精品解析：甘肃金昌市永昌县第一高级中学2025-2026学年高二下学期学业质量检测（一）数学试卷

永昌县第一高级中学2025—2026—2学业质量检测（一） 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数在时的瞬时变化率为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 2. 点关于平面的对称点,又已知求（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. D. 5. 过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在时有极值0，则（　　） A. 4 B. 11 C. 4或11 D. 以上答案都不对 7. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 当时，函数取得极小值 D. 当时，函数取得极小值 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值点为 B. 有且仅有3个零点 C. 点是函数的对称中心 D. 第Ⅱ卷（非选择题 92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 曲线在原点处的切线方程为______． 13. 设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则________． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 17. 在平行六面体中，，，设，，． （1）若点，满足，，试用，，表示； （2）求与夹角的余弦值． 18. 已知函数 （1）当时，求的极值； （2）若，试讨论的单调性； （3）是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． （3）对任意，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2025—2026—2学业质量检测（一） 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数在时的瞬时变化率为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由可得， 故时的瞬时变化率为， 故选：B 2. 点关于平面的对称点,又已知求（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间对称点求坐标，利用坐标运算来求模即可. 【详解】由点关于平面的对称点, 又因为所以 即， 故选：C 3. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出求导公式、导数运算法则逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 4. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 5. 过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果. 【详解】因为，所以， 设所求切线的切点为，则， 由题知，，解得，所以切线斜率为， 故所求切线方程为. 故选：C. 6. 已知函数在时有极值0，则（　　） A. 4 B. 11 C. 4或11 D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】由于在处有极值0，所以可得，解方程组可求出的值，从而可求得答案 【详解】解：由，得， 因为在处有极值0， 所以，即，解得或， 当时，，则 在上单调递增，此时函数无极值，所以舍去， 当时，，令，得或，经检验和都为函数的极值点， 综上， 所以， 故选：B 7. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 8. 已知函数，有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数，画出大致图象，从而求得的取值范围. 【详解】由， 所以在时，在单调递减， 在时，在单调递增， 所以当时，取得极小值也即是最小值， 当时，，且时，，又，由此画出的大致图象如下图所示， 由图可知，的取值范围是. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 当时，函数取得极小值 D. 当时，函数取得极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题图判断原函数的函数符号，进而确定在对应区间上的符号，判断区间单调性、极值. 【详解】由图知：，即，A对； 由上，故，则在区间上单调递增，B错； 和上，和上， 所以、上，、上， 故在、上递增，、上递减，则为极大值，为极小值，C错，D对. 故选：AD 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值点为 B. 有且仅有3个零点 C. 点是函数的对称中心 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定错误；选项，根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定正确；选项，求得，令，求得，得出，可判定正确；选项，根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定正确. 【详解】A选项，由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 当时，取得极大值，极大值为，所以极大值点为，故A错误； 选项，由知，当时，取得极小值， 极小值，且当时，， 当时，，，所以函数有3个零点，故正确； 选项，由，可得， 令，可得，又由， 所以点是函数的对称中心，故C正确； D选项，因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以， 所以，即，所以D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 曲线在原点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求得曲线在原点处的切线斜率，可求切线方程. 【详解】由，可得，所以， 所以曲线在原点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令， 则， 由当时，，所以， 即在上是增函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以是偶函数，在递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或． 故答案为：或 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为和，递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，直接利用导数求单调区间即可； （2）由（1）的结论可得在上的单调性，求出函数在上的最大值，即可求解的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 令，即，解得或， 且当时，，当时，， 所以的单调递增区间为和，递减区间为； 【小问2详解】 由（1）知的单调递增区间为和，递减区间为； 且，， 所以在上的最大值为， 因为关于x的不等式在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，即，所以， 所以的取值范围为． 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1）单调递增区间为；递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性求最值. 【小问1详解】 易知函数的定义域为， 令，得或， 令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的单调递增区间为；递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以. 17. 在平行六面体中，，，设，，． （1）若点，满足，，试用，，表示； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （2）运用向量夹角余弦公式计算求解． 【小问1详解】 ，， ，， 又，， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 18. 已知函数 （1）当时，求的极值； （2）若，试讨论的单调性； （3）是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到的单调性，进而得到函数极值情况； （2）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （3）由（2）可知，时，在上为减函数，在上为增函数，故分，，三种情况，根据函数最小值得到方程，求出. 【小问1详解】 当时，，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取极小值，无极大值； 【小问2详解】 因为，，若，恒成立，递增； 若，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由（2）可知，时，在上为减函数，在上为增函数． 假设存在，使得在区间上的最小值为， 若，即时，，解得，符合题意； 若，即时，， 解得，舍去； 若，即时，，解得，舍去． 综上所述，存在，使得在区间上的最小值为． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． （3）对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间； （2）由可得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. （3）由不等式整理得到，再通过分析的单调性，得到，再求解即可. 【小问1详解】 因为，， 则，当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 当时，由可得， 令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增. 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为， 且，，在的图象如图所示． 由图可知，当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． 【小问3详解】 由，得恒成立，移项， 得恒成立. 构造函数，所以恒成立. 又∵在定义域内单调递增， ∴有在内恒成立， ∴恒成立，即. 由（2）可知最大值为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $