专题7二元一次方程组的压轴题（12大压轴题型）期中复习专项训练2025-2026学年七年级数学下学期人教版

专题7 二元一次方程组的压轴题（12大压轴题型）题型导览 【题型1】含参二元一次方程组 【题型2】整数解问题 【题型3】错解问题 【题型4】同解问题 【题型5】新定义问题 【题型6】方案选择问题 【题型7】行程问题 【题型8】销售利润问题 【题型9】工程问题 【题型10】配套问题 【题型11】几何问题 【题型12】特殊解问题 题型汇总 【题型1】含参二元一次方程组 1．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）若方程组的解为，则被“◯”和“■”遮挡的两个数分别是（  ） A．7，9 B．9，7 C．1， D．，1 3．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）芳芳解方程组的解为，由于不小心，两滴墨水遮住了两个数和⊙，则与⊙表示的数分别是（   ） A．6，1 B．， C．，1 D．6， 【题型2】整数解问题 5．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态． (1)若，求天平处于平衡状态时x的值； (2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值； (3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解． 6．（23-24七年级下·福建泉州·期中）综合与实践 【问题情境】 我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ． 【实践探究】 但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下： 由，得 ∵x，y是正整数， 也是正整数， ∴可用观察法，得 ② ； ∴原方程的正整数解为：③ ． 阅读以上材料，解决下列问题： (1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容； (2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数． 7．（24-25七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 8．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【题型3】错解问题 9．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 10．（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 11．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 12．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 【题型4】同解问题 13．（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解． 14．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 15．（25-26七年级下·四川内江·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 16．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 【题型5】新定义问题 17．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 18．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 19．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 20．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【题型6】方案选择问题 21．（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 22．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表： A型（台） B型（台） 总进价（元） 第一次 20 30 90000 第二次 10 20 55000 (1)求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？ (2)已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？ (3)在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？ 23．（2026·河南周口·一模）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 195 2 1 165 (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)若某公司恰好用450万元购进两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案． 24．（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 作为深圳建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，坪山区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从坪山区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． 任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【题型7】行程问题 25．（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 26．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 27．（2025九年级·广西·专题练习）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 28．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）2024年10月，第三届北斗规模应用国际峰会在湖南株洲举行，我校为了着眼于培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在峰会结束后举行了前往北斗峰会场馆的研学活动，峰会场馆门票价格如下表： 购票人数/人 1600以上 每人门票价/元 58 50 48 学校计划七年级分成两批1-16班，17-32班去游览该场馆，其中1-16班的人数少于800人，如果第一批只单独购买本批次学生门票，则需支付46284元：如果两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费77088元， (1)两个批次各去了多少人？ (2)研学活动的下午前往了悠移劳动教育实践基地，为了培养学习团队合作和了解中国传统文化，举行了划龙舟的活动．在过程之中龙舟划到尽头就调转船头（调头时间忽略不计），返回起点码头，我们把龙舟看做一个点整个过程总共划行了，龙舟在其间航行，顺水航行用了，逆水航行用了，求龙舟在静水中的速度和水流速度分别是多少？（此问需利用方程解答） 【题型8】销售利润问题 29．（24-25七年级下·山东烟台·期中）学校组织学生举行“数学创新技能大赛”，该学校拟购进A、B两种品牌的计算器作为本次大赛奖品．已知某商店购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元． (1)请你计算一下该商店A、B两种品牌计算器每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌计算器定价为180元/台，B种品牌计算器定价为250元/台，该商店拟用1000元购进这两种计算器（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种计算器后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 30．（2026·安徽合肥·一模）在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶冲上云霄 24 20 31．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有“细、圆、光、直、多白毫、香高、味浓、汤色绿”的独特风格，被誉为“绿茶之王”．固始皇姑山茶是全国农产品地理标志产品，干茶条索紧秀圆直，汤色柳芽黄清澈，具兰花香气，鲜爽回甘，种植历史超2300年．河南某茶叶经销商要购进“信阳毛尖”和“固始皇姑山茶”进行销售，已知购进3份信阳毛尖与2份固始皇姑山茶共需要280元，购进2份信阳毛尖与3份固始皇姑山茶共需要270元，求每份信阳毛尖和每份固始皇姑山茶的价格 32．（25-26九年级下·安徽滁州·月考）某水果店2025年第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度两种水果的销售额均有增长，其中苹果销售额增长了15%，橙子销售额增长了20%． 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 8000 第二季度 ______ ______ ______ (1)设2025年第一季度苹果销售额为元，橙子销售额为元，请用含，的代数式填表： (2)已知第二季度总销售额比第一季度增加了1400元，求第二季度苹果和橙子的销售额分别是多少元？ 【题型9】工程问题 33．（2026年湖南省长沙市初中学业水平考试模拟试卷数学（四））某企业承接了17000件文创产品生产订单，计划安排甲、乙两个车间共30名工人利用现有设备合作生产20天完成．已知甲车间每人每天能生产25件，乙车间每人每天能生产30件． (1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ (2)为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：方案一：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高，乙车间维持不变．方案二：乙车间再临时招聘5名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输费1600元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 34．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 35．（25-26八年级上·陕西西安·月考）某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 36．（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【题型10】配套问题 37．（25-26七年级上·全国·期末）一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 38．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 39．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 40．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【题型11】几何问题 41．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 42．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 43．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 44．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究制作无盖纸盒的方案 素材1 将边长为的大正方形纸板按图1所示的两种方法裁剪：甲方法裁剪出5个小长方形纸板和1个小正方形纸板；乙方法剪4个小长方形和4个小正方形纸板（假设裁剪时损耗忽略不计）． 素材2 将以上裁剪的纸板制作成横式无盖的纸盒，如图2所示，它由3个小长方形纸板和2个小正方形纸板搭成． 问题解决 任务1 纸盒大小 计算该横式无盖纸盒的体积． 任务2 再次拼搭 现有3张大正方形纸板，将它们裁剪、拼搭，则它们最多能搭几个横式无盖纸盒． 任务3 深入探究 现有22张大正方形纸板和张小正方形纸板，将大正方形纸板裁剪，裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，求出的最小值，并写出裁剪方案． 【题型12】特殊解问题 45．（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 46．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________． 47．（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以，③ ③14，得，④ ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组的解是___________； (3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出． 48．（25-26七年级下·山东东营·月考）本册教材页中，我们曾探究过二元一次方程组的换元法：简单说：把方程组里某一个复杂的式子，用一个新字母代替，让方程变简单，再解．本质就是“简化式子”，再变回原来的未知数． (1)【知识累计】解方程组； (2)【拓展提高】运用换元法可以解下列方程组： 解方程组 解：设，原方程组可变为 由（1）中的解可得新方程组__________，解得_________， (3)【能力运用】已知关于x，y的方程组的解为， 求关于m、n的方程组的解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7 二元一次方程组的压轴题（12大压轴题型） 题型导览 【题型1】含参二元一次方程组 【题型2】整数解问题 【题型3】错解问题 【题型4】同解问题 【题型5】新定义问题 【题型6】方案选择问题 【题型7】行程问题 【题型8】销售利润问题 【题型9】工程问题 【题型10】配套问题 【题型11】几何问题 【题型12】特殊解问题 题型汇总 【题型1】含参二元一次方程组 1．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 【答案】A 【详解】解：设●，※两处分别代表的是，， ∵， ∴， 解得． 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）若方程组的解为，则被“◯”和“■”遮挡的两个数分别是（  ） A．7，9 B．9，7 C．1， D．，1 【答案】A 【分析】先将x代入完整的方程求出y，得到■的值，再将x和y代入第一个方程求出○的值，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入，得， 解得：，即， 再将代入，得， ∴被遮挡的两个数分别是和． 3．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）芳芳解方程组的解为，由于不小心，两滴墨水遮住了两个数和⊙，则与⊙表示的数分别是（   ） A．6，1 B．， C．，1 D．6， 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 将已知解代入方程求出，再代入求即可求解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴将代入中，得：， 解得，即； 将，代入，得， ∴， 故选：A． 【题型2】整数解问题 5．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态． (1)若，求天平处于平衡状态时x的值； (2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值； (3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解． 【答案】(1) (2) (3)每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解此题的关键． （1）由题意可得，代入计算即可得解； （2）通过题意得，整理可得，结合、为正整数，求解即可； （3）设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元，通过题意得，整理可得，结合a和b都是正整数，求解即可． 【详解】（1）解：当天平平衡时，则：， 即：， 当时，得：， 解得：； （2）解：通过题意，得：， 整理可得：， ∵、为正整数， ∴， ∴天平处于平衡状态下的x，y的正整数值是． （3）解：设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元， 通过题意，得：， 整理可得：， ∵a和b都是正整数， ∴或， 故每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元． 6．（23-24七年级下·福建泉州·期中）综合与实践 【问题情境】 我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ． 【实践探究】 但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下： 由，得 ∵x，y是正整数， 也是正整数， ∴可用观察法，得 ② ； ∴原方程的正整数解为：③ ． 阅读以上材料，解决下列问题： (1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容； (2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数． 【答案】(1)；3或10； 或 (2)17 【分析】本题主要考查了解二元一次方程： （1）①处求出方程的正整数解即可；②处满足是正整数，且要满足是正整数，据此可求出③处的答案； （2）设这个正整数为m，（k为正整数），则，再由m与23的差是6的倍数，可设，据此可得，再保证是整数的前提下也要保证，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，且x、y都是正整数， ∴； ∵是正整数， ∴当时，， 当时，； 当时，，不符合题意； ∴原方程的正整数解为： 或； 故答案为：；3或10； 或 （2）解：设这个正整数为m，（k为正整数）， ∴， ∵m与23的差是6的倍数， ∴可设， ∴， ∴是整数，且要保证， ∴当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； ∵k随n增大而增大，m随k增大而增大， ∴m的最小值即为17． 7．（24-25七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)11 (2) (3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案； （2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可； （3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴是3的倍数，且为非负数， ∴是3的倍数， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x为正整数， ∴为正整数， ∴是2的倍数，且y为正整数， ∴当时，， ∴原方程的正整数解为； （3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段， 由题意得，， ∴， ∵b为正整数， ∴为正整数， ∴a是4的倍数，且a为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子． 8．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1) (2)4 (3)有两种购买方案：方案一：购买8本笔记本和5支钢笔；方案二：购买1本笔记本和10支钢笔 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解材料提示的计算方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意，是的倍数，则可以取的值有，由此代入计算即可； （3）设购买本笔记本，支钢笔，由此列二元一次方程组，结合材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得，， ∵是正整数， ∴是的倍数， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴方程的正整数解为； （2）解：∵为自然数，且，是的倍数， ∴， 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； ∴满足条件的整数有4个， 故答案为：4； （3）解：设购买本笔记本，支钢笔， ∴， ， 又均为正整数， 为5的正整数倍数， 或， 故有如下两种购买方案： 方案一：购买8本笔记本和5支钢笔； 方案二：购买1本笔记本和10支钢笔． 【题型3】错解问题 9．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1），代入，解方程组可求出和的值，把，代入即可求出的值； （2）根据，，，得出原方程组为，再利用加减消元法求解即可； （3）根据的解为得出，解方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲把方程组中的看成了， ∴是方程组的解， ∴， 解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴， 解得：． （2）解：∵，，， ∴原方程组为， ①+②得，， 解得：， 把代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为． （3）解：把，，代入得，， ∵的解为， ∴， 解得：． 10．（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解复原问题，掌握方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 利用看错某方程系数时，所得解仍满足未看错的方程，分别将甲、乙的解代入对应未看错的方程，即可求解、． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的， ∴甲所得的解符合方程②，把代入方程②，得 ，解得； ∵乙看错了方程②中的， ∴乙所得的解符合方程①，把代入方程①，得 ，解得； ∴，． 11．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 12．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，分别把方程组的解代入没有看错的方程中，即可求出的值，然后再把的值代入代数式中计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入方程组中的得：，解得， 将代入方程组中的得：，解得， 当，时， ∴ ． 【题型4】同解问题 13．（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解． 【答案】，，方程组的解为 【分析】根据两个方程组解相同，将不含、的方程联立求出、的值，再将、的值代入其余两个方程即可求出、的值． 【详解】解：根据题意，得， 由得，， 将代入得，， 解得， 将代入得，， 方程组的解为， 把代入方程组， 可得， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ，，方程组的解为． 14．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）两个方程组有相同的解，因此该相同解同时满足两个只含x，y的方程，先求出x，y的值，再代入含m，n的方程求出m，n，即可计算得到的值； （2）甲看错a得到的解满足正确的方程②，乙看错b得到的解满足正确的方程①，分别代入求出正确的a，b，再解原方程组即可得到正确解． 【详解】（1）解：∵两个方程组有相同的解， ∴x、y满足方程组，解得， 将，代入， 得，解得， ∴． （2）解：将代入方程②，得：，解得， 将代入方程①，得：，解得， 把，代入原方程组，得到， 解得， ∴原方程组的正确解为． 15．（25-26七年级下·四川内江·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得x、y是方程组的解，解方程组求出x、y的值，进而得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x、y的方程组的解和的解相同， ∴x、y是方程组的解， 解方程组，得， 将代入另外两个方程得：，解得， ∴． 16．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】先根据题意得到方程组，解方程组求出，进而得到关于a、b的方程组，求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得：， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， ∴， 解得， ∴． 【题型5】新定义问题 17．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 18．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．解题关键是根据新定义列出方程组； （1）根据新定义得出，，得出，，代入代数式，进行计算即可求解； （2）根据新定义得出，解方程组，即可求解； （3）由，得，即，得①，由，得②，，得③，解以上方程组成的方程组即可求得、、、的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由①得，代入②得 ∴ ∴ ∴ （2）依题意得， 由（1）可得，代入③得， 解得： ∴ （3）解：， ， ， 有一个不为零的数使得对任意有理数， 则有①， ，②， ，③， 又，， 解得． ∴ 19．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 20．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先理解题意，得出，则，又因为，得，整理得，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意可得方程组 可得， ， ， ， ， ， ， ∴， 的值为． 【题型6】方案选择问题 21．（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【答案】(1)A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个；方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个 【分析】（1）设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元，根据题意列出二元一次方程并求解即可； （2）设购进A型玩具个，B型玩具个，根据题意，可得，结合均为正整数，可得答案． 【详解】（1）解：设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元， 根据题意，可得， 解得， 答：A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元； （2）解：设购进A型玩具个，B型玩具个， 根据题意，可得， 整理可得， ∵均为正整数， ∴或或， 即共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个； 方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个； 方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个． 22．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）某商场用相同的价格分三次购进A型和B型两种型号的电视机，前两次购进情况如下表： A型（台） B型（台） 总进价（元） 第一次 20 30 90000 第二次 10 20 55000 (1)求该商场购进A型和B型电视机的单价各为多少元？ (2)已知商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，共有多少种进货方案？ (3)在（2）的情况下，商场A型电视机的标价为每台2000元，B型电视机的标价为每台3750元，不考虑其他因素，为了促销，A型电视机打九折、B型电视机打八折销售．若将第三次购进的电视机全部售出，通过计算说明，购进时哪种进货方案可获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元 (2)共有3种进货方案 (3)购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元 【分析】 （1）设A型电视机单价为x元，B型电视机单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组，解方程组即可； （2）设商场第三次购进A型电视机m台，则购进B型电视机n台，根据商场第三次购进A型和B型电视机总进价为20500元，列出方程，求出方程的整数解即可； （3）分别求出三种方案的利润，然后进行比较，得出答案即可． 【详解】（1）解：设A型电视机单价为x元，B型电视机单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型电视机单价为1500元，B型电视机单价为2000元； （2）解：设商场第三次购进A型电视机m台，购进B型电视机n台，根据题意得： ， 整理得：， ∵m、n为整数， ∴，，， ∴共有3种进货方案； （3）解：当购进A型电视机3台，B型电视机8台时，可获利润： （元）； 当购进A型电视机7台，B型电视机5台时，可获利润： （元）； 当购进A型电视机11台，B型电视机2台时，可获利润： （元）； ∵， ∴购进A型电视机3台，B型电视机8台时，获得最大利润，且最大利润为8900元． 23．（2026·河南周口·一模）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 195 2 1 165 (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)若某公司恰好用450万元购进两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案． 【答案】(1)型号机器人的单价为60万元，型号机器人的单价为45万元 (2)该公司有2种购进方案 【分析】（1）设型号机器人单价为万元，型号机器人单价为万元，根据表格中的信息，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进型号机器人个，型号机器人个，根据两种型号的机器人的价格之和为450元，列出方程，求方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设型号机器人单价为万元，型号机器人单价为万元． 根据题意，得， 解得， 答：型号机器人的单价为60万元，型号机器人的单价为45万元． （2）解：设购进型号机器人个，型号机器人个． 根据题意，得． 整理，得： ， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司有2种购进方案． 24．（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 作为深圳建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，坪山区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从坪山区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． 任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】任务1：H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元；任务2：方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车；方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车；方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车； 任务3：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程组的整数解应用． （1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元，根据素材1、2的采购组合总价列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆，根据总价120万元列出方程，用m表示n，根据n为正整数的条件，确定m的取值范围，找出所有符合条件的正整数解； （3）根据各方案的m、n值，计算利润，比较各方案利润大小，得出最大利润及对应方案． 【详解】解：（1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元， 由题意得：， 解得， 即H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元． （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆， 得：， ， ∵和24均为偶数， ∴必为偶数， ∴m为正偶数， 解得， 即方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车； 方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车； 方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车． （3）方案一：（万元）， 方案二：（万元）， 方案三：（万元）． ， ∴购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元． 【题型7】行程问题 25．（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 26．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 27．（2025九年级·广西·专题练习）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1)实际支付高速费用元，比原价优惠了元． (2)此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：此次行程高速费原价总共为：元， 实际支付高速费用：元， 优惠了元； （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元， 由题意得： 解得： 答：此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元． 【点睛】本题考查了代数式、二元一次方程组，掌握二元一次方程是解题的关键． 28．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）2024年10月，第三届北斗规模应用国际峰会在湖南株洲举行，我校为了着眼于培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在峰会结束后举行了前往北斗峰会场馆的研学活动，峰会场馆门票价格如下表： 购票人数/人 1600以上 每人门票价/元 58 50 48 学校计划七年级分成两批1-16班，17-32班去游览该场馆，其中1-16班的人数少于800人，如果第一批只单独购买本批次学生门票，则需支付46284元：如果两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费77088元， (1)两个批次各去了多少人？ (2)研学活动的下午前往了悠移劳动教育实践基地，为了培养学习团队合作和了解中国传统文化，举行了划龙舟的活动．在过程之中龙舟划到尽头就调转船头（调头时间忽略不计），返回起点码头，我们把龙舟看做一个点整个过程总共划行了，龙舟在其间航行，顺水航行用了，逆水航行用了，求龙舟在静水中的速度和水流速度分别是多少？（此问需利用方程解答） 【答案】(1)第一批去798人，第二批去808人； (2)龙舟在静水中的速度是，水流速度分别是 【分析】（1）设第一批人数为x人，第二批为y人，列方程组求解； （2）龙舟在静水中的速度为，水流速度为，列方程组求解． 【详解】（1）解：设第一批人数为x人，第二批为y人， ∵每人门票价为50元，且两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费77088元，77088不是50的倍数， ∴两批次去的人数和为1600以上， ∴， 解得， ∴第一批去798人，第二批去808人； （2）解：设龙舟在静水中的速度为，水流速度为， ， 解得， 答：龙舟在静水中的速度是，水流速度分别是． 【题型8】销售利润问题 29．（24-25七年级下·山东烟台·期中）学校组织学生举行“数学创新技能大赛”，该学校拟购进A、B两种品牌的计算器作为本次大赛奖品．已知某商店购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元． (1)请你计算一下该商店A、B两种品牌计算器每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌计算器定价为180元/台，B种品牌计算器定价为250元/台，该商店拟用1000元购进这两种计算器（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种计算器后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】(1)A品牌计算器每台的进价为100元，B品牌计算器每台的进价为150元 (2)为能在销售完后获得最大利润，该商店应购进A种品牌计算器10台，B种品牌计算器0台 【分析】（1）设A品牌计算器每台的进价为x元，B品牌计算器每台的进价为y元，根据购进3台A种品牌计算器所需费用与购进2台B种品牌计算器所需费用相同，购进1台A种品牌计算器与2台B种品牌计算器共需费用400元建立方程组求解即可； （2）设购买A品牌计算器m台，购买B品牌计算器n台，根据购买费用为1000元列出方程，求出对应方程的非负整数解，再求出每组解对应的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设A品牌计算器每台的进价为x元，B品牌计算器每台的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A品牌计算器每台的进价为100元，B品牌计算器每台的进价为150元； （2）解：设购买A品牌计算器m台，购买B品牌计算器n台， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n都是非负整数， ∴是不大于10的整数， ∴n要是偶数， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， 当时，，此时利润为元， ∵， ∴当，时，利润最大， 答：为能在销售完后获得最大利润，该商店应购进A种品牌计算器10台，B种品牌计算器0台． 30．（2026·安徽合肥·一模）在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶冲上云霄 24 20 【答案】3200元 【分析】设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次．根据题意列二元一次方程组，求出x，y，再计算收益即可． 【详解】解：设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次． 根据题意得， 解得， （元） 答：这天两个项目收益共3200元． 31．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有“细、圆、光、直、多白毫、香高、味浓、汤色绿”的独特风格，被誉为“绿茶之王”．固始皇姑山茶是全国农产品地理标志产品，干茶条索紧秀圆直，汤色柳芽黄清澈，具兰花香气，鲜爽回甘，种植历史超2300年．河南某茶叶经销商要购进“信阳毛尖”和“固始皇姑山茶”进行销售，已知购进3份信阳毛尖与2份固始皇姑山茶共需要280元，购进2份信阳毛尖与3份固始皇姑山茶共需要270元，求每份信阳毛尖和每份固始皇姑山茶的价格 【答案】每份信阳毛尖的价格是60元，固始皇姑山茶的价格是50元 【分析】设每份信阳毛尖的价格是元，每份固始皇姑山茶的价格是元，根据题意，得解方程组即可； 【详解】解：设每份信阳毛尖的价格是元，每份固始皇姑山茶的价格是元， 根据题意，得 解得 答：每份信阳毛尖的价格是60元，固始皇姑山茶的价格是50元． 32．（25-26九年级下·安徽滁州·月考）某水果店2025年第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度两种水果的销售额均有增长，其中苹果销售额增长了15%，橙子销售额增长了20%． 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 8000 第二季度 ______ ______ ______ (1)设2025年第一季度苹果销售额为元，橙子销售额为元，请用含，的代数式填表： (2)已知第二季度总销售额比第一季度增加了1400元，求第二季度苹果和橙子的销售额分别是多少元？ 【答案】(1)，，； (2)第二季度苹果销售额为4600元，橙子销售额为4800元 【分析】（1）根据题意列代数式，再填表即可； （2）根据“第一季度苹果和橙子的总销售额为8000元，第二季度总销售额比第一季度增加了1400元”列出关于的二元一次方程组，解方程组得到的值，再乘以各自的增长率即可解答． 【详解】（1）解：第二季度苹果销售额为； 第二季度橙子销售额为； 第二季度总销售额为； 填表如下： 季度 苹果销售额/元 橙子销售额/元 总销售额/元 第一季度 8000 第二季度 （2）解：由题意可得，， 解得， ，， 答：第二季度苹果销售额为4600元，橙子销售额为4800元． 【题型9】工程问题 33．（2026年湖南省长沙市初中学业水平考试模拟试卷数学（四））某企业承接了17000件文创产品生产订单，计划安排甲、乙两个车间共30名工人利用现有设备合作生产20天完成．已知甲车间每人每天能生产25件，乙车间每人每天能生产30件． (1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ (2)为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：方案一：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高，乙车间维持不变．方案二：乙车间再临时招聘5名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输费1600元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 【答案】(1) 甲车间有10名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产 (2) 应选择方案一更节省开支 【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y名工人参与生产，根据计划安排甲、乙两个车间共30名工人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为17000个列方程组，解方程组即可解决问题； （2）先求得企业完成生产任务所需的时间；分别求得需增加的费用，再比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两车间各有x、y名工人参与生产， 根据题意，得， 解得， 答：甲车间有10名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产； （2）解：企业完成生产任务所需的时间为：（天）． ∴选择方案一需增加的费用为（元）． 选择方案二需增加的费用为（元）． ∵， ∴选择方案一能更节省开支． 34．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨 (2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车 (3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨． （2）解：依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，9辆型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆型车； 方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵ ∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元． 35．（25-26八年级上·陕西西安·月考）某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 【答案】天中有天不下雨，有天下雨 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程组； 根据天共修建了可列方程组求解即可． 【详解】解：设这天中有天不下雨，有天下雨， 根据题意，得 解得， 答：这天中有天不下雨，有天下雨． 36．（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 【题型10】配套问题 37．（25-26七年级上·全国·期末）一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品 (2)至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 38．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 39．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 【答案】(1)（件） (2)生产螺钉10人，则生产螺母为12人 (3)零件的售价是14元 【分析】此题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握盈亏问题，配套问题，商业分配问题数量关系列方程，是解题的关键． （1）设工作岗位有y名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件，列方程解答； （2）设生产螺钉a人，则生产螺母为人，根据每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，列方程解答； （3）设开始共有x个销售商想合伙购买，利用5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，又4个销售商退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，列出方程，解方程，再利用售价成本价利润求得结论． 【详解】（1）解：设工作岗位有y名工人， 根据题意得，， 解得， （件） ∴一共带去了49件礼品； （2）解：设生产螺钉a人，则生产螺母为人 解得，， （人） 答：应安排生产螺钉工人10名，生产螺母的工人12名； （3）解：设x个销售商 解得， （元） 答：零件的售价是14元． 40．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒 (2)分配60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出题目蕴含的等量关系，列出方程或方程组解决问题． （1）设能做成的型盒有个，型盒子有个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出方程组； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由一个竖式纸盒与一个横式纸盒需要正方形纸板3个，长方形纸板7个，也就是正方形纸板的数量是长方形纸板数量的，由此列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设能做成个竖式纸盒，个横式纸盒， 根据题意，得， 解得， 答：能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒． （2）解：设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由题意得， ， 解得， ， 答：分配60个工人生产长方形纸板，则18个工人生产正方形纸板． 【题型11】几何问题 41．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【答案】一张长方形纸片的长为，宽为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，根据题意列方程组，求出，即可求解． 【详解】解：设一张长方形纸片的长为，宽为， 由题意得 解得 答：一张长方形纸片的长为，宽为． 42．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组，理解题意找到等量关系是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽构造方程，并求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，大长方形的长为，大长方形的宽为， 列方程组，得，， 将，得，， 将代入①，得，， 解得，， ∴方程组的解为， 答：小长方形的长为，宽为． 43．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 44．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究制作无盖纸盒的方案 素材1 将边长为的大正方形纸板按图1所示的两种方法裁剪：甲方法裁剪出5个小长方形纸板和1个小正方形纸板；乙方法剪4个小长方形和4个小正方形纸板（假设裁剪时损耗忽略不计）． 素材2 将以上裁剪的纸板制作成横式无盖的纸盒，如图2所示，它由3个小长方形纸板和2个小正方形纸板搭成． 问题解决 任务1 纸盒大小 计算该横式无盖纸盒的体积． 任务2 再次拼搭 现有3张大正方形纸板，将它们裁剪、拼搭，则它们最多能搭几个横式无盖纸盒． 任务3 深入探究 现有22张大正方形纸板和张小正方形纸板，将大正方形纸板裁剪，裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，求出的最小值，并写出裁剪方案． 【答案】任务；任务2：2张乙方法裁剪，1张甲方法裁剪（或3张都是乙方法裁剪），最多可以得到4个盒子；任务3：的最小值是11，甲方法裁剪11张，则采用乙方法裁剪11张． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：先算出小正方形的边长，再根据长方体体积公式求解； 任务2：设用甲方法裁剪m张纸板，用乙方法裁剪n张纸板， (m、n为整数)，由于一个纸盒需要2个小正方形和3个小长方形，设能搭成a个纸盒，则得到两个约束条件，再分类讨论即可； 任务3：设22张大正方形纸板采用甲方法裁剪张，则采用乙方法裁剪张．则小长方形有：张，小正方形有：张，因为小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，所以，即，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得小正方形纸板的边长是， 所以横式无盖纸盒的体积; 任务2：设用甲方法裁剪m张纸板，用乙方法裁剪n张纸板， (m、n为整数)， ∵一张甲方法裁剪的纸板有1个小正方形和5个小长方形，一张乙方法裁剪的纸板有4个小正方形和4个小长方形，则小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵一个纸盒需要2个小正方形和3个小长方形，设能搭成a个纸盒，则 当时，小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵， ∴最多能搭成4个纸盒； 当时，小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵，， ∴最多能搭成4个纸盒， ∴2张乙方法裁剪，1张甲方法裁剪（或3张都是乙方法裁剪），最多可以得到4个盒 子 任务3：设22张大正方形纸板采用甲方法裁剪张，则采用乙方法裁剪张． 则小长方形有：张， 小正方形有：张， 因为小长方形和小正方形纸板恰好全部用完， 所以，即， 因为是整数，， 所以，的最小值是11， 此时，甲方法裁剪11张，则采用乙方法裁剪11张． 【题型12】特殊解问题 45．（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干方法，利用换元法解方程组即可； （2）根据题意易得方程组的解满足，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，原方程组可化为， 解得，即， ∴； （2）解：∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得. 46．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 47．（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以，③ ③14，得，④ ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组的解是___________； (3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干给定的方法求解即可； （2）根据题干给定的方法求解即可； （3）根据已有方程组进行猜想即可，将解代入两个方程进行验证即可． 【详解】（1）解： 得：，所以③ ③得：④ 得：， 把代入③得：， 解得： 原方程组的解是：； （2）解：， 得：③ ③得：④ 得：，解得： 把代入③得：， 解得：， 原方程组的解是：； （3）解：猜测：， 当时，第一个方程：左边右边， 第二个方程：左边右边， 是原方程组的解． 48．（25-26七年级下·山东东营·月考）本册教材页中，我们曾探究过二元一次方程组的换元法：简单说：把方程组里某一个复杂的式子，用一个新字母代替，让方程变简单，再解．本质就是“简化式子”，再变回原来的未知数． (1)【知识累计】解方程组； (2)【拓展提高】运用换元法可以解下列方程组： 解方程组 解：设，原方程组可变为 由（1）中的解可得新方程组__________，解得_________， (3)【能力运用】已知关于x，y的方程组的解为， 求关于m、n的方程组的解． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据（1）和题意可得方程组，解之即可得到答案； （3）仿照题（2）求解即可． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：由（1）得， 解得； （3）解：设，则方程组可变为， ∵关于x，y的方程组的解为 ∴得新方程组， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $