1.4 平行线的判定 强化训练 2025--2026学年浙教版七年级数学下册

浙教版（2024）七年级下册 1.4 平行线的判定 强化训练 【题型1】同位角相等两条直线平行 【典例】如图，能判定AD∥BC的条件是(　　) A.∠3＝∠2 B.∠1＝∠2 C.∠B＝∠D D.∠B＝∠1 【强化训练1】如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠4 C.∠3＋∠4＝180° D.∠2＝30°，∠4＝35° 【强化训练2】如图，已知∠1＝65°，∠2＝65°，则　　∥　　，理由是　　。 【强化训练3】如图，∠1＝40°，∠2＝55°，∠3＝85°，直线l1与l2平行吗?为什么? 【强化训练4】如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2 （1）试说明：AB∥CD； （2）试判断BM与DN是否平行？为什么？ 【题型2】内错角相等两条直线平行 【典例】下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是(　　) A. B. C. D. 【强化训练1】如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是(　　) A.∠3＝∠4 B.∠1＝∠2 C.∠D＝∠DCE D.∠D＋∠ACD＝180° 【强化训练2】如图填空： (1)∵∠1＝∠A(已知)， ∴______________(　　　　　　　　　　)； (2)∵∠1＝∠D(已知)， ∴______________(　　　　　　　　　　)； (3)∵______＝∠F(已知)， ∴AC∥DF(　　　　　　　　　　　　　)． 【强化训练3】两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点F，B，E，C在一条直线上，则有DF∥AC，理由是__________________________． 【强化训练4】[条件信息] ①三角形三个角的和是180°． ②如图，点E，F分别在CD、AB上，连接BE、CF，BE⊥FD于点G．∠C=∠1， ∠2+∠D=90°． [结论评价] 小强得出结论：AB与CD的位置关系平行． 你认为小强的结论正确吗？若正确，说明理由；若不正确，写出正确的结论并说明理由． 【题型3】同旁内角互补两条直线平行 【典例】如图，如果∠AFE＋∠FED＝180°，那么(　　) A.AC∥DE B.AB∥FE C.ED⊥AB D.EF⊥AC 【强化训练1】如图，下列推理正确的是(　　) A.∵∠2＝∠4，∴AD∥BC B.∵∠1＝∠3，∴AD∥BC C.∵∠4＋∠D＝180°，∴AD∥BC D.∵∠4＋∠B＝180°，∴AD∥BC 【强化训练2】如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________，这是因为__________________________． 【强化训练3】如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°.试说明AB∥CD. 【强化训练4】如图，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A＋∠AEF＝180°.说明CD∥EF的理由． 【题型4】两条直线平行的判定方法综合 【典例】如图，下列推理不正确的是（　　） A.∵∠1=∠2，∴AB∥CD B.∵∠1=∠2，∴AD∥BC C.∵∠3=∠4，∴AD∥BC D.∵∠4=∠5，∴AB∥CD 【强化训练1】下列图形中，已知∠1=∠2，则可得到AB∥CD的是（　　） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，已知FG⊥AB，∠1=∠2，∠B=∠AGH，则下列不一定正确的是（　　） A.GH∥BC B.DE∥FG C.∠D=∠F D.∠B+∠1=90° 【强化训练3】如图,已知BE平分∠ABC,且∠CDB=25°,当∠ABC=　　　　°时,AB∥CD。 【强化训练4】如图，若∠BEC＝95°，∠C＝45°，∠ABE＝130°，则AB与CD平行吗?请说明理由。 【强化训练5】如图，AB⊥AC，∠1与∠B互余。 (1)AD与BC平行吗?为什么? (2)若∠B＝∠D，则AB与CD平行吗?为什么? 【题型5】拐角问题 【典例】某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A.第一次左拐30°，第二次右拐30° B.第一次右拐50°，第二次左拐130° C.第一次右拐50°，第二次右拐130° D.第一次向左拐50°，第二次向左拐120° 【强化训练1】如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，第一次在B处拐弯，行至C处进行第二次拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶，那么，两次拐弯的角度可能是（　　） A.第一次右拐15°，第二次左拐165° B.第一次右拐15°，第二次左拐15° C.第一次左拐15°，第二次左拐165° D.第一次右拐165°，第二次左拐165° 【强化训练2】如图，EN⊥CD，点M在AB上，∠MEN＝156°，当∠BME＝________°时，AB∥CD. 【强化训练3】如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，直线AB和EF平行吗？为什么？ 【强化训练4】(1)如图①，如果∠B＋∠E＋∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系，为什么？ (2)如图②，当∠1、∠2、∠3满条件______________时，有AB∥CD，为什么？ (3)如图③，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件______________时，有AB∥CD，为什么？ 【题型6】翻折或三角板叠放问题 【典例】一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝（　　）时，CD∥AB． A.90° B.120°或60° C.150°或30° D.135°或45° 【强化训练1】学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的 观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有（　　） ①两直线平行，同位角相等；　　②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；　　④内错角相等，两直线平行． A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【强化训练2】一次数学活动中，要检验纸带的边线是否平行，某个小组的方案是将纸带沿AB折叠（如图）．测量了3条纸带，测得：纸带①中∠1＝∠2；纸带②中∠2＝∠3；纸带③中∠1+2∠2＝180°．所测纸带边线一定平行的有（　　） A.3条 B.2条 C.1条 D.0条 【强化训练3】如图，一副直角三角板中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点B在直线AC上方，且0°＜∠ACE＜180°，能使三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数为 　　． 【强化训练4】如图,已知AC∥DF,将一个含30°角的直角三角板如图放置,使点E落在直线DF上,若∠ABE=72°,则∠PEF的度数为　　　　°。 【强化训练5】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°． （1）若∠1＝25°，则∠2的度数为 　　； （2）直接写出∠1与∠3的数量关系：　　； （3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　　； （4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值 　　． 【题型7】旋转问题 【典例】如图，固定木条b、c，使∠1＝80°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（　　） A.70° B.80° C.90° D.100° 【强化训练1】如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且∠ABM＝40°，∠BEF＝77°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（　　） A.木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转23° B.木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转103° C.木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转37° D.木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转158° 【强化训练2】如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠BOD＝78°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转　　． 【强化训练3】将一副三角尺如图放置,边EF与边BC在同一条直线上,∠ACB=∠DFE=90°,∠ABC=60°,∠E=45°。三角尺DEF保持不动,将三角尺ABC绕点B顺时针旋转α度(0°<α<180°)。当α=　　　　度时,AB∥DE。 【题型8】平行线判定的实际应用问题 【典例】如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的依据是(　　) A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两直线平行 【强化训练1】在操场上活动时，小明发现旗杆的影子与旁边的树的影子好像平行，但他不敢确定，那么他可以采取的最好办法是(　　) A.通过平移的办法进行验证 B.看看其他同学是不是这样认为 C.构造并测量两个同位角，若相等则影子平行 D.构造几何模型，用已学知识证明 【强化训练2】如图，四边形纸片ABCD，以下测量方法，能判定AD∥BC的是(　　) A.∠B＝∠C＝90° B.∠B＝∠D＝90° C.AC＝BD D.点A，D到BC的距离相等 【强化训练3】如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有 　　．（填序号） 【强化训练4】工人师傅在架设电线时，为了检验三条电线是否互相平行只检查了其中两条是否与第三条平行即可，这样做的道理是______________________________． 【强化训练5】如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km． （1）在图中标出A，B，C，D的位置，并求道路CD与CB的夹角； （2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长； （3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB． 【强化训练6】数学活动课上，同学们正在讨论一道习题：为了说明地图中的四望亭路与文昌中路是互相平行的，王老师已经在地图上量得∠1＝90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由． 同学甲：度量∠2的度数，若∠2＝90°，满足∠1+∠2＝180°，根据　　，就可以验证这个结论； 同学乙：度量∠3的度数，若满足∠3＝∠1＝90°，根据　　，就可以验证这个结论； 同学丙：度量∠5的度数，若满足∠5＝∠1＝90°，根据　　，就可以验证这个结论； 同学丁：度量∠4的度数，若∠4＝90°，也能验证这个结论．请你说明同学丁的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版（2024）七年级下册 1.4 平行线的判定 强化训练（参考答案） 【题型1】同位角相等两条直线平行 【典例】如图，能判定AD∥BC的条件是(　　) A.∠3＝∠2 B.∠1＝∠2 C.∠B＝∠D D.∠B＝∠1 【答案】D 【解析】A.∠3＝∠2可知AB∥CD，不能判断AD∥BC，故A错误； B.∠1＝∠2不能判断AD∥BC，故B错误； C.∠B＝∠D不能判断AD∥BC，故C错误； D.当∠B＝∠1时，由同位角相等，两直线平行可知AD∥BD，故D正确．故选D. 【强化训练1】如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠4 C.∠3＋∠4＝180° D.∠2＝30°，∠4＝35° 【答案】B 【解析】∵∠1＝∠4，∴a∥b(同位角相等两直线平行)．故选B. 【强化训练2】如图，已知∠1＝65°，∠2＝65°，则　　∥　　，理由是　　。 【答案】 AB CD 同位角相等，两直线平行 【解析】 【强化训练3】如图，∠1＝40°，∠2＝55°，∠3＝85°，直线l1与l2平行吗?为什么? 【答案】解：l1∥l2。理由如下： ∵∠2＝55°，∴∠4＝∠2＝55°。 又∵∠3＝85°， ∴∠5＝180°－∠3－∠4＝40°。 又∵∠1＝40°，∴∠1＝∠5， ∴l1∥l2。 【解析】 【强化训练4】如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2 （1）试说明：AB∥CD； （2）试判断BM与DN是否平行？为什么？ 【答案】（1）解：∵AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D ∴∠ABE＝∠CDE＝90°， ∴AB∥CD； （2）BM∥DN． 理由：∵AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D， ∴∠ABE＝∠CDE． ∵∠1＝∠2， ∴∠MBE＝∠NDE， ∴BM∥DN． 【题型2】内错角相等两条直线平行 【典例】下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A．∠1＝∠2不能判定任何直线平行，故本选项错误； B．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，符合平行线的判定定理，故本选项正确； C．∵∠1＝∠2，∴AC∥BD，故本选项错误； D．∠1＝∠2不能判定任何直线平行，故本选项错误．故选B. 【强化训练1】如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是(　　) A.∠3＝∠4 B.∠1＝∠2 C.∠D＝∠DCE D.∠D＋∠ACD＝180° 【答案】B 【解析】A．根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误； B．根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故此选项正确； C．根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误； D．根据同旁内角互补，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；故选B. 【强化训练2】如图填空： (1)∵∠1＝∠A(已知)， ∴______________(　　　　　　　　　　)； (2)∵∠1＝∠D(已知)， ∴______________(　　　　　　　　　　)； (3)∵______＝∠F(已知)， ∴AC∥DF(　　　　　　　　　　　　　)． 【答案】AB∥DE    内错角相等，两直线平行    AC∥DF    内错角相等，两直线平行    ∠ACB    同位角相等，两直线平行. 【解析】(1)∵∠1＝∠A(已知)，∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行)；( 2)∵∠1＝∠D(已知)，∴AC∥DF(内错角相等，两直线平行)； (3)∵∠ACB＝∠F(已知)；∴AC∥DF(同位角相等，两直线平行)． 【强化训练3】两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点F，B，E，C在一条直线上，则有DF∥AC，理由是__________________________． 【答案】内错角相等两直线平行(或垂直于同一条直线的两直线平行) 【解析】依题意得：∠BFE＝∠ACB，则DF∥AC(内错角相等两直线平行．(或垂直于同一条直线的两直线平行))故答案是内错角相等两直线平行(或垂直于同一条直线的两直线平行) 【强化训练4】[条件信息] ①三角形三个角的和是180°． ②如图，点E，F分别在CD、AB上，连接BE、CF，BE⊥FD于点G．∠C=∠1， ∠2+∠D=90°． [结论评价] 小强得出结论：AB与CD的位置关系平行． 你认为小强的结论正确吗？若正确，说明理由；若不正确，写出正确的结论并说明理由． 【答案】解 小强的结论正确，理由如下： ∵∠DGE=90°， ∴∠1+∠D=180°-∠DGE=180°-90°=90°， ∵∠2+∠D=90°， ∴∠1=∠2， ∵∠C=∠1， ∴∠2=∠C， ∴AB∥CD． 【题型3】同旁内角互补两条直线平行 【典例】如图，如果∠AFE＋∠FED＝180°，那么(　　) A.AC∥DE B.AB∥FE C.ED⊥AB D.EF⊥AC 【答案】A 【解析】∵∠AFE＋∠FED＝180°，∴AC∥DE(同旁内角互补，两直线平行)，故选A. 【强化训练1】如图，下列推理正确的是(　　) A.∵∠2＝∠4，∴AD∥BC B.∵∠1＝∠3，∴AD∥BC C.∵∠4＋∠D＝180°，∴AD∥BC D.∵∠4＋∠B＝180°，∴AD∥BC 【答案】B 【解析】A．由∠2＝∠4不能推出AD∥BC，故本选项错误； B．∵∠1＝∠3，∴AD∥BC，故本选项正确； C．由∠4＋∠D＝180°不能推出AD∥BC，故本选项错误； D．由∠4＋∠B＝180°不能推出AD∥BC，故本选项错误；故选B. 【强化训练2】如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________，这是因为__________________________． 【答案】平行     同旁内角互补 【解析】∵一组同旁内角的度数比为3∶2，差为36°，∴设较小的角为：x，则较大的为x＋36°，∴(x＋36°)∶x＝3∶2，∴x＝72°，x＋36°＝108°，∵72°＋108°＝180°，即同旁内角互补．∴这两条直线的位置关系是平行∴答案为平行，同旁内角互补． 【强化训练3】如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°.试说明AB∥CD. 【答案】解 　∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°， ∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝130°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴AB∥CD. 【强化训练4】如图，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A＋∠AEF＝180°.说明CD∥EF的理由． 【答案】解 因为AB⊥BG，CD⊥BG (已知)， 所以∠B＝90°，∠CDG＝90°(垂直的意义)， 所以∠B＝∠CDG (等量代换)， 所以AB∥CD (同位角相等，两直线平行)， 因为∠A＋∠AEF＝180° (已知)， 所以AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)， 所以CD∥EF(平行公理的推论)． 【题型4】两条直线平行的判定方法综合 【典例】如图，下列推理不正确的是（　　） A.∵∠1=∠2，∴AB∥CD B.∵∠1=∠2，∴AD∥BC C.∵∠3=∠4，∴AD∥BC D.∵∠4=∠5，∴AB∥CD 【答案】B 【解析】∵∠1=∠2， ∴AB∥CD， 故A正确，不符合题意； ∵∠1=∠2， ∴AB∥CD， 故B不正确，符合题意； ∵∠3=∠4， ∴AD∥BC， 故C正确，不符合题意； ∵∠4=∠5， ∴AB∥CD， 故D正确，不符合题意； 故选：B． 【强化训练1】下列图形中，已知∠1=∠2，则可得到AB∥CD的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.∠1和∠2的是对顶角，不能判断AB∥CD，此选项不正确； B.∠1和∠2的对顶角是同位角，又相等，所以AB∥CD，此选项正确； C.∠1和∠2的是内错角，又相等，故AD∥BC，不是AB∥CD，此选项错误； D.∠1和∠2互为同旁内角，同旁内角相等两直线不平行，此选项错误． 故选：B． 【强化训练2】如图，已知FG⊥AB，∠1=∠2，∠B=∠AGH，则下列不一定正确的是（　　） A.GH∥BC B.DE∥FG C.∠D=∠F D.∠B+∠1=90° 【答案】C 【解析】∵∠B=∠AGH， ∴GH∥BC， ∴∠1=∠HGM， ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠HGM， ∴DE∥FG， ∵FG⊥AB， ∴∠B+∠1=90°， 故A、B、D正确，不符合题意， 故选：C． 【强化训练3】如图,已知BE平分∠ABC,且∠CDB=25°,当∠ABC=　　　　°时,AB∥CD。 【答案】 50 【强化训练4】如图，若∠BEC＝95°，∠C＝45°，∠ABE＝130°，则AB与CD平行吗?请说明理由。 【答案】解：AB∥CD。理由如下： 如答图，延长BE交CD于点F。 ∵∠BEC＋∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝180°－∠BEC＝85°。 又∵∠C＋∠CEF＋∠CFE＝180°， ∴∠CFE＝180°－∠C－∠CEF＝50°。 又∵∠ABE＝130°， ∴∠ABE＋∠CFE＝180°， ∴AB∥CD。 答图 【解析】 【强化训练5】如图，AB⊥AC，∠1与∠B互余。 (1)AD与BC平行吗?为什么? (2)若∠B＝∠D，则AB与CD平行吗?为什么? 【答案】解：(1)AD∥BC。理由如下： ∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°。 ∵∠1与∠B互余， ∴∠1＋∠B＝90°， ∴∠1＋∠BAC＋∠B＝180°， 即∠B＋∠BAD＝180°，∴AD∥BC。 (2)AB∥CD。理由如下： 由(1)可知∠B＋∠BAD＝180°。 又∵∠B＝∠D， ∴∠D＋∠BAD＝180°，∴AB∥CD。 【解析】 【题型5】拐角问题 【典例】某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A.第一次左拐30°，第二次右拐30° B.第一次右拐50°，第二次左拐130° C.第一次右拐50°，第二次右拐130° D.第一次向左拐50°，第二次向左拐120° 【答案】A 【解析】两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案． 如图所示（实线为行驶路线）： A符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定． 故选：A． 【强化训练1】如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，第一次在B处拐弯，行至C处进行第二次拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶，那么，两次拐弯的角度可能是（　　） A.第一次右拐15°，第二次左拐165° B.第一次右拐15°，第二次左拐15° C.第一次左拐15°，第二次左拐165° D.第一次右拐165°，第二次左拐165° 【答案】B 【解析】根据题意分别作出图形，然后根据平行线的判定定理，即可求得答案． ∵∠1＝∠2＝15°， ∴AB∥CD，故本选项正确； 故选：B． 【强化训练2】如图，EN⊥CD，点M在AB上，∠MEN＝156°，当∠BME＝________°时，AB∥CD. 【答案】66 【解析】过点E作EF∥AB， ∴∠BME＝MEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∵EN⊥CD， ∴EN⊥EF，∴∠NEF＝90°， ∵∠MEN＝156°， ∴∠MEF＋90°＝156°， ∴∠MEF＝∠BME＝156°－90°＝66°.故答案为66. 【强化训练3】如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，直线AB和EF平行吗？为什么？ 【答案】解：平行． 理由：因为∠1＝∠2， 所以AB∥CD， 又因为∠3+∠4＝180°， 所以CD∥EF， 所以AB∥EF． 【强化训练4】(1)如图①，如果∠B＋∠E＋∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系，为什么？ (2)如图②，当∠1、∠2、∠3满条件______________时，有AB∥CD，为什么？ (3)如图③，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件______________时，有AB∥CD，为什么？ 【答案】证明 (1)过点E作EF∥AB，如图①， 则∠ABE＋∠BEF＝180°，(两直线平行，同旁内角互补)因为∠ABE＋∠BED＋∠EDC＝360°，(已知)所以∠FED＋∠EDC＝180°，(等式的性质)所以 FE∥CD，(同旁内角互补，两直线平行)∴AB∥CD(平行线的传递性)． (2)如图②，当∠1、∠2、∠3满足条件∠1＋∠3＝∠2时，有AB∥CD. 理由：过点E作EF∥AB. ∴∠1＝∠BEF； ∵∠1＋∠3＝∠2，∠2＝∠BEF＋∠DEF， ∴∠3＝∠DEF，∴EF∥CD， ∴AB∥CD(平行线的传递性)； (3)如图③，当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B＋∠E＋∠F＋∠D＝540°时，有AB∥CD. 理由：过点E、F分别作GE∥HF∥CD. 则∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFD＋∠CDF＝180°， ∴∠GEF＋∠EFD＋∠FDC＝360°； 又∵∠B＋∠E＋∠F＋∠D＝540°， ∴∠ABE＋∠BEG＝180°， ∴AB∥GE， ∴AB∥CD. 【题型6】翻折或三角板叠放问题 【典例】一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝（　　）时，CD∥AB． A.90° B.120°或60° C.150°或30° D.135°或45° 【答案】C 【解析】分两种情况，如图所示：当∠BAD＝∠D＝30°时，；CD∥AB 如图所示，当∠C＝∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝60°+90°＝150°时，AB∥CD； 故选：C． 【强化训练1】学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的 观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有（　　） ①两直线平行，同位角相等；　　②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；　　④内错角相等，两直线平行． A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【答案】C 【解析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件可得③∠3＝∠1可得AB∥CD；④∠4＝∠2，可得AB∥CD． 第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直； 将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直； ∵AB⊥m，CD⊥m， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°， ∵∠3＝∠1， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确． ∵∠4＝∠2， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确． 故选：C． 【强化训练2】一次数学活动中，要检验纸带的边线是否平行，某个小组的方案是将纸带沿AB折叠（如图）．测量了3条纸带，测得：纸带①中∠1＝∠2；纸带②中∠2＝∠3；纸带③中∠1+2∠2＝180°．所测纸带边线一定平行的有（　　） A.3条 B.2条 C.1条 D.0条 【答案】B 【解析】根据折叠的性质、平行线的判定定理判断求解即可． 如图，点N在MB的延长线上， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠ADB， ∴∠3＝180°﹣∠ADB﹣∠2＝180°﹣2∠2， 由翻折的性质得：∠ABN＝∠3， ∴∠DBM＝180°﹣∠ABN﹣∠DBA＝180°﹣2∠3， 只有∠2＝∠3时，∠1＝∠DBM，AD才与MN平行． 故纸带①不符合题意； 由翻折的性质得：∠ABN＝∠3， ∵∠2＝∠3， ∴∠2＝∠ABN， ∴AD∥MN， 故纸带②符合题意； ∵∠1＝∠ADB，∠∠1+2∠2＝180°，∠ADB+∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝∠3， ∴AD∥MN， 故纸带③符合题意； 故选：B． 【强化训练3】如图，一副直角三角板中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点B在直线AC上方，且0°＜∠ACE＜180°，能使三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数为 　　． 【答案】45°或15°． 【解析】根据平行线的判定定理分情况求解即可． 当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，理由如下，如图所示： ∵BE∥AC， ∴∠ACE＝∠E＝45°； 当∠ACE＝45°时，BE∥CD，理由如下，如图所示： ∵BE∥CD， ∴∠DCB＝∠CBE＝45°， ∵∠DCB+∠ACB＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠ACE＝∠DCB＝45°； 如图，当∠ACE＝15°时，BE∥AD， ∵BE∥AD， ∴∠ACE+∠E＝∠A＝60°， ∴∠ACE＝15°， 综上，三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数为：45°或15°． 故答案为：45°或15°． 【强化训练4】如图,已知AC∥DF,将一个含30°角的直角三角板如图放置,使点E落在直线DF上,若∠ABE=72°,则∠PEF的度数为　　　　°。 【答案】 12 【强化训练5】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°． （1）若∠1＝25°，则∠2的度数为 　　； （2）直接写出∠1与∠3的数量关系：　　； （3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　　； （4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值 　　． 【答案】解：（1）∵∠1＝25°，∠ACD＝90°， ∴∠2＝∠ACD﹣∠1＝65°， 故答案为：65°； （2）∵∠1+∠2＝∠ACD＝90°，∠2+∠3＝∠BCE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠2+∠3， ∴∠1＝∠3， 故答案为：∠1＝∠3； （3）∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠ACB+∠2 ＝∠1+∠2+∠3+∠2 ＝∠ACD+∠BCE ＝180°， 即∠2+∠ACB＝180°， 故答案为：∠2+∠ACB＝180°； （4）存在， ①当BC∥AD时， ∵BC∥AD， ∴∠BCD＝∠D＝30°， ∴∠ACB＝90°+30°＝120°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°； ②当BE∥AC时，如图， ∵BE∥AC， ∴∠ACE＝∠E＝45°； ③当AD∥CE时，如图， ∵AD∥CE， ∴∠DCE＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝90°+30°＝120°； ④当BE∥CD时，如图， ∵BE∥CD， ∴∠DCE＝∠E＝45°， ∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°； ⑤当BE∥AD时，如图， 过点C作CF∥AD， ∵BE∥AD，CF∥AD， ∴BE∥AD∥CF， ∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°， ∴∠DCE＝30°+45°＝75°， ∴∠ACE＝90°+75°＝165°． 综上所述：当∠ACE＝30°或45°或120°或135°或165°时，有一组边互相平行． 故答案为：30°或45°或120°或135°或165°． 【题型7】旋转问题 【典例】如图，固定木条b、c，使∠1＝80°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（　　） A.70° B.80° C.90° D.100° 【答案】D 【解析】根据同旁内角互补两直线平行，求出∠2的度数即可． 要使得a∥b，则需满足∠1+∠2＝180°， ∵∠1＝80°， ∴∠2＝100°， 故选：D． 【强化训练1】如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且∠ABM＝40°，∠BEF＝77°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（　　） A.木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转23° B.木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转103° C.木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转37° D.木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转158° 【答案】C 【解析】根据平行线的判定定理判断求解即可． A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转23°， ∴∠ABE＝40°+23°＝63°≠∠DEM， ∴AC与DF不平行， 故A不符合题意； B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转103°， ∴∠CBE＝180°﹣（103°﹣40°）＝117°≠∠DEM， ∴AC与DF不平行， 故B不符合题意； C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转37°， ∴∠DEM＝77°﹣37°＝40°＝∠ABE， ∴AC∥DF， 故C符合题意； D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转158°， ∴∠DEM＝360°﹣77°﹣158°＝125°≠∠CBE， ∴AC与DF不平行， 故D不符合题意； 故选：C． 【强化训练2】如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠BOD＝78°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转　　． 【答案】8°． 【解析】根据OD∥AC，两直线平行，同位角相等，求得∠BOD'＝∠A，即可得到∠DOD'的度数，即旋转角． ∵OD∥AC， ∴∠BOD'＝∠A＝70°， ∴∠DOD'＝78°﹣70°＝8°． 故答案为：8°． 【强化训练3】将一副三角尺如图放置,边EF与边BC在同一条直线上,∠ACB=∠DFE=90°,∠ABC=60°,∠E=45°。三角尺DEF保持不动,将三角尺ABC绕点B顺时针旋转α度(0°<α<180°)。当α=　　　　度时,AB∥DE。 【答案】 15 【解析】 如答图, 答图 当∠ABF=∠E=45°时,AB∥DE, 则∠FBC=∠ABC-∠ABF=60°-45°=15°, ∴三角尺ABC绕点B顺时针旋转15度,即α=15°。 【题型8】平行线判定的实际应用问题 【典例】如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的依据是(　　) A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两直线平行 【答案】B 【解析】由图可知，∠ABD＝∠BAC，根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD.故选B. 【强化训练1】在操场上活动时，小明发现旗杆的影子与旁边的树的影子好像平行，但他不敢确定，那么他可以采取的最好办法是(　　) A.通过平移的办法进行验证 B.看看其他同学是不是这样认为 C.构造并测量两个同位角，若相等则影子平行 D.构造几何模型，用已学知识证明 【答案】C 【解析】因旗杆的影子与旁边的树的影子在进行平移时，比较麻烦，不是很准确，他可以采取的最好办法是构造并测量两个同位角，若相等则影子平行．故选C. 【强化训练2】如图，四边形纸片ABCD，以下测量方法，能判定AD∥BC的是(　　) A.∠B＝∠C＝90° B.∠B＝∠D＝90° C.AC＝BD D.点A，D到BC的距离相等 【答案】D 【解析】A．∵∠B＝∠C＝90°，∴∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD，A不可以； B．∠B＝∠D＝90°，无法得出边平行的情况，B不可以； C．AC＝BD，无法得出边平行的情况，C不可以； D．∵点A，D到BC的距离相等，且A、D在直线BC的同侧，∴AD∥BC，D可以．故选D. 【强化训练3】如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有 　　．（填序号） 【答案】①②④． 【解析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案． ①∵∠CAB＝∠EAD＝90°， ∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2， ∴∠1＝∠3． ∴①正确． ②∵∠2＝30°， ∴∠1＝90°﹣30°＝60°， ∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE． ∴②正确． ③∵∠2＝30°， ∴∠3＝90°﹣30°＝60°， ∵∠B＝45°， ∴BC不平行于AD． ∴③错误． ④由②得AC∥DE． ∴∠4＝∠C． ∴④正确． 故答案为：①②④． 【强化训练4】工人师傅在架设电线时，为了检验三条电线是否互相平行只检查了其中两条是否与第三条平行即可，这样做的道理是______________________________． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【解析】∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，∴为了检验三条电线是否互相平行只检查了其中两条是否与第三条平行即可．故答案为平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【强化训练5】如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km． （1）在图中标出A，B，C，D的位置，并求道路CD与CB的夹角； （2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长； （3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB． 【答案】解：（1）如图所示，过C作CM⊥CD交AB与M，则∠DCM＝90°，∠MCB＝30°， ∴CD与CB的夹角为90°+30°＝120°； （2）环湖路的长＝AB+BC﹣CD＝3km； （3）不能判定DC∥AB． 加上的条件可以是：∠B＝60°． 证明：∵∠BCM＝30°，∠B＝60°， ∴∠CMB＝90°，即CM⊥AB． 又∵CM⊥CD， ∴DC∥AB． 【强化训练6】数学活动课上，同学们正在讨论一道习题：为了说明地图中的四望亭路与文昌中路是互相平行的，王老师已经在地图上量得∠1＝90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由． 同学甲：度量∠2的度数，若∠2＝90°，满足∠1+∠2＝180°，根据　　，就可以验证这个结论； 同学乙：度量∠3的度数，若满足∠3＝∠1＝90°，根据　　，就可以验证这个结论； 同学丙：度量∠5的度数，若满足∠5＝∠1＝90°，根据　　，就可以验证这个结论； 同学丁：度量∠4的度数，若∠4＝90°，也能验证这个结论．请你说明同学丁的理由． 【答案】解：满足∠1+∠2＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论； 同学乙：度量∠3的度数，若满足∠3＝∠1＝90°，根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论； 同学丙：度量∠5的度数，若满足∠5＝∠1＝90°，根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论； 同学丁：∵∠4＝∠2＝90°，∠1＝90°， ∴∠1+∠2＝180°， ∴平行． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行． 学科网（北京）股份有限公司 $