精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

集宁二中下学期第一次月考试卷 高一年级 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命卷人：闫智 审核人：数学组 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，得到，再由集合元素的互异性求解. 【详解】因为，所以， 又，所以且， 所以，所以或（舍去）， 此时满足. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念，集合中元素的互异性，属于基础题. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义需满足的条件，解不等式组，即得答案. 【详解】函数要有意义，需满足， 解得且，即函数的定义域是， 故选：D 3. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的定义及对数的运算性质，求解即可. 【详解】因为， 故选：B. 4. 已知的终边经过点，则下列不正确的是（ ） A. B. 可能等于 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得选项A正确；写出与终边相同的角可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据可得选项D正确. 【详解】由题意得，. A.，选项A正确. B.由题意得，为第四象限角，由得，可能等于，选项B正确. C.，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：C. 5. 45°角的弧度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧度数和角度之间的关系进行转化即可． 【详解】∵弧度， ∴弧度， 则弧度弧度， 故选：C． 6. 若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解. 【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是． 故选：D． 7. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于的二次函数，结合二次函数性质可得值域． 【详解】， 因为，所以．即值域为， 故选：C． 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 对于非零向量，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律以及有关概念对各个选项进行判断即可. 【详解】A. 若，则,故错误； B. 若，则，所以成立，故正确； C. 当为零向量时，满足，但是推不出，故错误； D. 若，则，可得， 整理即可得到，故正确； 故选：BD 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量是单位向量 B. 与可以作为基底 C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及向量模长的坐标运算即可判断选项A；根据基底的定义即可判断选项B；根据投影向量的定义与计算公式即可判断选项C；根据向量夹角的定义及坐标运算即可判断选项D. 【详解】对于A，，，故向量不是单位向量，选项A错误； 对于B，∵向量与是不共线的非零向量，故向量与可以作为基底，选项B正确； 对于C，在上的投影向量为，选项C正确； 对于D，由题知. ，，即与的夹角为，选项D正确； 故选：BCD. 11. 若向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】用坐标表示出向量，用模长公式求出模长即可判断A选项；用向量坐标求向量的数量积判断B选项；由向量的投影向量的公式判断C选项；由坐标求出模长和向量的数量积，求出向量的夹角判断D选项. 【详解】由题， 所以，故A错； 又，故B正确； ，所以在上的投影向量为：，故C正确； 因为，又，所以，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 已知向量与的夹角为120°，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义直接求解即可. 【详解】由，得，而向量与的夹角为120°，且， 所以. 故答案为： 13. 已知扇形的周长为，面积为，则该扇形所在圆的半径是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】设该扇形的弧长为，半径为，根据已知条件可得出关于、的方程组，即可得解. 【详解】设该扇形的弧长为，半径为， 则，解得， 所以扇形所在圆的半径为2. 故答案为：2. 14. 若为锐角，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过平方关系求出和的值，再根据两角和的余弦公式即可得解. 【详解】因为为锐角，且，所以， 所以． 故答案为：. 四、解答题（每小题13．14．15．16．17分，共5小题77分） 15. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）求在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的图象与性质计算即可求解. 【小问1详解】 设，则， 所以， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，则的图象关于直线对称. 由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 则. 因为，，所以. 故在上的值域是. 16. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）求及的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义和模长的计算求出结果即可； （2）由向量垂直时数量积为零和数量积的运算律求出结果即可. 【小问1详解】 因为，，与的夹角为， 所以， 则 ． 【小问2详解】 由，得， 即， 得， 解得． 17. 已知函数． （1）若，求函数的单调递减区间； （2）当时函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可； （2）根据正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 ， ，， 减区间为． 【小问2详解】 ，， 当时，有最小值为， 由已知，． 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据如下： 0 0 0 （1）求，，； （2）求函数在区间上的最值及取得最值时的值． 【答案】（1），， （2）当时，取得最大值2，当时，取得最小值 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可. （2）由范围求得的范围，进而可求得函数最值. 【小问1详解】 由题表可知，，解得，，. 【小问2详解】 由（1）知，， ∵，∴． 令，得，令，得， ∴当时，取得最大值为2，当时，取得最小值为. 19. 已知函数，将函数的图象上的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，最后再将得到的图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）已知，若关于x的方程在区间上恰有两个实数根，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用图象变换求出函数的解析式. （2）由（1）求出的解析式，分析函数在的性质，作出图象，借助图象求出a的范围. 【小问1详解】 将函数的图象上的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得函数的图象， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得函数的图象， 最后将得到的图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，当时，， 由，得，由，得， 因此函数在上递增，函数值从增大到，在上递减，函数值从减小到， 函数在上的图象，如图， 当时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 所以方程在区间上恰有两个实数根，实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集宁二中下学期第一次月考试卷 高一年级 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命卷人：闫智 审核人：数学组 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 计算（ ） A. B. C. D. 4. 已知的终边经过点，则下列不正确的是（ ） A. B. 可能等于 C. D. 5. 45°角的弧度数是（　　） A. B. C. D. 6. 若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 对于非零向量，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量是单位向量 B. 与可以作为基底 C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 11. 若向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 已知向量与的夹角为120°，，则______． 13. 已知扇形的周长为，面积为，则该扇形所在圆的半径是__________. 14. 若为锐角，且，则_____． 四、解答题（每小题13．14．15．16．17分，共5小题77分） 15. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）求在上的值域. 16. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）求及的值； （2）若，求的值． 17. 已知函数． （1）若，求函数的单调递减区间； （2）当时函数的最小值为2，求实数的值． 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据如下： 0 0 0 （1）求，，； （2）求函数在区间上的最值及取得最值时的值． 19. 已知函数，将函数的图象上的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，最后再将得到的图象上点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）已知，若关于x的方程在区间上恰有两个实数根，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $