精品解析：新疆喀什地区2026届高三下学期适应性检测（一）数学试题

喀什地区2026年适应性检测（一） 高三数学试题 （卷面分值：150分；考试时长：120分钟） 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填在答题纸规定的位置上. 2.答题时，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全集和集合可求出，再由交集运算性质即可求解. 【详解】由题意得，，又则， 因为，所以， 故选：A. 2. 复数（为虚数单位）的虚部是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法可得后，从而可得其虚部. 【详解】，所以复数的虚部是.故选A. 【点睛】本题考查复数的除法及其复数的概念，注意复数的虚部是，不是，这是复数概念中的易错题. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 4. 五人排队，站成一排，其中甲、乙相邻，则所有的排队方法数为（ ） A. 120 B. 48 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】甲、乙相邻，则将两人捆绑在一起，有种， 再把两人看成一个，与剩余同学排列，共 种， 故总的排法有2×24=48种. 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为， ，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理面积公式和余弦定理求解即可. 【详解】因为的面积为， ， 所以，即. 所以， 所以. 故选：D. 6. 若数列满足（且），则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用递推数列的性质，找到数列的周期，求出即可. 【详解】因为且， 所以， 所以数列具有周期性，且，所以. 故选：A. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得可知b、c的大小，再结合指对数的性质可知a、c的大小. 【详解】，即 ， ∵， ∴综上，. 故选：B 8. 函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，结合图象对选项逐一分析即可得解. 【详解】对于A，当时，，则， 易得在上单调递减，且， 当时，，则， 易得在上单调递增，且，即， 当时，， 则由正弦函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 且，，，，， 从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示， 因为方程有四个不等的实根，所以与 的图像有四个交点， 所以，故A错误； 对于B，结合选项A中分析可得， 所以，则 ，故B错误； 对于C，由正弦函数的性质结合图像可知与关于 对称， 所以，故C正确； 对于D，当时，， 令，得，所以，， 又由图像可知同增同减，所以，故D错误. 故选：C． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断有以下方法， （1）直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列 的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等比数列的基本量运算判断A，利用等比数列前n项和公式判断B，利用等比数列的性质判断C，利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，则 ，故A正确； 对于B，由，可得，解得 ， 由等比数列前 项和公式得， 得到，故B正确； 对于C，由等比数列性质得，，成等比数列， 且，，得到， 即，故C错误； 对于D，由等比数列性质得， 则，故D错误. 故选：AB． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9 B. 若，，且，则C，D相互独立 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，9的方差为20 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项利用上四分位数的计算方法进行计算；B选项利用对立事件及条件概率公式进行检验；C 选项利用正态分布中的意义进行解释；D选项利用方差公式进行计算. 【详解】对于A选项，将数据从小到大排列为3，4，6，7，8，9，10，11，共8个数， 则，则上四分位数为，故A错误； 对于B选项，，， 由条件概率公式得，得到， 即C，D相互独立，故B正确； 对于C 选项，，， 由对称性可知在的概率等于在的概率的2倍， 当越大，数据越离散，其概率越小，故C错误； 对于D选项，由样本数据，，，，的平均数为4， 得，，，，，4的平均数为4， 由，，，，的平均数为22，得， 因此，，，，，4的方差为， ，，，，，9的方差为，故D正确. 故选：BD. 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的最小值是0 C. 若对任意实数，不等式恒成立，则 D. ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接验证A选项即可；求得，利用换元法求得的最小值判断B选项；分析函数的单调性与奇偶性，将不等式恒成立转化为在上恒成立，然后按照 和 分类讨论求解范围判断C选项；当时，由化简得出，由此可判断D选项. 【详解】对于A， ，所以，正确； 对于B， ， 令，当且仅当即时等号成立， 则，因为在上单调递增， 故时，有最小值为， 即函数的最小值是0，正确； 对于C，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 不等式在上恒成立， 则， 函数为上的增函数，故在上恒成立， 即在上恒成立，当 时，即，不合题意； 当 时，由题意，解得，综上，错误； 对于D，， 当时，由整理可得， 即，故，正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与的夹角为，且，，则______. 【答案】10 【解析】 【分析】先由模的坐标运算求出，然后根据向量数量积的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 又，向量与的夹角为， 所以. 故答案为：10 13. 的展开式中含的项为____. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：将三项展开式变为，根据和展开式的通项乘积可求得结果；解法二：直接根据组合数公式计算多项式的系数可得. 【详解】方法一:因为， 二项式展开式的通项为， 二项式展开式的通项为， 所以多项式展开式的通项为， 令，得，且， 所以或或或或. ①当时，的展开式中含的项为； ②当时，的展开式中含的项为， ③当时，的展开式中含的项为； ④当时，的展开式中含的项为； ⑤当时，的展开式中含的项为. 综上，得的展开式中含的项为. 方法二：可看成6个相乘， 的展开式中含的项有以下三种情况： ① 个多项式取，个多项式取乘积得到，即； ②个多项式取，个多项式取， 个多项式取乘积得到， 即； ③个多项式取， 个多项式取乘积得到， 即； 综上所述，的展开式中含的项为. 14. 已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据条件作出图形，根据几何意义，求球的半径，即可求解体积. 【详解】如图，四棱锥， 平面 ，四点共线， 点是的中点，连结，切点在上， 由题意可知，正四面体的棱长为12，所以，， 则， 设球的半径为，根据体积公式可知，， 解得：， 设球的半径为， ，即，得， 解得：， 球的体积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求函数的值域； 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式化简，再用公式求周期；利用复合函数的单调性求单调增区间. （2）求出的范围，再结合正弦函数的图象即可求出该函数的值域. 【小问1详解】 ，所以 ，解得， 所以的单调递增区间是 【小问2详解】 若则当时取得最小值，当时取得最大值，所以，，故函数的值域为. 16. 如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，，四边形是矩形，平面平面， ，和分别是和的中点． （Ⅰ）求证：平面平面 ； （Ⅱ）求二面角的大小． 【答案】（Ⅰ）证明：在中，因为 分别是的中点， 所以，又因为平面 ，平面 ， 所以 平面 ．设，连接， 因为为菱形，所以为中点 在中，因为，， 所以， 又因为平面 ，平面 ， 所以平面 ．又因为，平面， 所以平面平面 ． （Ⅱ）． 【解析】 【分析】第一问根据三角形的中位线找到平行线，利用面面平行的判定定理，在其中一个平面内找到和另一个平面平行的两条相交直线，证得结果，第二问先在几何体中找到共点的相互垂直的三条直线，建立相应的空间直角坐标系，求得面的法向量，利用面的法向量所成的角的余弦值判断求得二面角的余弦值，结合二面角的取值范围，求得二面角的大小． 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形， 分别为的中点， 所以，因为平面平面，所以平面， 所以平面，因为为菱形，所以 ，得两两垂直． 所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系． 因为底面是边长为的菱形， ，，所以，，，，，．所以，．设平面的法向量为，则．令，得． 由平面，得平面的法向量为，则 所以二面角的大小为． 17. 已知椭圆C的焦点为(，0)，(，0)，且椭圆C过点M(4，1)，直线l：不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形． 【答案】（1） （2）将代入并整理得， 则，. ∵直线：与椭圆交于不同的两点，，∴ ，解得， ∴直线，的斜率存在且不为零. 设直线，的斜率分别为和，只要证明. 设 ， ， . 故原命题成立. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义先求出2a的值，可得出的值，再利用a、b、c之间的关系求出b的值，从而得出椭圆C的标准方程； （2）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及韦达定理计算出直线MA、MB的斜率互为相反数来证明结论成立． 【详解】（1）设椭圆的方程为 ，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）略 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 18. 已知函数 ， ． （1）当时， ①证明：时， ； ②求函数的极值点个数； （2）两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切线”．若曲线与曲线 存在两条互相垂直的“合一切线”，求、 的值． 【答案】（1）①当 时， ， 当时，则 ，当且仅当 时，等号成立， 故函数在上为增函数， 故当时， ，故原不等式得证； ②一个. （2） ， 【解析】 【分析】（1）①当 时，可得出 ，利用导数分析函数在上的单调性，即可证得结论成立； ②求导得 ，由此可得当时，，结合 即可得证. （2）由题意设曲线 与曲线 的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为、，其斜率分别为、，则.再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解. 【小问1详解】 ①略 ②由题意可得 ， 所以 ，且 . 当时， . 因为 ， ，所以. 因为 对任意 恒成立， 所以当时，，所以 是的唯一极值点. 【小问2详解】 由题意可得 ，则 ， 设曲线 与曲线 的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为、， 其斜率分别为、，则. 因为 ，所以 ，所以 . 不妨设，则 . 因为， 由“合一切线”的定义可知. 所以 . 由“合一切线”的定义可知，所以 . 当， ， 时，取，， 则 ， ， ， ，符合题意. 所以 ， . 19. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， 取球结果 2个红球 2个黑球 红､黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 （1）消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； （2）若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第 个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件. （i）求和； （ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 【答案】（1）150元 （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式求出各可能取值的概率，利用期望公式计算可得； （2）（i）利用独立事件的概率乘法公式和条件概率公式求解可得；（ii）根据相互独立事件的概率乘法公式求出，然后利用全概率公式，结合等比数列求和公式可得. 【小问1详解】 设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为. . 则的分布列为 100 200 300 P 故（元）. 【小问2详解】 （i）， ， 因为， 所以 （ii）第个顾客获得第1份幸运礼品，第 个顾客获得第2份幸运礼品的概率为： ， 因为， 所以第 个顾客获得第2份幸运礼品的概率为： ， 所以第 个抽幸运奖顾客获得第二份幸运礼品的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 喀什地区2026年适应性检测（一） 高三数学试题 （卷面分值：150分；考试时长：120分钟） 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填在答题纸规定的位置上. 2.答题时，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）的虚部是 A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 五人排队，站成一排，其中甲、乙相邻，则所有的排队方法数为（ ） A. 120 B. 48 C. 24 D. 12 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为， ，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6. 若数列满足（且），则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 取值范围为 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列 的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9 B. 若，，且，则C，D相互独立 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，9的方差为20 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的最小值是0 C. 若对任意实数，不等式恒成立，则 D. ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与的夹角为，且，，则______. 13. 的展开式中含的项为____. 14. 已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求函数的值域； 16. 如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，，四边形是矩形，平面平面， ，和分别是和的中点． （Ⅰ）求证：平面平面 ； （Ⅱ）求二面角的大小． 17. 已知椭圆C的焦点为(，0)，(，0)，且椭圆C过点M(4，1)，直线l：不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形． 18. 已知函数 ， ． （1）当时， ①证明：时， ； ②求函数的极值点个数； （2）两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切线”．若曲线与曲线 存在两条互相垂直的“合一切线”，求、的值． 19. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， 取球结果 2个红球 2个黑球 红､黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 （1）消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； （2）若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第 个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件. （i）求和； （ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $