5.3 正方形 强化训练 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

浙教版（2024）八年级下册 5.3 正方形 强化训练（参考答案） 【题型1】添加条件使四边形是正方形 【典例】如图,已知▱ABCD,从下列四个条件中选两个作为补充条件,使▱ABCD成为正方形。 ①AB=BC;②AC⊥BD;③∠ABC=90°;④AC=BD。 下列四种选法错误的是() A.①②    B.①③ C.②③    D.①④ 【答案】A 【强化训练1】如图，菱形的对角线，相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 A、由，不能判断菱形是正方形；故A不符合题意； B、四边形是菱形，， 菱形是正方形，故B符合题意； C、由不能判断菱形是正方形；故C不符合题意； D、由不能判断菱形是正方形；故D不符合题意． 故选：B． 【强化训练2】如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 A、，， ， ， 四边形是菱形， ，故不能判断菱形是正方形；故A不符合题意； B、四边形是菱形， ，， 故不能判断菱形是正方形；故B不符合题意； C、四边形是菱形， ，， ， 故不能判断菱形是正方形；故C不符合题意； D、四边形是菱形， 平行于， ， ， ， 菱形是正方形，故D符合题意． 故选：D． 【强化训练3】已知矩形，请添加一个条件：                ，使得矩形成为正方形． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 可添加： 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加： 故答案为：或（任写一个即可） 【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连结BE，CF. (1)求证：△BDF≌△CDE. (2)当ED与BC满足什么数量关系时，四边形BECF是正方形？请说明理由． 【答案】解：(1)∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD. ∵BF∥EC，∴∠DBF＝∠DCE. 又∵∠BDF＝∠CDE， ∴△BDF≌△CDE(ASA)． (2)当DE＝BC时，四边形BECF是正方形．理由如下： ∵△BDF≌△CDE， ∴BF＝CE，DF＝DE. 又∵BF∥EC， ∴四边形BECF是平行四边形． ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC， ∴▱BECF是菱形． ∵DE＝BC，DE＝DF＝EF， ∴EF＝BC， ∴菱形BECF是正方形． 【强化训练5】如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边AB上，连结DE，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，点A恰好落在边CD上的点F处，求证：四边形ADFE是正方形. . 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝90°. 由折叠得，∠DFE＝∠A＝90°，DF＝AD， ∴四边形AEFD是矩形. 又∵DF＝AD，∴矩形AEFD是正方形 【题型2】证明四边形是正方形 【典例】在四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件中,能判定这个四边形为正方形的是(　　) A.AC＝BD,AB∥CD,AB＝CD B.AD＝BC,∠BAD＝∠BCD C.AO＝CO,BO＝DO,AB＝BC D.AO＝BO＝CO＝DO,AC⊥BD 【答案】D 【强化训练1】下列判断错误的是(　　) A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【强化训练2】如图，点E，F分别在矩形的边上，且，连接，若．求证：矩形是正方形． 【答案】 证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴矩形是正方形． 【强化训练3】如图，在中，，平分，，，垂足分别为E、F．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵平分，，， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形． 【题型3】利用正方形的性质求角度 【典例】如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连结AF，CF，延长CF交AD于点E.若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为(　　) A.80°    B.75° C.70°    D.65° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBF＝∠EDF＝∠ABC＝45°. 在△ABF和△CBF中， ∵ ∴△ABF≌△CBF(SAS)， ∴∠AFB＝∠CFB. 又∵∠AFC＝140°， ∴∠CFB＝70°， ∴∠DFC＝180°－∠CFB＝110°， ∴∠DEC＝∠DFC－∠EDF＝65°. 【强化训练1】如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 四边形是正方形， ， 四边形是菱形， ， 故选：A． 【强化训练2】如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF.若∠BEC＝80°，则∠EFD的度数为(　　) A.20°    B.25° C.35°    D.40° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°. 又∵CE＝CF， ∴△BEC≌△DFC(SAS)， ∴∠DFC＝∠BEC＝80°. 易知∠CFE＝45°， ∴∠EFD＝∠DFC－∠CFE＝35°. 【强化训练3】如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连结DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F。当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是25°时,∠EFC的度数是　　　　　　。 【答案】 115°或25° 【解析】 在正方形ABCD中,∠BCD=∠CDA=90°,∠ACB=∠ACD=45°。 ∵E为正方形ABCD对角线AC上一点, ∴当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是25°时,有以下两种情况, ①当∠ADE=25°时,此时点F在线段BC上, 过点E作EM⊥CD于点M,EN⊥BC于点N,如答图1, 答图1 ∴∠EMC=∠BCD=∠ENC=90°, ∴四边形EMCN是矩形。 ∵∠ACB=45°,∠EMC=90°, ∴△EMC是等腰直角三角形, ∴EM=CM,∴矩形EMCN是正方形, ∴EM=EN,∠EMD=∠ENF=90°,∠MEN=90°。 ∵EF⊥DE,∴∠DEF=∠MEN=90°, ∴∠DEM+∠MEF=∠MEF+∠FEN, ∴∠DEM=∠FEN。 在△DEM和△FEN中, ∵ ∴△DEM≌△FEN(ASA), ∴∠EDM=∠EFN。 ∵∠ADE=25°,∠CDA=90°, ∴∠EDM=∠CDA-∠ADE=65°, ∴∠EFN=65°, ∴∠EFC=180°-∠EFN=115°; ②当∠CDE=25°时,此时点F在BC的延长线上。 过点E作EM⊥CD于点M,EN⊥BC于点N,如答图2, 答图2 同①证明△DEM≌△FEN(ASA), ∴∠CDE=∠EFC=25°。 综上所述,∠EFC的度数是115°或25°。 【强化训练4】如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE=         ． 【答案】 22.5°． 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE=45°，∠BCD=90°， ∵BE=BC， ∴∠BCE=（180°-∠BCE）=×（180°-45°）=67.5°， ∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-67.5°=22.5°． 故答案为22.5°． 【强化训练5】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，F是边AB上一点，连结DF.若BE＝AF，求∠CDF的度数. 【答案】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝∠ADC＝90°，∠BAC＝45°. 在△DAF和△ABE中， ∵ ∴△DAF≌△ABE(SAS)， ∴∠ADF＝∠BAE. ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°， ∴∠ADF＝22.5°， ∴∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝90°－22.5°＝67.5°. 【强化训练6】如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF，AG，并延长AG交EF于点H. (1)求证：∠DAG＝∠EGH. (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由. 【答案】解：(1)在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD， ∴AD∥GE，∴∠DAG＝∠EGH. (2)AH与EF垂直.理由如下： 如答图，连结GC交EF于点O. 答图 ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADG＝∠CDG＝45°. 又∵DG＝DG，AD＝CD， ∴△ADG≌△CDG(SAS)， ∴∠DAG＝∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF＝90°. 又∵GE⊥CD，GF⊥BC， ∴四边形FCEG为矩形， ∴OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE， ∴∠DAG＝∠OEC. 由(1)，得∠DAG＝∠EGH， ∴∠EGH＝∠OEC， ∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°， ∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF. 【题型4】利用正方形的性质求线段长 【典例】如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上一点，GE⊥CD，GF⊥BC，垂足分别为E，F.连结AG，EF，则下列结论中，正确的是(　　) A.AG＝BG      B.AG＝FG C.AG＝EF      D.AG＝AD 【答案】C 【解析】连结CG. 由正方形的对称性易知AG＝CG. 易证四边形GFCE是矩形， ∴CG＝EF，∴AG＝EF. 【强化训练1】如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为(　　) A.2      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】如答图所示标注字母，过点E作EG⊥FH，交FH的延长线于点G，连结EF. 答图 由七巧板和正方形的性质可知HF＝4，△DHF是等腰直角三角形， ∴易知HD＝＝2， ∴HE＝. 易知△EGH是等腰直角三角形， ∴GH＝GE＝1， ∴FG＝1＋4＝5， 在Rt△FEG中，由勾股定理，得EF＝. 【强化训练2】如图，正方形中，点E，F分别在边，上，于点G，若，，则的长为      ． 【答案】 . 【解析】 ∵正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【强化训练3】如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．已知，，则的长为      ． 【答案】 【解析】 如图，作垂直于，交的延长线于点． ， ， ． ， 即， ． ． 故答案为：． 【强化训练4】如图,P是正方形ABCD内一点,CP=CB。 (1)①若∠PCB=30°,则∠BPD=　　　　°。 ②若∠PCB=x°,则∠BPD=　　　　°。 (2)若BC=5,BP=2,求PD的长。 (3)若∠APD=90°,直接写出的值。 【答案】 (1)①135　②135 解:(1)①∵CP=CB,∠PCB=30°, ∴∠CPB=(180°-∠PCB)=75°。 ∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=CD,∠BCD=90°, ∴∠PCD=∠BCD-∠PCB=60°。 又∵CP=BC=CD,∴△PCD是等边三角形, ∴∠CPD=60°, ∴∠BPD=∠CPB+∠CPD=75°+60°=135°。 ②∵CP=CB,∠PCB=x°, ∴∠CPB=(180°-∠PCB)=90°-x°。 ∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCD=90°, ∴∠PCD=∠BCD-∠PCB=90°-x°。 又∵CP=BC=CD, ∴∠CPD=(180°-90°+x°)=45°+x°, ∴∠BPD=∠CPB+∠CPD=90°-x°+45°+x°=135°。 (2)如答图1,过点C作CH⊥PD于点H,CH的延长线交BP的延长线于点M,连结MD,BD。 答图1 ∵四边形ABCD是正方形,BC=5, ∴BC=CD=5,∠BCD=90°。 在Rt△BCD中,由勾股定理得BD==5。 ∵CP=BC=CD,∴CM是线段PD的垂直平分线, ∴MP=MD。 由(1)可知∠BPD=135°, ∴∠MPD=180°-∠BPD=45°, ∴△MPD是等腰直角三角形。 设MP=MD=x,∠PMD=90°,由勾股定理,得PD==x。 ∵BP=2,∴BM=MP+BP=x+2。 在Rt△BMD中,由勾股定理,得BM2+MD2=BD2, ∴(x+2)2+x2=(5)2, 整理,得(x+1)2=24, 解得x1=2-1,x2=-2-1<0(不合题意,舍去), ∴PD=x=×(2-1)=4-。 (3)如答图2,过点C作CE⊥PD于点E。 答图2 ∵CP=BC=CD, ∴CE是线段PD的垂直平分线, ∴ED=EP,∴DP=2ED。 ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠1+∠2=90°。 ∵∠APD=90°,CE⊥PD, ∴∠APD=∠DEC=90°, ∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3。 在△APD和△DEC中, ∵ ∴△APD≌△DEC(AAS), ∴PA=ED,∴PD=2AP, ∴=。 【题型5】利用正方形的性质求面积 【典例】小明同学为班级设计如图所示的班徽，为正方形的中心，四块全等的阴影图形均为菱形．若，，三点共线，则图中阴影面积与空白面积之比为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 连接，，，，可得正方形， ∴， ∴， 设菱形边长， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【强化训练1】如图，直线l上有三个正方形A，B，C，若B，C的面积分别为12和5，则A的面积为（    ）    A.7 B.8 C.13 D.17 【答案】A 【解析】 如图，    ∵正方形A，B，C， ∴，， ∴， ， 在和中，， ， ∴， ∴在中，， 即正方形B的面积等于正方形C的面积加上正方形A的面积， 又∵正方形B，C的面积分别为12和5， ∴正方形A的面积． 故选：A． 【强化训练2】如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为       ． 【答案】 【解析】 根据图形可以求得图中三个小正方形的边长，本题得以解决． 由题意可得， 大正方形ABCD的边长为，中间正方形边长为，小的正方形边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【强化训练3】如图,正方形ABCD的边长为13,以BC为斜边向内作Rt△BCF,∠F=90°,BF>CF,过点A作AE⊥BF于点E,连结DE。若EF=7,则△AED的面积为　　　　。 【答案】 72 【解析】 如答图,过点D作DH⊥AE于点H。 在正方形ABCD中,AB=BC=DA=13,∠ABC=∠DAB=90°。 ∵AE⊥BF,∠F=90°,∴∠AEB=∠F=90°, ∴∠BAE+∠ABE=90°。 又∵∠CBF+∠ABE=90°, ∴∠BAE=∠CBF。 在△ABE和△BCF中, ∵ ∴△ABE≌△BCF(AAS), ∴BE=CF,AE=BF, ∴设BE=CF=a,则a>0。 ∵EF=7,∴AE=BF=BE+EF=a+7。 在Rt△BCF中,由勾股定理,得BF2+CF2=BC2, ∴(a+7)2+a2=132, 整理,得a2+7a-60=0, ∴(a+12)(a-5)=0。 ∵a+12>0,∴a-5=0,解得a=5, ∴BE=CF=a=5,AE=BF=a+7=12。 ∵DH⊥AE,AE⊥BF, 同上可证△ADH≌△BAE(AAS), ∴DH=AE=12, ∴△AED的面积为AE·DH=×12×12=72。 【题型6】正方形与折叠问题 【典例】如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为2，则菱形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 连接BD，过点E 作EM⊥AB，设BD与AC交于点O， 由菱形和正方形的轴对称性，可知：E、F在BD上， ∵正方形的边长为2， ∴BO=DO=AO=CO=2÷= ， ∵折叠， ∴AE是∠BAC的平分线， 又∵EO⊥AC，EM⊥AB， ∴EO=EM， ∴，即：， ∴OE=， ∴EF=， ∴菱形的面积=××=， 故选：A． 【【难度】中档题 【关联题点】菱形的性质；角平分线的性质． 【强化训练1】如图，将正方形纸片折叠，使边均落在对角线上，得折痕，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵沿折叠后落在上，沿折叠后落在上， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴， 故选：． 【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点处，则点的坐标为（    ） A.(2，2) B.(，3) C.(2，) D.(，) 【答案】C 【解析】 过B′作B′D⊥y轴于D， ∵四边形OABC是正方形，∠CPB=60°， ∴∠BCP=30°， ∵沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点处， ∴∠B′CP=∠BCP=30°，B′C=BC =4， ∴∠OCB′=30°， ∵B′D⊥y轴， ∴B′D=B′C=2， ∴CD==， ∴OD=OC-CD=4-， ∴点B′的坐标为（2，4-）. 故选C. 【强化训练3】如图1,已知四边形纸片ABCD是正方形,将△DAE,△DCF分别沿DE,DF向内折叠得到图2,此时DA与DC重合(点A,C都落在点G处).若GF＝4,EG＝6,则DG的长为　　. 【答案】12 【解析】设正方形ABCD的边长为x. 由翻折,得DG＝DA＝DC＝x. ∵GF＝4,EG＝6, ∴AE＝EG＝6,CF＝GF＝4, ∴BE＝x－6,BF＝x－4,EF＝6＋4＝10. 在Rt△BEF中,由勾股定理, 得BE2＋BF2＝EF2, ∴(x－6)2＋(x－4)2＝102, 解得x1＝－2(不合题意,舍去),x2＝12, ∴DG＝12. 【强化训练4】如图，正方形的边长为2，点是中点，将沿翻折至，延长交边于点，则的长为      ．    【答案】 【解析】 连接，如图，   正方形的边长为2， ， 点是中点， ， 四边形是正方形， ， 由折叠可知：， 则，，， ， 在和中， ， ． ， 设，则，， 在中， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 【强化训练5】如图，在矩形ABCD中，2AB＞BC，点E和点F为边AD上两点，将矩形沿着BE和CF折叠，点A和点D恰好重合于矩形内部的点G处， （1）当AB=BC时，求∠GEF的度数； （2）若AB=，BC=2，求EF的长.    【答案】 解：（1）当AB=BC时，矩形ABCD为正方形，   由折叠得，AB=BG，CD=CG；∠EGB=∠A=90°， ∵AB=BC=CD， ∴BG=BC=GC， ∴∠BGC=60°， ∴∠ABG=30°， ∴∠AEG=150°， ∴∠GEF=30°； （2）在矩形ABCD中，AB=CD=， 由折叠得，AB=BG，CD=CG，AE=EG，DF=FG， ∴BG=GC=， 又∵BC=2， 得△BGC为等腰直角三角形，且∠GBC=45°， 与（1）同理可得∠FEG=45°，∠EFG=45°，△EGF为等腰直角三角形 ， 设EG=x，则AE=FD=x，EF=，得， （2+）x=2 ，得x=， ∴EF= . 【强化训练6】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求∠EAG的度数； （3）求BG的长． 【答案】 解：（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°， ∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°， 又∵AG＝AG， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴△ABG≌△AFG（HL）； （2）∵△ABG≌△AFG， ∴∠BAG＝∠FAG， ∴∠FAG＝∠BAF， 由折叠的性质可得：∠EAF＝∠DAE， ∴∠EAF＝∠DAF， ∴∠EAG＝∠EAF＋∠FAG＝（∠DAF＋∠BAF）＝∠DAB＝×90°＝45°； （3）∵E是CD的中点， ∴DE＝CE＝CD＝×6＝3， 设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3， ∵GE2＝CG2＋CE2 ∴（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32， 解得：x＝2， ∴BG＝2． 【题型7】中点四边形 【典例】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A.2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【强化训练1】如图,已知矩形ABCD的对角线AC的长为10 cm,连结矩形各边中点E,F,G,H得四边形EFGH,则四边形EFGH的周长为() A.10 cm    B.20 cm C.30 cm    D.40 cm 【答案】B 【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形． (2)若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积． 【答案】 解：（1）证明：连接AC． ∵点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点， ∴HG＝AC，HG∥AC，EF＝AC，EF∥AC， ∴HG＝EF，HG∥EF， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）连接BD，AC． 由（1）得：HG＝AC，HG∥AC， 同理可得：HE＝BD，HE∥BD， ∵， ∴， 又∵四边形EFGH是平行四边形， ∴平行四边形EFGH是矩形， ∵， ∴， ∴矩形EFGH的面积为12． 【强化训练3】我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做“中点四边形”．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到“中点四边形”． (1)如图，“中点四边形”的形状是       ； (2)求证：矩形的“中点四边形”是菱形．（画图，写出已知、求证和证明） 【答案】 解：（1）连接，如图， ∵E、H分别是边、的中点， ∴是的中位线 ∴，， 同理，，， ∴, , ∴“中点四边形”的形状是平行四边形． 故答案为：平行四边形． （2）如图， 已知：矩形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点     求证：四边形是菱形            证明：连接、． ∵E、F分别是边、的中点 ∴是的中位线 ∴， 同理，可得，，， ∴， ∴四边形是平行四边形      ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 【题型8】特殊四边形与线段最值问题 【典例】如图,在矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,过点M作MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,连结PQ,则PQ的最小值为() 　　 A.      B.3    C.      D. 【答案】A 【解析】 连结CM,如答图所示。 ∵MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q, ∴∠CPM=∠CQM=90°。 ∵四边形ABCD是矩形, ∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°, 又∵∠CPM=∠CQM=90°, ∴四边形PCQM是矩形, ∴PQ=CM, ∴当CM最小时,PQ最小。 ∵点M在BD上运动, ∴当CM⊥BD时,CM最小,则PQ最小。 由勾股定理,得BD===5。 ∵S△BCD=BC·CD=BD·CM, ∴此时CM===, ∴PQ的最小值为。 【强化训练1】如图,▱ABCD的面积为12,AC＝BD＝6,AC与BD相交于点O,分别过点C,D作BD,AC的平行线相交于点F,G是CD的中点,P是四边形OCFD边上的动点,则PG的最小值是(　　) A.1    B. C.    D.3 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,AC＝BD, ∴▱ABCD为矩形,∴OD＝OC. ∵DF∥AC,OD∥CF,∴四边形OCFD为菱形. ∵G是CD的中点,P是四边形OCFD边上的动点, ∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时,PG有最小值. 如答图,过点D作DM⊥AC于点M,过点G作GP⊥AC于点P,则GP∥MD. 答图 ∵矩形ABCD的面积为12,AC＝6, ∴2×AC·DM＝12,即2××6·DM＝12,解得DM＝2. ∵G为CD的中点,∴GP为△DMC的中位线, ∴GP＝DM＝1,故PG的最小值为1. 【强化训练2】如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为        ，最大值为        ． 【答案】 ；． 【解析】 根据题意，， ∴当的值最小时，的值最小； 当的值最大时，的值最大； ∴①如图所示，当时，的值最小， ∵四边形是长方形，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：； ②如图所示，当点与点（或点）重合时，线段的值最大， ∵四边形是长方形， ∴，，且， ∴， ∴， ∴的最大值为：， 故答案为：． 【强化训练3】定义:对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”。 了解性质:如图1,已知在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,则有:AB2+CD2=AD2+BC2。 性质应用:(1)如图1,四边形ABCD是“垂美四边形”,若AD=2,BC=4,CD=3,则AB=　　　　。 性质变式:(2)如图2,图3,P是矩形ABCD所在平面内任意一点,则有以下重要结论:AP2+CP2=BP2+DP2。请以图3为例将该结论证明出来。 应用变式:(3)①如图4,在矩形ABCD中,O为对角线的交点,P为BO的中点,求的值。 ②如图5,在△ABC中,CA=4,CB=6,D是△ABC内一点,且CD=2,∠ADB=90°,则AB的最小值是　　　　。 【答案】 (1)　(3)②4-2 解:(2)如答图1,过点P作MN⊥AB,交AB的延长线于点M,交DC的延长线于点N,过点P作PH⊥AD于点H,连结BH,HC,则PH⊥BC, ∴四边形BPCH是“垂美四边形”, 答图1 则BH2+CP2=BP2+CH2, ∴CP2-BP2=CH2-BH2 =(HD2+DC2)-(AH2+AB2) =HD2-AH2。 又∵由勾股定理可知PD2-PA2=(HD2+PH2)-(AH2+PH2)=HD2-AH2, ∴CP2-BP2=PD2-PA2,即AP2+CP2=BP2+DP2。 (3)①设PB=a,则PD=3a。 由(2)可得AP2+CP2=BP2+DP2, ∴AP2+CP2=a2+9a2=10a2, ∴=10。 ②如答图2,以AD,BD为边作矩形ADBE,连结CE,DE,则AB=DE。 答图2 由(2)得CD2+CE2=CA2+CB2,即22+CE2=42+62,解得CE=4。 当C,D,E三点共线时,DE最小, ∴AB的最小值=DE的最小值=CE-CD=4-2。　 【强化训练4】根据以下素材,探索完成任务。 如何确定箭头形标识牌 素材1 某科技公司计划开设高峰论坛,如图1是该论坛的标识牌,图2为其平面设计图。该标识牌是轴对称图形,由矩形EFHD和△ABC组成,且点B,F,E,C四点共线。滨滨测量了点A到DH的距离为2.7米,DH=0.8米,DE=1.5米。 素材2 因考虑牢固耐用,滨滨打算选用甲、乙两种材料分别制作矩形与三角形(两种图形无缝隙拼接),且甲材料的单价为每平方米85元,乙材料的单价为每平方米100元。 问题解决 任务1 (1)滨滨说:“如果在我设计的方案中,CB的长与C,D两点间的距离相等,那么点B到地面的距离就是线段DE的长”,他的说法对吗?请判断并说明理由。 任务2 (2)滨滨发现他所设计的方案,制作广告牌的总费用不超过180元,请你确定CE长度的最大值。 【答案】 解:(1)滨滨的说法对。理由如下: 如答图1,过点B作BG⊥CD于点G,则∠BGC=90°。 答图1 ∵四边形EFHD是矩形, ∴∠DEF=90°,∴∠BGC=∠DEC=90°。 ∵设计的方案中CB长与C,D两点间的距离相等, ∴CB=CD。 在△CBG和△CDE中, ∵ ∴△CBG≌△CDE(AAS), ∴BG=DE, 即点B到地面的距离就是线段DE的长,故滨滨的说法对。 (2)如答图2,过点A作AK⊥DH于点K,交BC于点T。 答图2 ∵标识牌是轴对称图形,四边形EFHD是矩形, ∴易知直线AK是标识牌的对称轴,EF=DH=0.8米, ∴AT⊥BC,AK⊥HD,四边形DETK是矩形,BT=CT,FT=ET, ∴TK=DE=1.5米,BT-FT=CT-ET,∴BF=CE。 设BF=CE=x米, ∴BC=BF+CE+EF=(2x+0.8)米。 ∵点A到DH的距离为2.7米, ∴AK=2.7米,∴AT=AK-TK=2.7-1.5=1.2(米), ∴△ABC的面积为BC·AT=×(2x+0.8)×1.2=(1.2x+0.48)平方米。 又∵矩形EFHD的面积为DH·DE=0.8×1.5=1.2(平方米), ∴依题意,得85×1.2+100(1.2x+0.48)≤180, 解得x≤0.25, ∴CE≤0.25(米), ∴CE长度的最大值为0.25米。 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版（2024）八年级下册 5.3 正方形 强化训练 【题型1】添加条件使四边形是正方形 【典例】如图,已知▱ABCD,从下列四个条件中选两个作为补充条件,使▱ABCD成为正方形。 ①AB=BC;②AC⊥BD;③∠ABC=90°;④AC=BD。 下列四种选法错误的是() A.①②    B.①③ C.②③    D.①④ 【强化训练1】如图，菱形的对角线，相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为（   ） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为（    ） A. B. C. D. 【强化训练3】已知矩形，请添加一个条件：                ，使得矩形成为正方形． 【强化训练4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连结BE，CF. (1)求证：△BDF≌△CDE. (2)当ED与BC满足什么数量关系时，四边形BECF是正方形？请说明理由． 【强化训练5】如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边AB上，连结DE，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，点A恰好落在边CD上的点F处，求证：四边形ADFE是正方形. . 【题型2】证明四边形是正方形 【典例】在四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件中,能判定这个四边形为正方形的是(　　) A.AC＝BD,AB∥CD,AB＝CD B.AD＝BC,∠BAD＝∠BCD C.AO＝CO,BO＝DO,AB＝BC D.AO＝BO＝CO＝DO,AC⊥BD 【强化训练1】下列判断错误的是(　　) A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【强化训练2】如图，点E，F分别在矩形的边上，且，连接，若．求证：矩形是正方形． 【强化训练3】如图，在中，，平分，，，垂足分别为E、F．求证：四边形是正方形． 【题型3】利用正方形的性质求角度 【典例】如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连结AF，CF，延长CF交AD于点E.若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为(　　) A.80°    B.75° C.70°    D.65° 【强化训练1】如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于(　　) A. B. C. D. 【强化训练2】如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF.若∠BEC＝80°，则∠EFD的度数为(　　) A.20°    B.25° C.35°    D.40° 【强化训练3】如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连结DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F。当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是25°时,∠EFC的度数是　　　　　　。 【强化训练4】如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE=         ． 【强化训练5】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，F是边AB上一点，连结DF.若BE＝AF，求∠CDF的度数. 【强化训练6】如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF，AG，并延长AG交EF于点H. (1)求证：∠DAG＝∠EGH. (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由. 【题型4】利用正方形的性质求线段长 【典例】如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上一点，GE⊥CD，GF⊥BC，垂足分别为E，F.连结AG，EF，则下列结论中，正确的是(　　) A.AG＝BG      B.AG＝FG C.AG＝EF      D.AG＝AD 【强化训练1】如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为(　　) A.2      B.      C.      D. 【强化训练2】如图，正方形中，点E，F分别在边，上，于点G，若，，则的长为      ． 【强化训练3】如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．已知，，则的长为      ． 【强化训练4】如图,P是正方形ABCD内一点,CP=CB。 (1)①若∠PCB=30°,则∠BPD=　　　　°。 ②若∠PCB=x°,则∠BPD=　　　　°。 (2)若BC=5,BP=2,求PD的长。 (3)若∠APD=90°,直接写出的值。 【题型5】利用正方形的性质求面积 【典例】小明同学为班级设计如图所示的班徽，为正方形的中心，四块全等的阴影图形均为菱形．若，，三点共线，则图中阴影面积与空白面积之比为（    ） A. B. C. D. 【强化训练1】如图，直线l上有三个正方形A，B，C，若B，C的面积分别为12和5，则A的面积为（    ）    A.7 B.8 C.13 D.17 【强化训练2】如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为       ． 【强化训练3】如图,正方形ABCD的边长为13,以BC为斜边向内作Rt△BCF,∠F=90°,BF>CF,过点A作AE⊥BF于点E,连结DE。若EF=7,则△AED的面积为　　　　。 【题型6】正方形与折叠问题 【典例】如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为2，则菱形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【强化训练1】如图，将正方形纸片折叠，使边均落在对角线上，得折痕，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点处，则点的坐标为（    ） A.(2，2) B.(，3) C.(2，) D.(，) 【强化训练3】如图1,已知四边形纸片ABCD是正方形,将△DAE,△DCF分别沿DE,DF向内折叠得到图2,此时DA与DC重合(点A,C都落在点G处).若GF＝4,EG＝6,则DG的长为　　. 【强化训练4】如图，正方形的边长为2，点是中点，将沿翻折至，延长交边于点，则的长为      ．    【强化训练5】如图，在矩形ABCD中，2AB＞BC，点E和点F为边AD上两点，将矩形沿着BE和CF折叠，点A和点D恰好重合于矩形内部的点G处， （1）当AB=BC时，求∠GEF的度数； （2）若AB=，BC=2，求EF的长.    【强化训练6】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求∠EAG的度数； （3）求BG的长． 【题型7】中点四边形 【典例】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A.2 B. C. D. 【强化训练1】如图,已知矩形ABCD的对角线AC的长为10 cm,连结矩形各边中点E,F,G,H得四边形EFGH,则四边形EFGH的周长为() A.10 cm    B.20 cm C.30 cm    D.40 cm 【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形． (2)若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积． 【强化训练3】我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做“中点四边形”．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到“中点四边形”． (1)如图，“中点四边形”的形状是       ； (2)求证：矩形的“中点四边形”是菱形．（画图，写出已知、求证和证明） 【题型8】特殊四边形与线段最值问题 【典例】如图,在矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,过点M作MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,连结PQ,则PQ的最小值为() 　　 A.      B.3    C.      D. 【强化训练1】如图,▱ABCD的面积为12,AC＝BD＝6,AC与BD相交于点O,分别过点C,D作BD,AC的平行线相交于点F,G是CD的中点,P是四边形OCFD边上的动点,则PG的最小值是(　　) A.1    B. C.    D.3 【强化训练2】如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为        ，最大值为        ． 【强化训练3】定义:对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”。 了解性质:如图1,已知在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,则有:AB2+CD2=AD2+BC2。 性质应用:(1)如图1,四边形ABCD是“垂美四边形”,若AD=2,BC=4,CD=3,则AB=　　　　。 性质变式:(2)如图2,图3,P是矩形ABCD所在平面内任意一点,则有以下重要结论:AP2+CP2=BP2+DP2。请以图3为例将该结论证明出来。 应用变式:(3)①如图4,在矩形ABCD中,O为对角线的交点,P为BO的中点,求的值。 ②如图5,在△ABC中,CA=4,CB=6,D是△ABC内一点,且CD=2,∠ADB=90°,则AB的最小值是　　　　。 【强化训练4】根据以下素材,探索完成任务。 如何确定箭头形标识牌 素材1 某科技公司计划开设高峰论坛,如图1是该论坛的标识牌,图2为其平面设计图。该标识牌是轴对称图形,由矩形EFHD和△ABC组成,且点B,F,E,C四点共线。滨滨测量了点A到DH的距离为2.7米,DH=0.8米,DE=1.5米。 素材2 因考虑牢固耐用,滨滨打算选用甲、乙两种材料分别制作矩形与三角形(两种图形无缝隙拼接),且甲材料的单价为每平方米85元,乙材料的单价为每平方米100元。 问题解决 任务1 (1)滨滨说:“如果在我设计的方案中,CB的长与C,D两点间的距离相等,那么点B到地面的距离就是线段DE的长”,他的说法对吗?请判断并说明理由。 任务2 (2)滨滨发现他所设计的方案,制作广告牌的总费用不超过180元,请你确定CE长度的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $