽从点处向正东方走了米达到处，此时测得点在北偏西 方向上，点在北偏西方向上． （1），两点间的距离为______米； （2）求的长．（参考数据：（，，，） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形： （1）根据，即可求解； （2）作于点，则 ，分别解和 ，即可得出结果． 【小问1详解】 解： 依题意， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：作于点，则 ． 由题意知：，， ． 则． 所以在中，． 即．所以． 在 中，．即． 所以．所以． 答：的长为60米． 26. 已知二次函数． （1）①该二次函数图像的顶点坐标为（______）（用含有字母b的代数式表示）； ②求证：该二次函数图像的顶点不在第三象限； （2）当时，该二次函数图像的对称轴为直线，的最大值与最小值的差为5，求m的值； （3）已知一次函数，若当时，总有请直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①； ②证明：由①知：顶点坐标为． 令 解这个不等式组得：该不等式无解． 即该二次函数图像的顶点不在第三象限； （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根的判别式，解一元一次不等式，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）把二次函数解析式配方为顶点式，即可解答； （2）先确定函数的对称轴和顶点坐标；然后结合自变量的取值范围分类讨论即可； （3）由在恒成立，到在恒成立，设，因其图象开口向上，要使 恒成立，只需和时值小于，分别计算时；时， 取两者交集，得出的取值范围． 【小问1详解】 在二次函数中，，， ．顶点横坐标 ；顶点纵坐标 ． ∴顶点坐标为 ． 故答案为：； ②略 【小问2详解】 由题意知：，解得 ． 所以二次函数的解析式为． 又， 所以当时，． 由题意知：当时，的最大值与最小值的差为5，且当时，． ①当时，随在增大而增大． 所以当时，，当时，． 即． 解得：，（不合题意，舍去）． ②当时，因为当时，．当时，． ．不符合题意． ③当时，，．不符合题意． 所以的值为1． 【小问3详解】 ∵当时，总有， ∴． ． 设， ∵ 在恒成立， ∴只需满足函数在区间端点和处的函数值都小于即可． 当时： 把代入， ． 要使 ，则，即 ． 分两种情况讨论： 当且时，即且，此时． 当且时，即且，这种情况无解． ∴． 当时： 把代入，得： 要使，则即 ． ∴ ∴的解集为 ． ∴的取值范围是． 27. 综合与实践： 【新知定义】如图1，若 ，，则 ．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若， ， ，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接 ，则 的长为______； （2）在图1中，连接 ，求证： ； 【变式应用】 （3）如图3，在中， ，，D为的中点，为一边在右侧作， ，，连接 ，求 的长； 【综合应用】 （4）如图4，若， ，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接 ．以为边构造矩形 ，连接．直接写出 面积的最大值及此时的长度． 【答案】（1）； （2）证明：如图， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴ ， ∴， ， ∴， ， ∴ ， （3）； （4）， 【解析】 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据互为“手拉手等形三角形”定义可得出， ，然后证明 ，根据相似三角形的性质求解即可； （2）类似（1）证明即可； （3）过B作于M，过D作 于N，根据，得出，证明，得出，则，证明，得出，代入数值求解即可； （4）类似（1）证明 ，得出， ，设，则，过A作 于M，过F作于N，则，，，，证明，可求出，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ， ，D为的中点 ∴ ，， ， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴ ， ∴， ， ∴， ， ∴ ， ∴，即， 解得，经检验符合题意； （2）略 （3）∵ ，，D为的中点， ∴， ， ∴， 过B作于M，过D作 于N， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意； （4）解：∵， ，， ∴ ，， ， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴ ， ∴， ， ∴， ， ∴ ， ∴， ， 设，则， 过A作 于M，过F作于N， ∴，，， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值为，此时， ∴ 面积的最大值为，此时的长度为． 【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，二次函数的性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考第一次调研考试 数学试题 （请考生在答题卡上作答） 温馨提示： 1．本试卷共6页，27题．全卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数是的绝对值的是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 公元2025年是我国农历乙已年，金蛇献瑞，蛇舞新春！下列年画图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注．截止 年月日，电影的全球票房已突破亿，将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图， 是的弦，连接，点在上（不与点重合），连接，若，则 的度数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ） A. 平均数小，方差大 B. 平均数小，方差小 C. 平均数大，方差小 D. 平均数大，方差大 7. 用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，若图2的面积比图1的面积大，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 8. 我们知道，通过列表，描点，连线可以画出一个函数的图像．在画完函数的图像后，张老师给同学们提出一个问题：“不通过画图，你能解释为什么函数的图像经过第一、三象限吗？”．聪明的小亮经过思考，给出了这样的解答：“当时，，此时描出的点都在第一象限；当时，，此时描出的点都在第三象限．所以函数的图像一定经过第一、三象限”．大家不禁为善于思考的小亮鼓掌．最后张老师又给大家留了一道思考题：下面四个图像中是函数的图像的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使分式有意义，则x的取值范围为________． 10. 因式分解：________． 11. 写出一个比1小的无理数：______．（只写出一个即可） 12. 若无实数根，则m的取值范围是______． 13. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点A、B、C都在格点上，那么 的值为______． 14. 如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为______厘米． 15. 若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为______． 16. 如图，在以为直径中，弦 ，，点D是上一动点，以为一边在左侧作，使 ， ，连接，则的最大值为______． 三、解答题（本题共11小题，共102分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． 18. 解不等式组． 19. 解方程． 20. 扫地机器人已经成为新时代人们日常生活的重要助手．为了解扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间情况，小明所在的综合实践小组利用周末时间开展调查活动．他们在相关技术人员的帮助下，对两款扫地机器人分别随机调查了10台，记录了它们运行的最长时间x（分钟），并将数据分为四个等级：较差，一般，较好，很好． 收集数据： A款：112 98 96 102 92 108 108 95 100 89 B款：102 92 102 99 97 112 101 91 94 110 分析数据： 类别 平均数 中位数 众数 方差 A a 99 b 50.6 B 100 c 102 35.4 解决问题：根据以上信息，解决下列问题： （1）上表中的______，______， ______； （2）某商场购进了一批B款扫地机器人500台，请估算这批B款扫地机器人运行最长时间等级为就“较好及以上”的台数； （3）根据以上统计信息和数据，你认为哪款扫地机器人的运行最长时间更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 21. 国产大模型 的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． （1）甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率． 22. 如图，已知 ， ，与 交于点M．过点C作 ，过点B作 ，与 交于点N． （1）求证： ； （2）已知 ，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点，顶点，的坐标分别为，．正比例函数 （为常数，）的图像与线段交于点，与线段交于点．反比例函数（为常数，）的图像过点． （1）则点的坐标为______； （2）的取值范围是______；当点是中点时，则的值为______； （3）直接写出图中阴影部分的面积之和． 24. 如图中，，平分交 边于点D． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且过A、D两点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）中作图基础上，求证： 与相切； （3）若 ，，求（1）中所作的的半径． 25. 美丽的西双湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段．数学综合实践小组利用课余时间对的长进行测量，采取如下方案：在岸边取一点，观察发现点在点的正北方．小组成员小丽从点处向正东方走了米达到处，此时测得点在北偏西 方向上，点在北偏西方向上． （1），两点间的距离为______米； （2）求的长．（参考数据：（，，，） 26. 已知二次函数． （1）①该二次函数图像的顶点坐标为（______）（用含有字母b的代数式表示）； ②求证：该二次函数图像的顶点不在第三象限； （2）当时，该二次函数图像的对称轴为直线，的最大值与最小值的差为5，求m的值； （3）已知一次函数，若当时，总有请直接写出b的取值范围． 27. 综合与实践： 【新知定义】如图1，若 ，，则 ．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若， ， ，D为 的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______； （2）在图1中，连接 ，求证： ； 【变式应用】 （3）如图3，在中， ，，D为 的中点，为一边在右侧作， ，，连接，求的长； 【综合应用】 （4）如图4，若， ，，若D点在线段 上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形 ，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $