精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2025-2026学年高一年级下学期第一次月考数学试卷

集宁二中高一年级下学期数学第一次月考试卷 考试范围：平面向量和复数及其三角函数的图像和性质 考试时间：120分钟 命题人： 审核人：高一数学组 注意事项： 1：答题前填好自己的班级、姓名、准考证号等信息. 2：请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（客择题） 一、单选题 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将复数化为 的标准形式，再直接求解虚部即可. 【详解】因为. 而复数的虚部是指 中 的值，不含 ，所以这个复数的虚部为 . 2. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】由，， 所以. 故选：A. 3. 若三点共线,则的值为 A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三点共线得，利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题：三点共线, ， 所以，， ， 所以. 故选：B 【点睛】此题考查根据三点共线求代数式的值，关键在于熟练掌握平面向量共线的坐标表示. 4. 已知平面向量，，，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，， 所以，解得， 故选：A 5. 边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，坐标表示向量，再利用向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设， ，，， 则为 的中点，所以. 因此，， 所以. 6. 已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简复数，然后根据实部和虚部的定义求解即可. 【详解】由复数的乘法运算可知，， 因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，. 故选：B. 7. 平面向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的公式即可求解. 【详解】由在上的投影向量为， 故选：B. 8. 已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】得到，为等边三角形，，变形得到，当三点共线，即时，取得最大值，最大值为6. 【详解】因为为的外接圆圆心，， 所以， 因为，所以为等边三角形， 故， ， 当三点共线，即时，取得最大值， 最大值为. 故选：B 二、多选题 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】， A：，正确 B：，正确 C：，错误 D：，错误 10. 将函数的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的（ ） A. 周期是 B. 增区间是 C. 图象关于点对称 D. 图象关于直线对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由三角函数图像的平移变换及伸缩变换求得函数，再结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解. 【详解】解：将函数的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数， 对于选项A，函数的周期为，即A正确； 对于选项B，令，即， 即函数的增区间是，即B正确； 对于选项C，令，解得：，即函数的对称中心为，即选项C正确； 对于选项D，令，则，即函数的对称轴方程为，即选项D错误； 综上可得选项A,B,C正确， 故选：ABC. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题. 11. 在△ABC中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC一定为等腰三角形 C. 若△ABC为钝角三角形，则 D. 若，，，则△ABC有两解 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：利用大角对大边以及正弦定理边化角来判断； 对于B：将条件转化为角的直接关系来判断； 对于C：利用余弦定理来计算判断； 对于D：利用正弦定理来计算判断. 【详解】对于A：若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B：若，则或，即或，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C：若△ABC为钝角三角形，如果为钝角，则，，即，C错误； 对于D：若，，，由正弦定理得，，，故即可能是锐角也可能是钝角，故△ABC有两解，D正确. 故选：AD. 第II卷（主观题） 三、填空题 12. 已知复数，，若为纯虚数，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】计算出，根据纯虚数定义得到方程，求出答案. 【详解】， 由题意得，解得，此时，满足要求. 故答案为： 13. 已知向量，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直得，故，进而求向量的模得答案. 【详解】解：因为，，， 所以，即，解得. 所以， 所以 故答案为： 14. 如图，直角梯形中，已知，，，，动点在线段上运动，且，则的最小值是____ 【答案】4 【解析】 【分析】设，可以用表示和，从而得到与的关系，再利用均值不等式求解. 【详解】设，因为， 所以， 又，所以，，可得，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为4. 四、解答题 15. 已知向量，. （1）求； （2）设，的夹角为，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量数乘和加法的坐标运算规则，求出的坐标，再利用向量模长的坐标公式计算其模长； （2）可直接利用向量夹角的余弦公式​，先分别计算、和，再代入公式求解. 【小问1详解】 因为，. 所以，因此 所以. 【小问2详解】 因为，. 所以， ， 所以  16. 已知中，. （1）求的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可求解得解， （2）由余弦定理以及基本不等式即可求解，进而由面积公式求解. 【小问1详解】 由和正弦定理可得, 又， 故， 因此，由于，故，即， 由于，故； 【小问2详解】 由余弦定理可得, 由于，故，当且仅当时取到等号， 故面积为， 故面积的最大值为， 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且 （1）求； （2）若，且的面积为，求内切圆的半径. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用余弦定理及面积公式求出、，进而求得周长，利用求解. 【小问1详解】 由，得， 因为，，所以得，所以. 【小问2详解】 由（1），，，得， 由余弦定理得，即，所以，故， 设的内切圆半径为，则， 所以. 18. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. （1）请用、表示向量； （2）设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】（1）. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得. （2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ，. 19. 如图，某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在处发现在北偏东方向，相距的水面上的处，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，红方侦察艇立即以每小时的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，求红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要多少小时？ 【答案】2小时 【解析】 【分析】设红方侦察艇拦截住蓝方小艇需要小时，结合已知条件构造轨迹三角形，求出，再利用余弦定理构造方程求解． 【详解】设红方侦察艇经过小时后在处追上蓝方的小艇， 结合题意得，，，， 在中，利用余弦定理：， 解得：，或（舍去）， 红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要2小时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集宁二中高一年级下学期数学第一次月考试卷 考试范围：平面向量和复数及其三角函数的图像和性质 考试时间：120分钟 命题人： 审核人：高一数学组 注意事项： 1：答题前填好自己的班级、姓名、准考证号等信息. 2：请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（客择题） 一、单选题 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 3. 若三点共线,则的值为 A. 1 B. C. D. 4. 已知平面向量，，，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 6. 已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 平面向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、多选题 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 将函数的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的（ ） A. 周期是 B. 增区间是 C. 图象关于点对称 D. 图象关于直线对称 11. 在△ABC中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC一定为等腰三角形 C. 若△ABC为钝角三角形，则 D. 若，，，则△ABC有两解 第II卷（主观题） 三、填空题 12. 已知复数，，若为纯虚数，则实数________． 13. 已知向量，且，则_______. 14. 如图，直角梯形中，已知，，，，动点在线段上运动，且，则的最小值是____ 四、解答题 15. 已知向量，. （1）求； （2）设，的夹角为，求的值； 16. 已知中，. （1）求的大小； （2）若，求面积的最大值. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且 （1）求； （2）若，且的面积为，求内切圆的半径. 18. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. （1）请用、表示向量； （2）设和的夹角为，若，且，求证：. 19. 如图，某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在处发现在北偏东方向，相距的水面上的处，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，红方侦察艇立即以每小时的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，求红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要多少小时？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $