小升初思维拓展：圆柱和圆锥体积的关系（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初思维拓展：圆柱和圆锥体积的关系 1．一个圆柱形木块沿直径切成四块（如图1），表面积增加了36平方厘米；切成三块（如图2），表面积增加了50.24平方厘米。若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少了多少立方厘米？ 2．有两个空的玻璃容器，李亮先把圆锥形容器注满水，再把圆柱形容器注满水，圆柱形容器里的水比圆锥形容器里的水多多少立方厘米？（容器的厚度忽略不计） 3．一块圆柱形木料按图甲中的方式切成大小、形状相同的四块，表面积增加96平方厘米；按图乙中的方式切成大小、形状相同的三块，表面积增加50.24平方厘米，若把它削成一个最大的圆锥，体积减少多少立方厘米？ 4．如图，把一个底面半径是2分米、高是6分米的圆柱形木料，削成一个由两个圆锥体组成的零件。每个圆锥的高是原来圆柱高的一半，底面积和原来圆柱的底面积相等。求削去部分的体积。（取3.14） 5．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水有多高？（单位：厘米） 6．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水有多高？ ​ 7．木器厂有一块棱长6分米的正方体木料。 （1）第一次先将这块木料加工成一个最大的圆柱，圆柱的表面积是多少平方分米？ （2）第二次再将这个圆柱削成一个最大的圆锥，第二次又削去多少立方分米？ 8．小维用一个底面直径是6厘米的圆，通过向上平移9厘米，会得到一个圆柱。（如下图） (1)如果这个圆柱是一个茶叶罐，它的体积是多少立方厘米？ (2)选一选：用一张长方形纸通过下面（    ）方式，也能得到这个底面直径是6厘米，高是9厘米的圆柱。 A． B． C． D． (3)与这个圆柱等底等高的圆锥，也可以看作是将一个底是( )厘米，高是( )厘米的直角三角形，绕着直角边旋转一周得到的。如果这个圆锥是一个零件，它的体积是( )立方厘米。 9．健身房有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面内直径是2分米，高是8分米，在一次训练中，沙包底破了，沙子全部留到地上形成了一个高4分米的圆锥沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方分米？ 10．在一个半径为10厘米（从里面量），高50厘米的圆柱形容器里装些水，当放入一块底面半径为2厘米的圆锥形铁块后（铁块完全浸没水中），水面上升了0.4厘米，但未溢出，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 11．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 12．小林先用橡皮泥捏成一个底面积是4平方厘米，高是6厘米的圆柱（如图），然后对它进行“等积变形”。 （1）如果把这个圆柱捏成一个长方体，那么相关数据可能是多少？请你画出草图，并标出关键数据。 （2）如果把这个圆柱捏成一个圆锥，那么相关数据可能是多少？请你画出草图，并标出关键数据。 13．小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 14．有一个长方形ABCD，以AD边所在的直线为轴旋转一周，想象一下旋转后形成的立体图形的样子。以下对话，谁的想法正确？为什么？ 小凯：涂色部分和没涂色部分旋转后形成的立体图形体积之比是1∶1。 小莉：不对不对，不是1∶1，应该是2∶1。 15．一个圆柱体的底面直径是8cm，高是12cm，把它制成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是多少？ 16．一个圆柱形木墩如图。把这个木墩削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方分米？ 17．青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦！） 18．航模小组制作了一个火箭助推器模型（如图），它的上半部分是圆锥，下半部分是圆柱。 （1）要解决“火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？”的问题，三位同学分别给出了自己的做法。谁的想法正确？在括号里画“√”。 小思：我用“圆锥体积＋圆柱体积”来计算。（    ） 小维：我用“圆柱体积×”来计算。（    ） 小佳：我用“底面积×（圆柱的高＋圆锥的高）”来计算。（    ） （2）选择其中一种正确的做法，计算出结果。 19．李师傅想用一个底面直径为10厘米、高为15厘米的圆柱体木桩加工工艺品。 工序一：截取一段圆柱体木桩削成最大的圆锥，使得圆锥的体积是235.5立方厘米； 工序二：把圆锥和剩下的圆柱拼接起来，在圆锥部分雕刻上花纹，圆柱外部涂上颜料； 工序三：把做好的工艺品用长方体纸盒进行包装，请你帮李师傅算一算。 （1）截取的木桩有多高？ （2）拼接后，需涂颜料的面积是多少平方厘米？ （3）这个长方体纸盒的体积至少是多少立方厘米？ 20．如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 21．据推断，陀螺产生于我国宋朝，相关古籍记载了当时流行于北京的一句童谣“杨柳儿活，抽陀螺同现代的陀螺玩法完全一样。如图，一个陀螺上面是圆柱，且圆锥的高是圆柱高的。已知圆柱的底面直径是10厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 22．如下图，两个完全一样的杯子，装有同样多的水，分别放入等底等高的圆柱与圆锥零件后，水面的高度都上升了，水未溢出。A杯的水面上升了2厘米。 （1）B杯的水面上升了（    ）厘米。 （2）圆锥零件的体积是多少立方厘米？ 23．把一个高15厘米的圆柱体木料沿着两条互相垂直的直径纵切成完全相同的四块，它的表面积增加了720平方厘米。如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去了多少立方厘米木料？ 24．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器等底等高，它们都装满水，一共有30升。圆柱形容器的容积是多少？ 25．如图所示，在圆柱上挖去一个最大的圆锥，求剩下图形的体积。（单位：厘米，结果保留一位小数） 26．如图30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 27．“猜想与验证”是探索圆锥体积计算方法的策略。请你完成圆锥体积公式的推导实验： （1）器材准备：（    ）的圆柱形容器和圆锥形容器各1个，若干沙子。 （2）实验过程： （3）实验结论： 圆锥体积公式： 28．下面是三个图形的旋转。 （1）图②中长方形绕一条边旋转一周，得到图形的体积，是图①中直角三角形绕直角边旋转一周，得到图形体积的多少倍？并请说明理由。 （2）图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是多少？ 29．有一个下面是圆柱体，上面是圆锥体的容器，如图，圆柱体的高度是10厘米，圆锥体的高度是6厘米，容器内液面的高度是7厘米，当将这个容器倒过来放时，从圆锥的尖到液面的高是多少厘米？ 30．已知一根长3米的圆柱形木料，将它截成4段，其表面积增加18.84平方米，如果将它削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．18.84立方厘米 【分析】如图1切成4块，表面积增加了8个长方形，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝圆柱底面半径，增加的表面积÷8＝1个长方形面积；如图2切成三块，表面积增加4个底面，增加的表面积÷4＝底面积，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，确定圆柱底面半径，图1切成的1个长方形的面积÷底面半径＝圆柱的高，将圆柱体积看作单位“1”，削去部分的体积是圆柱体积的（1－），根据圆柱体积＝底面积×高，求出圆柱体积，圆柱体积×削去部分对应分率＝减少的体积。 【详解】36÷8＝4.5（平方厘米） 50.24÷4＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4＝22 4.5÷2＝2.25（厘米） 12.56×2.25×（1－） ＝28.26× ＝18.84（立方厘米） 答：体积减少了18.84立方厘米。 【点睛】关键是看懂图示，先求出圆柱的底面半径和高，通过圆柱和圆锥体积之间的关系，求出减少的体积。 2．31.4立方厘米 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，分别求出两个容器容积，用圆柱形容器容积－圆锥形容器容积即可。 【详解】3.14×（4÷2）²×10－3.14×（6÷2）²×10÷3 ＝3.14×4×10－3.14×9×10÷3 ＝125.6－94.2 ＝31.4（立方厘米） 答：圆柱形容器里的水比圆锥形容器里的水多31.4立方厘米。 【点睛】关键是掌握圆柱和圆锥的体积公式。 3．50.24立方厘米 【分析】按乙的切法增加了4个底面面积，用增加的面积除以4就是底面面积，根据底面积可求出圆柱底面半径，进而求出直径，按甲的切法，增加了8个长为圆柱高，宽为圆柱底面半径的长方形，据此可求出圆柱的高，切成的最大圆锥与圆柱底面积相等、高相等；等底、等高的圆锥体积是圆锥体积的，去掉的体积是圆柱体积的（1－），根据圆柱的体积计算公式V＝Sh，求出圆柱的体积，乘（1－）就是减少的体积。 【详解】50.24÷4＝12.56（平方厘米） 设圆柱底面半径为r厘米 3.14×r2＝12.56 3.14×r2÷3.14＝12.56÷3.14 r2＝4 因为22＝4 所以r＝2 96÷8÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 12.56×6×（1－） ＝75.36× ＝50.24（立方厘米） 答：体积减少50.24立方厘米。 【点睛】此题较难，关键是先根据乙的切法求出圆柱的底面积，进而求出底面半径，再根据甲的切法求出圆柱的高。 4．50.24立方分米 【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，削去部分的体积是圆柱体积的（1－），根据圆柱体积＝底面积×高，圆柱体积×削去部分对应分率＝削去部分的体积，据此列式解答。 【详解】3.14×22×6×（1－） ＝3.14×4×6× ＝50.24（立方分米） 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式，理解圆柱和圆锥体积之间的关系。 5．4厘米 【分析】根据题意，先利用圆锥体的体积公式求出甲容器中注满水后水的体积，因为水没有变化，所以再利用圆柱体的体积公式求出水的高度即可。 【详解】 ＝314÷78.5 ＝4（厘米） 答：乙容器中水有4厘米高。 【点睛】本题也可以根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，直接列式12÷3＝4（厘米）计算。 6．6厘米 【分析】由图可知，甲乙两个容器等底等高，则甲容器的容积等于乙容器容积的；用18乘，即可求出乙容器中水的高度。 【详解】18×＝6（厘米） 答：这时乙容器中的水有6厘米。 7．（1）54π平方分米 （2）36π立方分米 【详解】（1）π×6×6＋π×（6÷2）²×2          ＝36π＋18π                 ＝54π（平方分米）          答：圆柱的表面积是54π平方分米。 （2）π×（6÷2）²×6×（1－）    ＝9π×6×          ＝36π（立方分米）          答：第二次又削去36π立方分米。 8．(1)254.34立方厘米 (2)C (3) 3 9 84.78 【分析】（1）根据圆柱的体积公式计算茶叶罐的体积； （2）长方形绕着长旋转一周形成圆柱，那么长方形的长就是圆柱的高，长方形的宽就是圆柱底面半径，据此逐项分析形成的圆柱的底面直径和高进行解答； （3）与圆柱等底等高的圆锥的体积是圆柱的三分之一，圆锥可以看作是一个直角三角形绕着某直角边旋转形成的，据此解答。 【详解】（1）6÷2＝3（厘米） 3.14×32×9 ＝3.14×9×9 ＝28.26×9 ＝254.34（立方厘米） 答：茶叶罐的体积是254.34立方厘米。 （2）A．绕长方形的长旋转形成的圆柱的底面直径是12厘米，高是9厘米； B．绕长方形的宽旋转形成的圆柱的底面直径是18厘米，高是6厘米； C．绕虚线旋转形成的圆柱的底面直径是6厘米，高是9厘米； D．绕虚线旋转形成的圆柱的底面直径是9厘米，高是6厘米。 故答案为：C （3）（立方厘米） 与圆柱等底等高的圆锥的底面直径是6厘米，高是9厘米，那么需要底是3厘米，高是9厘米的直角三角形，绕着直角边旋转一周得到该圆锥。它的体积是84.78立方厘米。 9．18.84平方分米 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝，求出圆柱的体积， 圆柱的体积即是留到地上的沙子的体积，再根据圆锥的体积公式求出沙堆占地面积即可。 【详解】 ＝25.12×3÷4 ＝75.36÷4 ＝18.84（平方分米） 答：这个沙堆的占地面积是18.84平方分米。 故答案为：18.84平方分米 【点睛】当圆柱和圆锥的体积相等，高（底面积）相等时；圆锥的底面积（高）是圆柱的3倍。 10． 30厘米 【分析】本题可先根据圆柱体积公式求出水面上升部分的体积，该体积就是圆锥形铁块的体积，再根据圆锥体积公式求出圆锥的高。 水面上升部分的形状为圆柱体，根据圆柱体积公式V＝S×h＝（其中V为体积，S为底面积，h为高，r为底面半径，取3.14），已知圆柱形容器半径是10厘米，水面上升的高度是0.4厘米，则可以求出水面上升部分的体积；因为圆锥形铁块完全浸没在水中，所以水面上升部分的体积就是圆锥形铁块的体积，已知圆锥形铁块底面半径为2厘米，根据圆的面积公式S ＝（其中S为面积，r为半径，取3.14），可求出圆锥的底面积；根据圆锥体积公式V＝Sh（其中V为体积，S为底面积，h为高），可得圆锥的高。 【详解】水面上升部分的体积： 3.14××0.4 ＝3.14×100×0.4 ＝314×0.4 ＝125.6（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 圆锥的高： 3×125.6÷12.56 ＝376.8÷12.56 ＝30（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是30厘米。 【点睛】本道题的关键在于理解水面上升部分的体积就是圆锥形铁块的体积，掌握圆柱与圆锥的计算公式，方便计算。 11．314立方厘米 【分析】1．求上升的水的体积：放入铁块后水面上升，上升的水的形状为圆柱体。根据圆柱体积公式V＝πr2h（其中r为底面半径，h为高），已知圆柱形容器底面半径r＝10厘米，水面从5厘米上升到9厘米，则上升的高度h＝9－5＝4厘米，可求出上升的水的体积。 2．分析等底等高圆柱和圆锥体积关系：因为圆柱和圆锥等底等高，根据所学知识，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。把圆锥体积看作1份，那么圆柱体积就是3份，它们的体积和就是1＋3＝4份。 3．求圆锥体积：上升的水的体积等于圆柱和圆锥的体积和，已求出体积和以及它们体积份数关系，用体积和除以总份数4，就可得到1份的体积，也就是圆锥的体积。 【详解】上升水的体积： V＝πr2h ＝3.14×102×（9－5） ＝3.14×100×4 ＝314×4 ＝1256（立方厘米） 因为等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以圆锥体积为： 1256÷（3＋1） ＝1256÷4 ＝314（立方厘米） 答：这个圆锥形铁块的体积是314立方厘米。 12．（1）如图： （2）如图： 【分析】（1）根据圆柱的体积得出圆柱的体积，再根据圆柱的体积与长方体的体积相等，找到符合题意的长方体的长、宽、高，画图即可； （2）根据圆锥的体积公式：，结合圆锥的体积等于等底等高的圆柱体积的，计算圆锥的底面半径和高，作图即可。 【详解】（1）4×6＝24（立方厘米） 24＝2×2×6，得出长方体的长是2厘米，宽是2厘米，高是6厘米。 （2）底面积相等，圆锥的高是圆柱高的3倍，则体积相等。 3×6＝18（厘米），得出圆锥的底面积是4平方厘米，高是18厘米。 13．251.2立方厘米 【分析】把高30厘米的圆柱形木棒截成两段后，表面积增加的50.24平方厘米是2个圆柱底面的面积，据此求出一个底面的面积；用这根木棒的高度除以2，求出每一段木棒的高度；用底面积乘高，即可求出其中一段的体积。因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积是这段圆柱体积的。据此解答。 【详解】50.24÷2＝25.12（平方厘米） 30÷2＝15（厘米） 25.12×15×（1－） ＝376.8× ＝251.2（立方厘米） 答：削去的体积是251.2立方厘米。 【点睛】本题关键是先由截圆柱增加的表面积求出底面积，再算一段圆柱体积，最后利用等底等高圆锥与圆柱的体积关系，求出削去部分的体积。 14．小莉正确；涂色部分和没涂色部分旋转后形成的立体图形体积比是2∶1 【分析】依据题意结合图示可知，没有涂色部分的体积等于底面半径是6厘米，高是9厘米的圆柱的体积的，则涂色部分的体积是底面半径是6厘米，高是9厘米的圆柱的体积的1－＝，据此∶列式，再化成最简比即可。 【详解】（1－）∶ ＝＝∶ ＝（×3）∶（×3） ＝2∶1 答：小莉的想法正确，涂色部分和没涂色部分旋转后形成的立体图形体积比是2∶1。 15．401.92cm3 【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，该圆锥与圆柱是等底等高的，所以它的体积为圆柱体积的，所以削去的体积为圆柱体积的；圆柱体积公式V柱＝πr2h；由此进行解答。 【详解】3.14×2×12× ＝3.14×16×12× ＝401.92（cm3） 答：削去部分的体积为401.92cm3。 【点睛】本题考查了圆柱与圆锥的体积，关键是要理解把一个圆柱削成一个最大的圆锥，该圆锥与圆柱是等底等高的。 16．25.12立方分米 【分析】已知圆柱的底面直径是4分米，高为6分米，若把它削成一个最大的圆锥体，则削成的圆锥和圆柱的底面直径以及高都相等，根据等底等高的圆锥体的体积是圆柱体积的三分之一，因此，求出圆柱的体积除以3即可。 【详解】3.14×（4÷2）2×6÷3 ＝3.14×24÷3 ＝3.14×8 ＝25.12（立方分米） 答：圆锥的体积是25.12立方分米。 【点睛】此题的知识点是：圆锥和圆柱的关系，根据圆柱的底面直径和高，依次求圆柱的底面面积和体积。 17．相等 【分析】分析题目，可以假设圆柱的底面直径是4，高是9，图①中上面的圆锥的高是6，则下面圆锥的高是（9－6），根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h分别算出图①和图②中的圆锥的体积，再比较大小即可。 【详解】假设圆柱的底面直径是4，高是9，图①中上面的圆锥的高是6。 3.14×（4÷2）2×6×＋3.14×（4÷2）2×（9－6）× ＝3.14×22×6×＋3.14×22×3× ＝3.14×4×6×＋3.14×4×3× ＝12.56×6×＋12.56×3× ＝75.36×＋37.68× ＝25.12＋12.56 ＝37.68 3.14×（4÷2）2×9× ＝3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝113.04× ＝37.68 因为37.68＝37.68，所以图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 答：图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 18．（1）小思（√），小维（√） （2）226.08立方厘米 【分析】（1）火箭助推器模型是一个组合图形，由一个圆柱和一个圆锥组合而成，所以模型的体积＝圆锥体积＋圆柱体积，所以小维的做法正确； 由图可知，圆柱和圆锥等底等高，所以圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则圆柱和圆锥的体积和是圆柱的体积的（1＋），火箭助推器模型的体积＝圆柱的体积×（1＋），所以小维的做法正确； 因为圆柱和圆锥等底等高，所以圆柱的体积＝底面积×圆柱的高，圆锥的体积＝×底面积×圆锥的高，火箭助推器模型的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积＝＝底面积×圆柱的高＋×底面积×圆锥的高＝底面积×（圆柱的高＋×圆锥的高），所以小佳的做法错误。 （2）选用小维的方法计算体积，从题目可知圆柱的底面半径为3厘米、高为6厘米，根据圆柱的体积＝×半径的平方×高，求出圆柱的体积，再乘（1＋）解答即可。本题方法不唯一。 【详解】（1）要解决“火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？”的问题，三位同学的想法正确的是： 小思：我用“圆锥体积＋圆柱体积”来计算。（√） 小维：我用“圆柱体积×”来计算。（√） 小佳：我用“底面积×（圆柱的高＋圆锥的高）”来计算。（    ） （2）3.14×32×6×（1＋） ＝3.14×9×6× 28.26×（6×） ＝28.26×8 ＝226.08（立方厘米） 答：火箭助推器模型的体积是226.08立方厘米。（方法不唯一） 19．（1）9厘米 （2）266.9平方厘米 （3）1500立方厘米 【分析】（1）截取一段圆柱体木桩削成最大的圆锥，那么圆锥与圆柱等底；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，即可求出截取木桩的高。 （2）先用原来木桩的高减去圆锥的高，即是剩下圆柱的高；把圆锥和剩下的圆柱拼接起来，在剩下圆柱的外部涂上颜料，那么需涂颜料的面积＝圆柱的侧面积＋底面积，其中S侧＝πdh，代入数据计算即可求解。 （3）把底面直径为10厘米，高为15厘米的木桩工艺品用长方体纸盒进行包装，则这个长方体的长、宽都等于木桩的底面直径，高等于木桩的高；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个长方体纸盒的体积。 【详解】（1）圆锥的底面积： 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 圆锥的高： 235.5×3÷78.5 ＝706.5÷78.5 ＝9（厘米） 答：截取的木桩有9厘米高。 （2）3.14×10×（15－9）＋78.5 ＝3.14×10×6＋78.5 ＝188.4＋78.5 ＝266.9（平方厘米） 答：需涂颜料的面积是266.9平方厘米。 （3）10×10×15＝1500（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的体积至少是1500立方厘米。 20．（1）36分钟 （2）见详解 【分析】（1）先根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积，再根据水的流速是1.57立方厘米/分钟，用圆锥的体积除以1.57，即可求出圆锥内漏完水需要的时间； （2）当圆锥内的水全部流入圆柱时，水的体积不变，且圆锥的底面积和圆柱的底面积相等，在等体积等面积的情况下，圆柱中水的高度是圆锥的高度的，根据分数乘法的意义，用6×，即可求出此时圆柱内水的高度。从圆柱的底面开始，沿着圆柱的高向上取2厘米的高度，将这部分圆柱内的区域用阴影填充，表示此时圆柱内的水，据此解答。 【详解】（1）3.14×32×6÷1.57 ＝3.14×9×6÷1.57 ＝56.52÷1.57 ＝36（分钟） 答：圆锥内漏完水需要36分钟。 （2）6×＝2（厘米） 圆柱容器内水深2厘米。 作图如下： 21．785立方厘米 【分析】这个陀螺是圆柱和圆锥的组合体，且圆锥和圆柱的底面是同一个圆（半径相同）。已知圆柱的高，圆锥的高是圆柱高的，用乘法求出圆锥的高。直径除以2即可求得圆柱和圆锥的底面圆半径。根据圆柱体积公式和圆锥体积公式，求出两者体积并相加，即可求得陀螺的体积。 【详解】计算圆锥的高： 计算圆柱和圆锥底面圆半径： 计算圆柱体积： 计算圆锥体积： 求陀螺体积： 答：这个陀螺的体积是785立方厘米。 22．（1）6 （2）56.52立方厘米 【分析】（1）根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，两个杯子是完全一样的，A杯的水面上升了2厘米，则B杯的水面上升了（2×3）厘米；（2）圆锥的体积即上升的2厘米水的体积，根据圆柱的体积，据此解答。 【详解】（1）2×3＝6（厘米） （2） （立方厘米） 答：圆锥零件的体积是56.52立方厘米。 【点睛】灵活掌握圆柱的体积计算公式是解答本题的关键，涉及到的知识点是等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 23．立方厘米 【分析】根据题意，把一个圆柱体木料沿底面直径切成相同的四块，表面积增加720平方厘米，那么增加的表面积是8个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径；用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径； 然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个圆柱体木料的体积； 如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的体积是圆柱体积的（1－），单位“1”已知，用圆柱的体积乘（1－），即可求出削去的体积。 【详解】圆柱的底面半径： 720÷8÷15 ＝90÷15 ＝6（厘米） 圆柱的体积： 3.14×62×15 ＝3.14×36×15 ＝1695.6（立方厘米） 削去的体积： 1695.6×（1－） ＝1695.6× ＝1130.4（立方厘米） 答：削去了1130.4立方厘米木料。 【点睛】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成四块时，增加的表面积是8个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面半径和高为长、宽的长方形，以此为突破口，求出圆柱的底面半径，再利用等底等高时圆锥与圆柱的体积关系解答。 24．22.5升 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，将圆锥的体积看成1份，则圆柱的体积是3份，由此根据和差倍问题进行解答即可。 【详解】30÷（1＋3）×3 ＝30÷4×3 ＝7.5×3 ＝22.5（升） 答：圆柱形容器的容积是22.5升。 【点睛】本题主要考查圆柱、圆锥体积公式的实际应用。 25．2093.3立方厘米 【分析】观察图形可知，在圆柱上挖去一个最大的圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高，也就是圆锥的体积是圆柱的，则剩下的体积是圆柱的（1－），根据圆柱的体积公式：V＝πr2h， 计算即可。 【详解】3.14×（20÷2）2×10×（1－） ＝3.14×100×10× ＝314×10× ＝3140× ≈2093.3（立方厘米） 答：剩下图形的体积是2093.3立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，明确等底等高的圆柱和圆锥的体积的关系是解题的关键。 26．（1）36分钟；（2）见详解 【分析】（1）根据圆锥的体积公式：V＝，代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后用水的体积除以水的流速，即可求出圆锥内漏完水需要的时间。 （2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。 【详解】（1）×3.14×32×6÷1.57 ＝×3.14×9×6÷1.57 ＝56.52÷1.57 ＝36（分钟） 答：圆锥内漏完水需要36分钟。 （2）根据分析得，6×＝2（厘米） 所以圆柱容器内水深2厘米。 作图如下： 【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 27．（1）等底等高 （2）（3）见详解 V＝Sh 【分析】可以动手操作，先准备等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器各1个，若干沙子。把圆锥容器装满沙子倒入圆柱容器中，正好3次装满圆柱容器。从而可得出结论：可等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的。圆柱的体积＝底面积×高＝Sh，则圆锥的体积＝底面积×高×＝Sh。 【详解】通过分析可得： （1）器材准备：等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器各一个，若干沙子。 （2）实验过程：在圆锥形容器中装满沙子，再把圆锥形容器中的沙子全部倒入圆柱形容器中，三次正好倒满圆柱形容器。 （3）实验结论：圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的。 圆锥体积公式：V＝Sh 28．（1）3倍；理由见详解 （2）150.72立方厘米 【分析】（1）图①直角三角形绕直角边旋转一周，得到的是底面半径4厘米，高是3厘米的圆锥；图形②绕长方形一条边旋转一周，得到的是底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；由此可知，圆锥和圆柱是等底等高；再根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，进行解答。 （2）求图③绕AB旋转一周，得到的图形的体积，得到的图形可通过割补法得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；根据圆柱体积公式：体积＝，代入数据，求出平行四边形绕AB边旋转一周得到图形的体积，据此解答。 【详解】（1）图①和图②旋转后得到的图形是等底等高的圆柱和圆锥，所以图②中长方形绕一条边旋转一周，得到的圆柱的体积是图①中直角三角形绕直角边旋转一周得到的圆锥的体积的3倍。因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。 （2）3.14×42×3 ＝3.14×16×3 ＝50.24×3 ＝150.72（立方厘米） 答：图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是150.72立方厘米。 29．11厘米 【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以圆柱内高为2厘米的水的体积等于圆锥内高6厘米的水的体积。把圆柱中2厘米高的水倒入圆锥中，正好把圆锥部分装满，则剩下的就是圆柱内水的高度，即厘米，由圆锥的高度圆柱内水的高度即可解决问题。 【详解】（厘米） （厘米） （厘米） 答：从圆锥的尖到液面的高是11厘米。 【点睛】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用，这里关键是找出圆柱内高6厘米的水的是指高度为2厘米的水的体积，倒入圆锥容器内正好装满。 30．3.14立方米 【分析】把一根圆柱形木料截成4段，表面积增加了6个底面，可求每个底面的面积，又知这根木料的长（高），把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式：V＝Sh，可求这个圆锥的体积。 【详解】18.84÷6＝3.14（平方米） ＝3.14（立方米） 答：这个圆锥的体积是3.14立方米。 【点睛】此题解答关键是明白：把一根圆柱形木料截成4段，表面积增加了6个底面，由此可以求出圆柱的底面积，再根据圆锥的体积公式解答即可。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $