精品解析：江苏淮阴中学2025-2026学年高一下学期阶段测试数学学科试题

高一年级阶段测试 数学学科试题 2026.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用复数的除法及乘法计算化简，再应用模长公式计算求解. 【详解】因为. 所以. 2. 已知向量，不共线，且，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，列出等式求解即可. 【详解】因为，则存在实数 ，使得，  整理得：，因为向量，不共线，根据平面向量基本定理，得方程组： ，解得 3. 已知向量，满足，，且，则与的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，解得， 因为，， 所以. 4. 下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，由二倍角正弦公式得，等式正确； 选项B，由正切和角公式​，且， 得 ​，等式正确； 选项C，由二倍角余弦公式， 得 ，等式错误； 选项D，由辅助角公式化简得等式正确. 5. 向量，，的模长均为1，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用求得，再将、向、转换，最终代入即可求解． 【详解】由题意可得， 又， 同理， 对 两边平方并化简可得， 由题意可得，解得， 又 ． 6. 在复平面内，已知复数和对应的向量分别是和（其中 是坐标原点，为虚数单位），向量对应的复数是，若复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的坐标表示结合复数模的几何意义计算可得. 【详解】由题意可得，则，所以，对应点. 表示复数在复平面对应的点，在以原点 为圆心、半径的圆上. 的几何意义是：圆上的点到定点的距离. 先算原点 到定点的距离， 因此的最大值为. 7. 如图，在河岸上测量河对面 ， 两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 8. 在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题设,即,也即,所以,又因,故,即;因为,故,故建立如图所示直角坐标系,则,则由题设可知,直线且,所以,即,应选C. 考点：三角变换向量的数量积公式直线的方程及基本不等式的综合运用. 【易错点晴】本题将向量的数量积公式和三角变换及基本不等式等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将,再运用已知得到,即.再将向量的数量积公式化为,从而求得,.最后通过构建平面直角坐标系求出直线且,然后运用基本不等式使得问题获解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，是三个非零向量，且，是复数，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则或 B. C. 设复数，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数运算求解判断A，C，应用向量概念判断D，应用向量数量积性质判断B. 【详解】对于A，设，， ， 则， 即， 解得或， 则或，A选项正确； 对于B：因为与共线，与共线， 因为为非零向量，所以当不共线时，不一定成立，B选项错误； 对于C：复数，则，C选项正确； 对于D：向量不能比较大小，所以错误，D选项错误； 10. 在边长为5的正方形 中，，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在上，则 B. 的取值范围为 C. 若点在上，则的最小值为 D. 若，，则在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量共线基本定理可判断A；建立平面直角坐标系，利用向量的线性坐标运算计算可判断B；根据基本不等式计算可判断C；根据投影向量计算公式及数量积运算律计算可判断D. 【详解】A，因为点在上，则三点共线，所以，故A正确； B，如图建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，设， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以，则，故B错误； C，，当且仅当时取等号， 所以当在线段上时，的最小值为，故C正确； D，， ， 则在上的投影向量为，故D错误. 11. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ，，下列与 有关的结论，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且时，满足条件的三角形有两解，则 C. 若 为锐角三角形，且，则的取值范围是 D. 若， ，则该三角形内切圆面积的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理及比例的性质判断A；由正弦定理及大边对大角，判断B；由三角形的内角和及两角和差的余弦、正弦公式化简，并利用正弦函数的单调性求得其取值范围，判断C；根据直角三角形内切圆半径的特征及辅助角公式求得内切圆半径的最大值，即可求得内切圆面积的最大值，判断D. 【详解】对于A，若，，则由正弦定理知，， 所以，所以A不正确； 对于B，若，且，且满足条件的三角形有两解，则 ， 为锐角或钝角. 由正弦定理，得. 因为，所以，所以B正确； 对于C，若 为锐角三角形，且，则， 所以 . 因为，所以，所以. 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以，即的取值范围是，所以C正确； 对于D，若， 则由正弦定理得. 因为， ， 所以，即. 因为，所以，所以， 所以. 因为，所以. 的内切圆半径为， 当时，取得最大值 ，此时的内切圆半径取得最大值， 所以该三角形内切圆面积的最大值是，所以D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，均为锐角，且，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式求出，然后结合角的范围即可求解. 【详解】由题可得， 因为，均为锐角，则，所以. 13. 如图，在平行四边形 中，，， 是边 的中点，是上靠近 的三等分点，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理和向量的数量积进行求解即可. 【详解】因为， 则因为，所以. 又，所以，化简得， 解得（负值舍去），即 . 14. 在锐角 中， ， ，分别是角 ， ， 的对边，且，则的最小值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用正弦定理对进行处理得到 ，然后根据 为锐角三角形得到，再根据诱导公式和换元法得到，最后利用基本不等式求最值即可． 【详解】对两边同乘得， 由正弦定理得， 因为，所以，因为 为锐角三角形，所以， 进一步可得，解得， 得到 ， 令，则， 所以， 由基本不等式， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为7． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，复数 （1）若为纯虚数，求满足条件的 值； （2）若对应的点位于复平面的第四象限，求满足条件的 的取值范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列式计算作答. （2）利用复数对应点的位置，列出不等式求解作答. 【小问1详解】 若复数是纯虚数，则，解得 ， 所以当 时，复数z是纯虚数. 【小问2详解】 依题意， ，解得， 所以当时，z对应的点位于复平面的第四象限. 16. （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）应用两角和差公式结合同角三角函数关系计算求解； （2）应用诱导公式及余弦二倍角公式计算求解. 【详解】（1），， 因，则， 所以 ； （2）由， 所以. 17. 在中，内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若的面积，求角 的大小． 【答案】（1）证明：由正弦定理得， 故，于是． 又，故，所以或， 因此（舍去）或，所以． （2）或. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由正弦定理得，进而得，根据三角形内角和定理即可得结论；（2）由得，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得，进而得讨论得结果. 试题解析：（1）略 （2）由得，故有，因，得．又，所以．当时，；当时，． 综上，或． 考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理. 18. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在 中，试解决以下问题： （1） 是三角形的重心（三条中线的交点），过点 作一条直线分别交于点 ． （ⅰ）记，请用表示； （ⅱ），求的最小值． （2）已知点 是 的垂心（三条高的交点），且，求． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）记 的中点为 ，根据平面向量线性运算和重心性质可得； （ⅱ）借助（ⅰ）中结论，将代入，根据三点共线可得，利用常数代换法和基本不等式可得； （2）由垂心定义可知，，据此列方程求出的关系，然后由向量夹角公式可得. 【小问1详解】 （ⅰ）记 的中点为 ，连接，则， 由重心性质可知，，所以①. （ⅱ）因为，所以， 代入①得， 因为三点共线，所以， 由题意可知，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为，所以， 由垂心定义可知，， 所以②， ③， 联立②③可得， 所以. 19. 内角 ， ， 的对边分别为 ， ，，已知． （1）求角 的大小； （2）已知点 是 所在平面内的动点，且满足，射线 与边 交于点 ，且，求 的最小值； （3） 是边 上一点，且，，求 面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和化简已知等式中的角，再通过正弦定理完成边化角，结合三角形内角的取值范围求出角的大小； （2）先根据向量表达式判断出是的角平分线，利用​得到与的关系，再结合余弦定理和基本不等式求出 的最小值； （3）根据的共线条件将用、线性表示，两边平方得到的约束关系，再结合三角形面积公式和基本不等式求出面积的最大值. 【小问1详解】  在，，故，因此， 原等式化为，由正弦定理得， 因为，，又​，代入得， 又，，故​，得​，即； 【小问2详解】  由得，说明 是的角平分线， 故为的平分线，， 由面积关系​，代入得， 化简得，由余弦定理， 由基本不等式​，得，函数在时单调递增， 当时，最小为，故 最小值为； 【小问3详解】  由，根据向量分点公式得， 所以，又，， 所以，即，面积， 由基本不等式，得，解得， 当且仅当时取等号，故​​，即面积最大值为。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级阶段测试 数学学科试题 2026.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，不共线，且，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 4 3. 已知向量，满足，，且，则与的夹角（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 向量，，的模长均为1，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在复平面内，已知复数和对应的向量分别是和（其中 是坐标原点，为虚数单位），向量对应的复数是，若复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在河岸上测量河对面 ， 两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，是三个非零向量，且，是复数，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则或 B. C. 设复数，则 D. 若，则 10. 在边长为5的正方形 中，，则下列结论正确的是（ ） A. 若点 在上，则 B. 的取值范围为 C. 若点 在上，则的最小值为 D. 若，，则在上的投影向量为 11. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为，，，下列与 有关的结论，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且时，满足条件的三角形有两解，则 C. 若 为锐角三角形，且，则的取值范围是 D. 若， ，则该三角形内切圆面积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，均为锐角，且，，则______． 13. 如图，在平行四边形 中，，， 是边 的中点，是上靠近 的三等分点，若，则______． 14. 在锐角 中，，，分别是角 ， ， 的对边，且，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，复数 （1）若为纯虚数，求满足条件的 值； （2）若对应的点位于复平面的第四象限，求满足条件的 的取值范围． 16. （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 17. 在中，内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若的面积，求角 的大小． 18. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在 中，试解决以下问题： （1） 是三角形的重心（三条中线的交点），过点 作一条直线分别交于点 ． （ⅰ）记，请用表示； （ⅱ），求的最小值． （2）已知点 是 的垂心（三条高的交点），且，求． 19. 内角 ， ， 的对边分别为，，，已知． （1）求角 的大小； （2）已知点 是 所在平面内的动点，且满足，射线 与边 交于点 ，且，求 的最小值； （3） 是边 上一点，且，，求 面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $