精品解析：甘肃平凉市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段性考试数学试题

平凉一中2027届高二级第二学期第一次阶段性考试数学试题 命题教师：魏绮芸 审题教师：柳曦 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】 ，即 . 3. 设为实数，若函数在处取得极小值，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据极值点求出的值，然后根据极值的概念检验即得． 【详解】由题可得， 令，解得；或 ， 因为函数在处取得极小值， 所以 ，即， 当时，，或， 所以函数在上单调递减，在 上单调递增，满足题意. 故选：B. 4. 等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】因为为等比数列，所以，解得 或 ， 因为等比数列，所以， 则，所以 ，设公比为，则， 所以． 5. 如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 又因为 分别是棱的中点，所以. 6. 给出下列说法，其中不正确的是（ ） A. 若,则,与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量 B. 若,则A，B，C，D四点共面 C. 在空间直角坐标系中，关于x轴的对称点为点，若点关于Oxz平面的对称点为点，则 D. 若平面，的法向量分别为，，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间的基底概念判断A项，利用共面向量基本定理判断B项，利用空间坐标系中的点关于轴和坐标平面的对称点特征，以及空间两点之间距离公式计算判断C项，根据两平面垂直的向量表示列式计算即可判断D项. 【详解】对于A，因，则，与空间中其它任何向量都是共面向量，故不能构成空间的一个基底，即A正确，不合题意； 对于B，因，因，由共面向量基本定理可知A，B，C，D四点不共面，故B符合题意； 对于C，关于x轴的对称点为点，点关于Oxz平面的对称点为点，故，故C正确，不合题意； 对于D，由可得，解得，故D正确，不合题意. 故选：B. 7. 已知函数（）的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定函数的解析式，再利用正弦函数单调性求解即可. 【详解】由题可得，令， 整理得，结合，得时，. 此时. ， 令，解得， 当时，的一个单调递增区间为. 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当 时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间，上单调递增 B. 是的极小值点 C. 在区间上单调递减 D. 是的极小值点 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由导函数图象得到的单调性，进而得到极值点情况，从而可得结果. 【详解】由图象知，当和时， ，所以函数在，上单调递增，故A正确； 当时 ，所以函数在区间上单调递减，故C正确； 当和时， ，当时 ，所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，是的极大值点，故B正确，D错误． 故选：ABC. 10. 已知空间向量，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据数量积、模、平行、垂直的坐标逐一运算. 【详解】由题意得，，故A错误； ，则，故B错误； 因为，所以，得，故C正确； 由题意得，，则，得，故D正确. 故选：CD 11. 设函数，则（ ） A. B. 当 时，存在，使得 C. 当时， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出的范围，再分段讨论判断A；求出函数在 时的值域判断B；构造函数并利用导数确定单调性判断C；令有两个解为，利用导数证明判断D. 【详解】对于A，设， 的定义域为 ， 当 时，易得，则此时 ， 当时，易得，则此时 ， 当时，， 综上，，故A正确； 对于B，函数，求导得，当 时， ， 函数在上单调递减，，，故不存在，使得，B错误； 对于C，令，求导得， 由，得，则， 由，得，因此， 函数在 上单调递增，，即，C正确； 对于D，由上可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则有，且当时， ，当时，， 如图： 若有两个解，则有， 即，即，，即， 则，即， 且有，即， 因为，不妨设， 则，即在上递增， 所以 ，即在上，， 令，则有， 即， 两边同时除以正数得，即， 因为，则有， 因为，则有，即，即， 所以当时，有，即，又因为，则有， 因为在 上单调递增，且， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 向量在向量上的投影的模为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义与向量的模的坐标公式计算即得. 【详解】向量在向量上的投影向量为 ， 则投影的模为. 13. 已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用四点共面的向量性质得到的约束条件，再通过1的代换变形目标式，结合基本不等式求出最小值. 【详解】根据共面向量定理的推论，因为四点共面，不在该平面上，满足， 所以，即， 所以， 因为 当且仅当​，即​时等号成立， 代入得， 故的最小值为. 【点睛】本题考查共面向量定理的推论和基本不等式求最值，核心是利用共面向量的系数和性质得到定值约束，再用"1的代换"技巧将目标式转化为可应用基本不等式的形式. 14. 已知函数的定义域为，，，若，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，求导，利用导数确定函数的单调性，再根据单调性解不等式即可． 【详解】解：，， 令，， 在上单调递增，又， 当时， ，即，函数单调递减， 当时，，即，函数单调递增， ，解得， 令，，解得 ， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ，， 又函数在上单调递增，， ，又，即， 令，， 在上单调递增，又， 的解为， 故不等式的解为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角三角形，已知 ，且满足条件． （1）求的大小； （2）求面积的最大值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求的大小. （2）利用基本不等式，结合三角形的面积公式，可求面积的最大值. 【小问1详解】 由 . 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. 【小问2详解】 由 ， 得， 所以 （当且仅当 ，即为等边三角形时取等号）. 所以. 所以面积的最大值为. 16. 如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面 底面． （1）证明：； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接 ， 因为平面 底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则 ，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． 【小问2详解】 取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以 平面． 因为平面， 所以平面平面． 17. 设函数． （1）若曲线在点处的切线斜率为0，求的值并求的单调区间和极值； （2）若 在上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1） ；单调减区间为，单调增区间为，极小值；无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求得的值，再利用导数与单调性以及极值的关系即可求解； （2）将 在上单调递减转化为 恒成立，分离参数，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由题可得， 因为曲线在点处的切线斜率为0，所以，解得 ； 知，令，解得 由，解得 ，由，解得 ， 所以的单调减区间为，单调增区间为， 当 时，取得极小值，易知无极大值； 【小问2详解】 由在上单调递减， 即在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 令，易知在上单调递增，在上单调递减， 则，所以，即的取值范围为． 18. 已知椭圆： 过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆过得，再利用得，即可写出椭圆方程； （2）设直线方程并联立方程组，用韦达定理结合斜率之和的条件求出斜率，再用弦长和距离公式即可求出面积. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以，即 ， 又因为以长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且，即， 所以，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，设过点的直线的方程为，设 ， 联立方程组，代入化简得：， 由韦达定理：， 又因为直线的斜率为：，直线的斜率为：， 且 所以， 解得，此时直线：， 方程变为， 判别式满足题意，且， 此时弦长， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 19. 对任意无穷数列，定义从起连续k项的和 为：，其中k，i为任意正整数．若无穷数列满足：对任意和，存在 ，使得 ，则称数列具有性质T． （1）设，其中．判断数列是否具有性质T？说明理由； （2）已知数列具有性质T， （i）求集合中元素个数的最大值； （ii）证明：存在正整数t，对任意，有． 【答案】（1）具有，理由如下： 数列具有性质． 理由如下：数列满足 ，其中 ， 即是周期为4的周期数列． 所以对任意和，当 时， ． 故数列具有性质． （2）（i）4；（ii）考察由连续4项构成的数组 ， 由（i）知的取值不超过4个，故这样的数组个数不超过 ． 所以在 这257个数组中至少存在两个相同的， 即存在，，满足 ，其中 ． 以下证明：若 ，则 ，即证． 由性质，知存在 ，使得． ①若 ，即 时，去掉上述等式两边的公共项，得 若 ，上式即为． 若 ，由 ，知，所以． ②若 ，因为 ，所以 ． 当 时，由 ，得， 记其值为，由性质知，在其后四项出现，所以； 当 时，由 ，得， 分别记其值为，，由性质，知 ，所以； 同理，得当 时，均有． 综上，可推导出． 从而由 ，得，即得 ， 进而得到 ， 所以存在正整数，对任意 ，有． 【解析】 【分析】（1）首先分析数列为周期数列，再根据性质的定义即可判断； （2）（i）分别取取 和 ，再利用反证法即可证明； （ii）利用（i）中的结论证明得存在，，满足 ，其中 ，再分 和 时证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取 ，由性质得：存在 ，使得． 同理，取 ，由性质得：存在 ，使得. 以此类推，得数列 中任意连续4项中，必有一项的值等于． 同理，得对于数列中的每一项之后的任意连续4项中，必有一项的值等于． 假设 的取值超过4个，不妨设有5个值不同的项 ， 由上述结论，知在之后的连续4项中，这5个不同值都会出现，这是不可能的． 所以 中至多只有4个不同的取值． 又因为周期数列： 具有性质， 所以集合 中元素个数的最大值为4． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2027届高二级第二学期第一次阶段性考试数学试题 命题教师：魏绮芸 审题教师：柳曦 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 3. 设为实数，若函数在处取得极小值，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 4. 等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 给出下列说法，其中不正确的是（ ） A. 若,则,与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量 B. 若,则A，B，C，D四点共面 C. 在空间直角坐标系中，关于x轴的对称点为点，若点关于Oxz平面的对称点为点，则 D. 若平面，的法向量分别为，，且，则 7. 已知函数（）的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间，上单调递增 B. 是的极小值点 C. 在区间上单调递减 D. 是的极小值点 10. 已知空间向量，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 11. 设函数，则（ ） A. B. 当 时，存在，使得 C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 向量在向量上的投影的模为___________. 13. 已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 14. 已知函数的定义域为，，，若，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角三角形，已知 ，且满足条件． （1）求的大小； （2）求面积的最大值； 16. 如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面 底面． （1）证明：； （2）证明：平面平面． 17. 设函数． （1）若曲线在点处的切线斜率为0，求的值并求的单调区间和极值； （2）若 在上单调递减，求的取值范围． 18. 已知椭圆： 过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 19. 对任意无穷数列，定义从起连续k项的和 为：，其中k，i为任意正整数．若无穷数列满足：对任意和，存在 ，使得 ，则称数列具有性质T． （1）设，其中．判断数列是否具有性质T？说明理由； （2）已知数列具有性质T， （i）求集合中元素个数的最大值； （ii）证明：存在正整数t，对任意，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $