思维拓展《圆柱、圆锥体积的计算和应用》（专项练习）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

思维拓展——圆柱、圆锥体积的计算和应用 【知识导航】 1.圆柱的体积=底面积×高 2.圆锥的体积=底面积×高× × 3.圆柱与圆锥的关系 等底等高的圆柱和圆锥:圆柱的体积是圆锥体积的3倍; 等底等体积的圆柱和圆锥:圆锥的高是圆柱的高的3倍; 等高等体积的圆柱和圆锥:圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍。 【例题精讲】 例1.运用公式求圆柱/圆锥的体积。 (1)如右图，把一个圆柱体切割之后，拼成如图的长方体，请思考圆柱体积公式是怎么推理出来的? (2) 圆柱的底面半径为2厘米，高为10厘米，求这个圆柱的体积? 例2.圆锥的体积 (1)已知圆锥的底面直径6cm，高1.2cm。求这个圆锥的体积。 (2)圆锥的底面周长9.42cm，高4cm。请计算它的体积。 (3) 一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米。这个零件的体积是多少? 例3.切割问题。 (1)把一个高是6分米的圆柱，沿着底面直径竖直切开，平均分成两半，表面积增加48平方分米。求原来这个圆柱的体积是多少立方分米? (2)一个圆柱的高减少2厘米侧面积就减少50.24平方厘米，它的体积减少多少立方厘米? 例4.一个圆柱体高是20厘米，如果把它的高增加10%，表面积就增加25.12平方厘米。原来圆柱体的体积是多少立方厘米? 例5. 将直角三角形ABC分别以三条边为轴旋转一周，计算旋转后那个物体的体积。 (1) 以AB为轴旋转;(2)以BC为轴旋转; (3)以AC为轴旋转; 例6、 一个圆锥高是4厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了96平方厘米，圆锥的体积是多少立方厘米? 例7、一个圆柱，如果高减少2厘米，表面积就减少25.12平方厘米，体积减少，这个圆柱原来的体积是多少立方厘米? 例8、如图，一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱体(不包括瓶颈)容积是324立方厘米，当瓶子正放时，瓶内胶水高度为8厘米，瓶子倒放时，空余部分为2厘米，则瓶内所装胶水的体积是多少? 例9、 如图所示的容器中放入底面相等并且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块，根据图1和图2的变化知，圆柱体铁块的体积是多少立方分米? 【综合练习】 1、 把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去的体积是48dm，则圆柱的体积是( )dm,若圆柱的高是6dm，则底面积是( )dm。 2.一个圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长，已知正方体的体积是24cm，那么圆锥的体积是( )立方厘米。 3.一个圆柱和一个圆锥底面直径的比是1:2，圆柱的高是圆锥高的1.5倍，圆柱和圆锥的体积比是( ):( )。 4、一个圆锥的底面半径和高都与一个体积是300立方厘米的正方体的棱长相等，圆锥的体积是( )立方厘米。 5、一根圆柱体木料长3米，如果把它锯成相等的3段，表面积增加16平方分米，原来这根木料的体积是多少立方分米? 6、 一个饮料瓶中盛有一些饮料(如图1)，如果将其倒置在桌上(如图2)，该饮料瓶的容积是多少? 7、 如图是一个直角三角形，两条直角边的长分别为3cm、4cm，斜边的长为5cm.如果以斜边为轴旋转一周，求所形成的立体图形的体积是多少立方厘米? 8、一个长方体容器内装有水，已知容器的内壁长14分米，宽9分米，高12分米，现在把一个圆柱体和一个圆锥体完全浸没在容器内，水面升高了2分米。如果圆柱和圆锥的底面半径和高分别相等，那么圆柱和圆锥的体积分别是多少? 9.如图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的，请问:再添入多少毫升酒，可装满此容器? 思维拓展——圆柱、圆锥体积的计算和应用 答案 【知识导航】 1.圆柱的体积=底面积×高 2.圆锥的体积=底面积×高× × 3.圆柱与圆锥的关系 等底等高的圆柱和圆锥:圆柱的体积是圆锥体积的3倍; 等底等体积的圆柱和圆锥:圆锥的高是圆柱的高的3倍; 等高等体积的圆柱和圆锥:圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍。 【例题精讲】 例1.运用公式求圆柱/圆锥的体积。 (1)如右图，把一个圆柱体切割之后，拼成如图的长方体，请思考圆柱体积公式是怎么推理出来的? 解析：本题把圆柱切割成长方体后，长方体的体积是底面积×高，长方体的底面积是圆的面积经过切割转化成长方形，大小不变，所以长方体的底面积就是圆柱的底面积，即，。 （2）圆柱的底面半径为2厘米，高为10厘米，求这个圆柱的体积? 解析：本题根据圆柱的体积公式，即3.14×2×2×10=125.6(立方厘米)。 例2.圆锥的体积 (1)已知圆锥的底面直径6cm，高1.2cm。求这个圆锥的体积。 解析：本题根据圆柱的体积公式，先求出圆的半径6÷2=3(厘米)，再求圆锥体积3.14×3×1.2×=11.304(立方厘米)。 (2)圆锥的底面周长9.42cm，高4cm。请计算它的体积。 解析：本题根据圆锥的体积公式×，要先求出圆的半径 9.42÷3.14÷2=1.5 (厘米)，再求圆锥的体积3.14×1.5×4×=9.42(立方厘米). （3）一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米。这个零件的体积是多少? 解析：本题根据圆锥的体积公式×，即19×12×=76(立方厘米)。 例3.切割问题。 (1)把一个高是6分米的圆柱，沿着底面直径竖直切开，平均分成两半，表面积增加48平方分米。求原来这个圆柱的体积是多少立方分米? 解析：本题圆柱沿着底面直径竖直切开，平均分成两半，表面积增加48平方分米，增加的是以直径为底，高为长两个长方形，即底面直径48÷2÷6=4(分米)，半径4÷2=2(分米)，推导出圆柱体积3.14×2×6=75.36 (立方分米)。 答：原来这个圆柱的体积是75.36立方分米。 (2)一个圆柱的高减少2厘米侧面积就减少50.24平方厘米，它的体积减少多少立方厘米? 解析：本题是求圆柱体积，要知道圆的半径和高，已知圆的高，要先知道圆的半径，由圆柱的高减少2厘米侧面积就减少50.24平方厘米，推导出圆的周长50.24÷2=25.12(厘米)，半径25.12÷3.14÷2=4(厘米)，圆柱体积减少3.14×4×2=100.48(立方厘米) 答：体积减少100.48立方厘米。 例4.一个圆柱体高是20厘米，如果把它的高增加10%，表面积就增加25.12平方厘米。原来圆柱体的体积是多少立方厘米? 解:本题是求圆柱的体积，根据题意需要知道圆柱对应的高和半径，增加后的高:20×(1+10%)=22(厘米)；倒推先求出底面周长:25.12÷(22-20)=12.56(厘米)，再求出对应的圆的半径12.56÷3.14÷2=2（厘米）；最终推出圆柱体积3.14×2×2×10=125.6(立方厘米) 答:原来圆柱体的体积是125.6立方厘米。 例5、将直角三角形ABC分别以三条边为轴旋转一周，计算旋转后那个物体的体积。 (2) 以AB为轴旋转;(2)以BC为轴旋转; (3)以AC为轴旋转; 解析：本题是在求圆锥的体积，根据圆锥的体积公式×，确定圆锥的底面半径和高。 (1) 直角三角形ABC以AB为轴旋转，圆锥底面半径为4厘米，高为3厘米。即3.14×4×4×3×=50.24(立方厘米)； (2) 直角三角形ABC以BC为轴旋转，圆锥底面半径为3厘米，高为4厘米。即3.14×3×3×4×=37.68(立方厘米)； (3) 直角三角形ABC以AC为轴旋转，圆锥底面半径为3×4÷5=2.4厘米，高为5厘米。即:3.14×2.4×2.4×5×=30.144(立方厘米) 例6、一个圆锥高是4厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了96平方厘米，圆锥的体积是多少立方厘米? 解:本题求圆锥的体积就要先求出圆锥的底面半径和对应的高4厘米，根据原圆锥的表面积增加了96平方厘米推导出半径:96÷2×2÷4÷2=12(厘米)， 体积:3.14×12×12×4×=602.88(立方厘米) 答:圆锥的体积是602.88立方厘米。 例7、一个圆柱，如果高减少2厘米，表面积就减少25.12平方厘米，体积减少，这个圆柱原来的体积是多少立方厘米? 解析:本题是求圆柱原来的体积就要先求出圆柱底面半径。由题意表面积就减少25.12平方厘米，就是圆柱高为2厘米的侧面积25.12平方厘米，推导出半径:25.12÷2÷3.14÷2=2(厘米)，原体积:3.14×2×2×2÷=125.6(立方厘米)。答:这个圆柱原来的体积是125.6立方厘米。 例8、如图，一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱体(不包括瓶颈)容积是324立方厘米，当瓶子正放时，瓶内胶水高度为8厘米，瓶子倒放时，空余部分为2厘米，则瓶内所装胶水的体积是多少? 解析:本题324÷(8+2)×8=259.2(立方厘米) 答:瓶内所装胶水的体积是259.2(立方厘米)。 例9、如图所示的容器中放入底面相等并且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块，根据图1和图2的变化知，圆柱体铁块的体积是多少立方分米? 解析:本题根据等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍可知圆柱体积:25.7÷(1+1+3)×3=15.42(立方分米) 答:圆柱铁块的体积是15.42立方分米。 【综合练习】 1、把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去的体积是48立方分米，则圆柱的体积是( 36 )立方分米,若圆柱的高是6分米，则底面积是( 6 )平方分米。 解析：根据等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍可知48÷2×3=36立方分米；若圆柱的高是6分米，则底面积是36÷6=6平方分米. 2. 一个圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长，已知正方体的体积是24立方厘米，那么圆锥的体积是( 25.12 )立方厘米。 解析：本题借助假设法计算，假设正方体的棱长为a，由题意可知一个圆锥的高和底面半径都为a，即圆锥的体积3.14×a×a×=3.14×24×=25.12立方厘米。 3. 一个圆柱和一个圆锥底面直径的比是1:2，圆柱的高是圆锥高的1.5倍，圆柱和圆锥的体积比是( 9 ):( 8 )。 解析：由题意可知推导出，； ； （1×3）：（4×2）×=9：8. 4、一个圆锥的底面半径和高都与一个体积是300立方厘米的正方体的棱长相等，圆锥的体积是( 314 )立方厘米。 解析：本题借助假设法计算，假设正方体的棱长为a，由题意可知一个圆锥的高和底面半径都为a，即圆锥的体积3.14×a×a×=3.14×300×=314立方厘米。 5、一根圆柱体木料长3米，如果把它锯成相等的3段，表面积增加16平方分米，原来这根木料的体积是多少立方分米? 解析：本题一根圆柱体锯成相等的3段，就是锯两次，增加4个相等的面，表面积增加16平方分米，即3米=30分米，横截面面积:16÷4=4(平方分米)，圆柱的体积:4×30=120(立方分米)。 答:原来这根木料的体积是120立方分米。 6、一个饮料瓶中盛有一些饮料(如图1)，如果将其倒置在桌上(如图2)，该饮料瓶的容积是多少? 解析:3.14×(10÷2)×(15+30-25)=1570(立方厘米) 答：该饮料瓶的容积是1570立方厘米。 7、如图是一个直角三角形，两条直角边的长分别为3cm、4cm，斜边的长为5cm.如果以斜边为轴旋转一周，求所形成的立体图形的体积是多少立方厘米? 解析:半径:3×4÷5=2.4(厘米)体积:3.14×2.4×2.4×5×=30.144(立方厘米)答:所形成的立体图形的体积是30.144立方厘米。 8、一个长方体容器内装有水，已知容器的内壁长14分米，宽9分米，高12分米，现在把一个圆柱体和一个圆锥体完全浸没在容器内，水面升高了2分米。如果圆柱和圆锥的底面半径和高分别相等，那么圆柱和圆锥的体积分别是多少? 解析:圆柱与圆锥的体积和:14×9×2=252(立方分米) 圆锥体积:252÷(1+3)=63(立方分米) 圆柱体积:63×3=189(立方分米) 答:圆柱的体积是189立方分米，圆锥的体积是63立方分米。 9、如图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的，请问:再添入多少毫升酒，可装满此容器? 解:大圆锥与小圆锥高之比:a:a=2:1 半径比:2:1 底面积之比:4:1 体积比:(2×4):(1×1)=8:1 10÷1×（8-1）=70(毫升) 答:再添入70毫升。 学科网（北京）股份有限公司 $