专题5.3 分式方程（4大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5.3分式方程 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点！分式方程的概念 知道点2分式方程的解法 知识清单 知识点3分式的增根 知识点4分式的实际应用 题型1分式方程的概念 分式方程 题型2解分式方程 题型3已知分式方程的增根求参数 题型4已知分式方程无解求参数 题型精讲 题型5根据分式方程解的情况求值 题型6列分式方程 题型7分式方程的实际应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解分式方程的概念，能区分分式方程与整式方程，知道分式方程的基本特征是分 母中含有未知数。 2.掌握解分式方程的基本步骤：去分母化为整式方程、求解、检验，能规范解简单的 教学月标 分式方程。 3.能运用分式方程解决行程、工程等实际问题，体会建模思想，理解验根的必要性， 养成严谨的运算习惯。 1.重点 (1)掌握分式方程的解法，能正确去分母将分式方程转化为整式方程，并严格进行检 验。 教学重难点 (2)能从实际问题中找出等量关系，列出分式方程，解决简单的应用问题，建立方程 模型。 2.难点 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)理解增根产生的原因，掌握验根的方法，避免遗漏检验步骤导致结果错误。 (2)在复杂实际情境中准确梳理数量关系，正确列出分式方程，并区分方程无解与增 根的不同含义。 知识清单 知识点01分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据。 【即学即练1】1.下列方程中，属于分式方程的是() A.2x+3=5 B.2-1=3 c克1=3 D.2x+y=5 2.下列方程中，哪些是分式方程() 42:④3-1 ①；②}=1，③3x+2-3: x-4x+2 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 3.有下列方程：①2x=1,②2-2=1，③2=x,④L 3x 9-:⑤1-2：@2x-3y=00 2+31 -2+3⑨35 ,其中是分式方程的是 x-2x ·（填序号) 知识点02分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的 最简公分母 (2)解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最 简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式 项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解. 【即学即练2】4.方程2。=的解是一· x+3x-1 5.解方程：2 2-1=1-x x+1 6.解方程： ①43 x x-1: (2)2x7 +2 x-2x-3 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识点03分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.由于可能产生增根，所 以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根， 【御学练3】7。若关于的分式方程一1-x+2有塔板，则m的值为（) m A.0 B.3 C.-1 D.1 8.若关于x的分式方程7 2+3=。一有增根，则的值为( 2-x A.m=-2 B.m=-7 C.m=7 D.m=2 9.如果关于x的分式方程+=2无解，那么实数m的值是 1-xx-1 知识点04分式方程的应用 (1)分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等. 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间=工作量， 工作效率，时间一市奇等， (2)列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检 验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答， 【即学即练4】10.今年8月，郑州市发布第5号总河长令，全面发力幸福河湖建设，提出深入落实河南 省建设幸福黄河三年行动.为响应这次行动，黄河岸边A,B两个村的村民开展植树造林活动，己知A村植 树64棵与B村植树56棵所用的时间相同，两个村平均每小时共植树15棵.求A村平均每小时植树多少棵？ 设A村平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是() A. 64-56 B.64=56 15-xx x15+x 6456 C.15+x x D.6456 x15-x 11.甲、乙两组学生去距离学校4.5km的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自 行车开始出发，两组学生同时到达做老院.已知步行速度是骑自行车速度的)，设步行速度为xkm/h,则 根据题意可列出方程是 12.为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人.己知一台智能采 摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花 比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天.设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花 ()用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘 千克茉莉花；一台智能采摘机器人采 摘200千克茉莉花需要 天； (②)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克. 3/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型精讲 题型01分式方程的概念 【典例1】(24-25八年级上·云南德宏期末)下列方程中是分式方程的是() B.x+y=2 C.2-3 D 【变式1】(25-26八年级上甘肃嘉峪关期末)下列方程是分式方程的有() x2导@=若@子1 ①1=1，②x=+2, 2 2 x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2】(25-26七年级上·上海普陀·期末)下列方程中，是分式方程的是() 0-2=3,②x2- 3=x;®-3_2x+1 ;④x-5=1 3 5 A.①④ B.①③ C.②③ D.①②③④ 【变式3】(23-24八年级上吉林松原期末)有下列方程：①+1二3-1，②x+1-2=5,③ 2 3 m-26 (m为不等于2的常数)，其中，属于分式方程的有 (填序号). 题型02解分式方程 【典例2】(22,23八年级下广东揭阳期末)方程31=0的解为 x+2 x 【变式1】(25-26七年级上上海奉贤期末)解方程：x+3 +1= 3 x-2 2-x 【变式2】(25-26八年级上甘肃甘南期末)解分式方程： 23x 2r-11-2x=2. 【变式3】(25-26八年级上湖南株洲期末)解下列方程： (1)1 3 x+12x+1 8 ②x-2xx-2=1. 题型03己知分式的增根求参数 【典例3】24-25八年级下福建泉州期中D关于x的分式方程2+3=，价有增根，则增根为（） 2-x A.x=7 B.x=-7 C.x=-2 D.x=2 -2xxx-2有增根，则增根一定是() 3 【变式1】(24-25八年级上河北沧州期末)若分式方程 m。4 A.x=0 B.x=2 C.x=1 D.x=0或x=2 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(24-25八年级上湖南永州期末)关于x的方程2x+1=,m +1有增根，则增根是 x-33-x 【变式3】(2526八年级上河北石家庄期末)关于x的方程3x-2=2+”有增根，则增根是 x+1 x+1 ,m= 题型04己知分式方程无解求参数 【典例4】(2526八年级上黑龙江牡丹江期末)若关于x的分式方程+5+m=0无解，则m的值是《) 1-xx-1 A.4 B.5 C.6 D.7 【变式1】(25-26八年级上江西宜春期末)若关于x的方程有3，红-)-1无解，则k的值是() x-2x-2 A.k=2 B.k=1 C.k=2或k=-1D.k=2或k=1 【变式2】②526八年级上湖北利州期未)若关于的分式方程，2二48-”g无解，则m的值是 x-4 -32-,m 【变式3】(25-26八年级上甘肃甘南期末)已知关于x的分式方程 无解，求m的值。 3-x 题型05根据分式方程解的情况求值 【典例5】25-26八年级上湖南株洲期末)已知关于的分式方程2+3 =0的解是x=4,则常数a的值 x x-a 是() A.-4 B.4 C.-10 D.10 【变式1】(2526八年级上福建福州期末)若关于x的分式方程3x=,m+1的解为正数，则m的取值 x-22-x 范围是() A.m>-2 B.m<-2 C.m>-2且m≠-6 D.m<-2且m≠-6 【变式2】(25-26八年级上江苏南道期未)若关于的分式方程若3=的解为正数，则m的取值范 1-x 围是 【变式3】(25-26八年级上湖南湘西期末)若关于x的方程。+1=+口的解为负数，则a的取值范围 x+1 x-1 是 题型06列分式方程 【典例6】(25-26九年级上·四川广元期末)某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲 友的上佳礼品.首批柑橘成熟后，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不 应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数 量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价.设购进的第一批柑橘的单价为x元，根据题意可列 5/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方程为() A. 25001500 B.1500-2500 x-4 xx+4 C. 2500_1500 D.250-1500 x-4 x xx+4 【变式1】(2024甘肃甘南中考真题)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一 份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定 时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间.设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是() 4. 8005800 B. 8005800 x-22x+1 x+22x-1 C. 8002800 D.800=5800 一X x-15x+2 x+12x-2 【变式2】(25-26八年级上·江西南昌·期末)《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，反映的是 当时苏州商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情.如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m,宽为0.6m 的长方形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等.设边衬的宽度为xm，根据题意可列方 程 【变式3】(24-25八年级下·陕西汉中.期末)随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快 速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到每周4800 件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少 件？设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为 题型07分式方程的实际应用 【典例7】(25-26八年级上·四川南充·期末)春运期间，两列火车匀速行驶.一列200m长的客运火车完全 通过一条长3800m的山体隧道和一列250m长的货运火车完全通过一座长1750m的跨河大桥所用时间恰好相 等.当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为 【变式1】(25-26八年级上·全国期末)某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为2400m的道路.为了 尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8h完成任务， 则原计划每小时修路 m. 【变式2】(25-26八年级上·四川泸州·期末)某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200 米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了30%，结果共用14天完成了任务.求引进新 设备前后工程队每天改造道路各多少米？ 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(24-25八年级上·云南德宏期末)为迎接我县景颇族月瑙纵歌节，某商家第一次用6600元购进 一批舞蹈扇，深受顾客喜爱，很快售完.第二次又以8000元购进同款舞蹈扇，第一次购进每把舞蹈扇的价 格是第二次的1.1倍，且第二次比第一次多购进200把. (1)求第二次购进每把舞蹈扇的价格； (②)商家以每把15元的价格进行销售，当第二次售出号时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于 3840元，则剩余的舞蹈扇每把售价至少要多少元？ 强化训练 一、单选题 1:②26八年级上河商洛图期末)解分式方程=1时、。去分每后变珍正确的是《) A.（x+1x-1-4=x2-1 B.（x+12-4=x2-1 C.（x+12-4=1 D.（x+1)-4(x+1)=x2-1 2.(25-26八年级上北京期末)已知关于x的分式方程3，，4-1 +24-r-2,则x的值为() A.2 B.-2 C.不存在 D.0 3.(23-24八年级上·重庆大足·期末)高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地， 乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设高铁列车 的平均速度为xkmh,依题意，下面所列方程正确的是() 4. 360360=3 360_360=3B.xx C.360360=3 360360=3 D.xx 3x x x 3x 3 3 4②526八年级上河的同口期未)若关于的分式方程二子二无解，则的位为() A.2 B.0 C.-1 D.-2 5.(25-26八年级上山东德州期未)若数a使关于x的分式方程2 ,a=3的解为正数，则a的取值范 + -11-x 围() A.a>-5且a≠-2 B.a<5且a≠2 C.a>-5 D.a<5 二、填空题 26八年级上上海浦东新期末)关于x的分式方程-2x一2+2有增根，则m 7/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(25-26八年级上江西新余·期末)某校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米 比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，少用3分钟跑完全程，设小 亮训练前的平均速度为x千米时，则根据题意可列方程为 8.(25-26八年级上广东广州期末)若关于x的分式方程-“=1的解为正数，则的取值范围为 X-3 。(25.26八年级上碳西延安期末)若关于*的分式方程，2五=和 3-x 无解，则a的值为 10.25-26八年级上湖北期末)以下结论：①若a-4,d=3,则一的值为子：②若+红+81是一 个完全平方式，则k的值为9：③若2-3x+1=0,则x+-3;④若关于x的方程2=，m无解，则m的 “x2x+1 值为4或0.其中正确的结论是（填写序号）. 三、解答题 11.(24-25八年级上甘肃临夏·期末)解方程： 01=1-x-3 x-22-x ②)x-3-1 x-1 x 12.(25-26八年级上·福建福州期末)某化工厂采用机器人A和机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人 B每小时少搬运10千克，机器人A搬运450千克所用时间与机器人B搬运500千克所用时间相等.求机器 人A,B每小时分别搬运多少千克化工原料 13.(25-26八年级上河南安阳期末)下面是婷婷同学解分式方程2x-1=,1的部分过程： x-1 11-x 解：方程两边同时乘以 ,得：2x-1=-1第一步 移项，得：2x=-1+1 第二步 合并同类项，得：2x=0 第三步 系数化为1，得：x=0 第四步 检验：当x=0时，x-1≠0. 第五步 .原方程的解为x=0. 第六步 (1)这位同学解题过程中的横线处应该填 ，解题过程错误在第 步；错误原因是 (2)请你帮她写出正确的解答过程， 14.(25-26八年级上·内蒙古赤峰期末)甲、乙二人分别用某种模具做一款机器零件，己知甲每小时比乙多 做6个，甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍. (1)求甲、乙每小时各做多少个零件？ 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)经过培训之后，甲、乙二人每小时做的机器零件个数都有所提升.乙每小时提升的个数是甲每小时提升 个数的1.5倍，甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，求培训之后甲、乙每小时分别做多少个零件？ 15.(25-26八年级上·湖南长沙期末)为了促进学生的身心健康全面发展，本学期学校的课间活动时间从 10分钟增加到15分钟，让学生身上有汗，眼里有光.体育组老师们准备购买一批足球，足球的价格主要集 中在A类和B类两种，且A类比B类的单价贵10元，己知用450元购买的A类足球数与用350元购买的B类 足球数相等，现准备同时购买A、B两类足球， (1)请问A类、B类足球单价各多少元？（用方程解决问题） (2)若准备同时购进A、B两类足球共计20个（两类足球都要买），总费用不超过720元，请问有哪些购买方 案？ 9/9 专题5.3 分式方程 教学目标 1. 理解分式方程的概念，能区分分式方程与整式方程，知道分式方程的基本特征是分母中含有未知数。 2. 掌握解分式方程的基本步骤：去分母化为整式方程、求解、检验，能规范解简单的分式方程。 3. 能运用分式方程解决行程、工程等实际问题，体会建模思想，理解验根的必要性，养成严谨的运算习惯。 教学重难点 1.重点 （1）掌握分式方程的解法，能正确去分母将分式方程转化为整式方程，并严格进行检验。 （2）能从实际问题中找出等量关系，列出分式方程，解决简单的应用问题，建立方程模型。 2.难点 （1）理解增根产生的原因，掌握验根的方法，避免遗漏检验步骤导致结果错误。 （2）在复杂实际情境中准确梳理数量关系，正确列出分式方程，并区分方程无解与增根的不同含义。 知识点01 分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 【即学即练1】1．下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 分式方程是指分母中含有未知数的方程，根据此定义判断各选项即可． 【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数， 选项A：，分母无未知数，不是分式方程； 选项B：，分母x是未知数，是分式方程； 选项C：，分母2是常数，不是分式方程； 选项D：，分母无未知数，不是分式方程． 故选：B． 2．下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：①，符合分式方程的定义，是分式方程； ②，符合分式方程的定义，是分式方程； ③，分母里不含有字母，不符合分式方程的定义，不是分式方程； ④，符合分式方程的定义，是分式方程； 故选：B． 3．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是_____．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 知识点02 分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 【即学即练2】4．方程的解是______． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 5．解方程： 【答案】 【分析】先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原分式方程的解为． 6．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）方程两边同乘最简公分母，转化为一元一次方程，然后解方程并检验即可； （）方程两边同乘最简公分母，转化为一元一次方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：； （2）解：， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 知识点03 分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 【即学即练3】7．若关于的分式方程 有增根，则的值为 （    ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】将分式方程化简为整式方程，根据方程有增根，得或，求出对应的的值，再进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以， 得， 化简得， 若方程有增根，则， 故或， 当时，代入上式得， 检验，当时，方程有增根； 当时，代入上式得， 检验当时，方程无解； 综上，的值为． 8．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴分母和为0，则增根为． 原方程两边同乘，得， 将代入上式，得， 解得． 9．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 知识点04 分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 【即学即练4】10．今年8月，郑州市发布第5号总河长令，全面发力幸福河湖建设，提出深入落实河南省建设幸福黄河三年行动．为响应这次行动，黄河岸边A，B两个村的村民开展植树造林活动，已知A村植树64棵与B村植树56棵所用的时间相同，两个村平均每小时共植树15棵．求A村平均每小时植树多少棵？设A村平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设村平均每小时植树棵，则村平均每小时植树棵，根据“A村植树64棵与B村植树56棵所用时间相同”即可列出方程． 【详解】解：设村平均每小时植树棵， ∵两个村平均每小时共植树棵， ∴村平均每小时植树棵， 又∵A村植树64棵与B村植树56棵所用时间相同， ∴村用时为，村用时为， 因此可列方程． 11．甲、乙两组学生去距离学校的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为，则根据题意可列出方程是______． 【答案】 【分析】设步行速度为，则骑自行车的速度为，然后根据时间相同建立分式方程． 【详解】解：设步行速度为，则由题意得，． 12．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； (2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 【答案】(1)； (2)50千克 【分析】（1）根据一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍可得一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；采摘200千克茉莉花需要的时间=总重量÷每天采摘量，即天； （2）根据“一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花； 采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）； （2）解：依题意，得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 智能采摘机器人平均每天采摘量：． 答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克． 题型01 分式方程的概念 【典例1】（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 【变式1】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义是分母中含有未知数的方程，据此逐一判断各方程是否符合条件． 【详解】解： ∵方程① 的分母含有未知数， ∴ ①是分式方程； ∵ 方程② 的分母是常数， ∴ ②不是分式方程； ∵ 方程③ 的分母 都是常数， ∴ ③不是分式方程； ∵ 方程④ 的分母含有未知数， ∴ ④是分式方程． ∴ 是分式方程的是①④， 故选：A． 【变式3】（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有_______（填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②是分式方程， ③（为不等于2的常数），是一元一次方程， 故答案为：②． 题型02 解分式方程 【典例2】（22-23八年级下·广东揭阳·期末）方程的解为________． 【答案】 【分析】先将原分式方程转化为整式方程，解整式方程得到未知数的值后进行检验，即可得到原方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得：， 检验：把代入，得， ∴原分式方程的解为． 【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）解方程：． 【答案】 【分析】方程两边同时乘以去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解： ， 检验：当时，， 所以是原方程的根． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】先将方程两边同乘以将方程化成整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， 将方程两边同乘以得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【变式3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键思想是去分母，把分式方程转化为整式方程，求出解后再代入最简公分母检验是否增根． （1）首先把方程两边同乘，化为一元一次方程，可得：，解一元一次方程求出的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根； （2）首先把方程两边同乘，化为整式方程，可得：，解整式方程求出的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘， 可得：，    去括号可得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解； （2）解：， 方程两边同乘， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解． 题型03 已知分式的增根求参数 【典例3】（24-25八年级下·福建泉州·期中）关于x的分式方程有增根，则增根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，根据最简公分母为零计算即可． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）若分式方程有增根，则增根一定是（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 首先解分式方程得到，然后根据增根的含义得到或，然后分别代入判断即可． 【详解】解： 去分母得， ∴ 根据题意可知：当时，方程出现增根， 或， ∴当时，，解得，符合题意； 当时，，即，不符合题意； 综上所述，增根一定是． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·期末）关于的方程有增根，则增根是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键． 先明确增根的定义，即分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，然后据此求解． 【详解】解：分式方程的分母为和，． 令分母， 解得． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 题型04 已知分式方程无解求参数 【典例4】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴将方程变形为， ∵方程两边同乘最简公分母（），得， 整理得， ∵分式方程无解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得， ∴m的值为6． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·江西宜春·期末）若关于的方程有无解，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解，关键是将分式方程化为整式方程； 分两种情况：一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分别讨论这两种情况求出的值. 【详解】解：∵原方程为， ∴方程两边同乘（）， 得， 整理得：， 当整式方程无解时： ∵时，方程无解， ∴； 当整式方程的解为原分式方程的增根时： ∵原分式方程的增根为 将代入， 得， 解得； 综上，的值为或， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）若关于的分式方程无解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的条件，熟练掌握分式方程增根的产生原因及求解方法是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解的条件（解为增根），求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原方程分母为零，是增根，此时方程无解， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 【分析】先去分母求出，再根据无解的条件求解即可 【详解】解：原方程化为， 方程两边同时乘以，得， 解方程，得， 该分式方程无解， ，即， ． 【点睛】分式无解问题重点是根据最简公分母为求解． 题型05 根据分式方程解的情况求值 【典例5】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解后检验即可得到a的值． 【详解】∵ 分式方程的解是， ∴ 将代入原方程，得 ， 整理得 ， 交叉相乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求， ∴ 的值为， 故选D． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，解一元一次不等式． 先通过去分母求解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为正数且分母不为零的条件，列不等式求参数范围． 【详解】解：， 去分母，得， 解得：； ∵分式方程的解为正数， ∴， 即， 在分式方程中，分母，， 即， 故，得出， 综上，的取值范围是且． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为且， 故答案为：且． 【变式3】（25-26八年级上·湖南湘西·期末）若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题主要考查分式方程的解、解分式方程、不等式的解法等知识点，解分式方程需要考虑分母不为零的条件是解题的关键． 先解分式方程得到，再根据解为负数列不等式，解得：，并排除使分母为零的a的值，进而确定a的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘，得： ， 展开并化简： 移项整理：，解得： ∵关于x的方程的解为负数， ∴，解得：， 又∵分母， ∴，即， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 题型06 列分式方程 【典例6】（25-26九年级上·四川广元·期末）某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品．首批柑橘成熟后，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价．设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是根据“第二批数量与第一批数量一样多”这一等量关系，结合总价、单价、数量的关系列出方程． 【详解】解：∵设第一批柑橘单价为元， ∴第一批购进的数量为箱， 又∵第二批单价比第一批便宜4元， ∴第二批单价为元，购进的数量为箱， ∵第二批数量与第一批数量一样多， ∴可列方程， 故选A． 【变式1】（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 【变式2】（25-26八年级上·江西南昌·期末）《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的长方形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为，根据题意可列方程_____． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，题目中存在的等量关系为：，据此列分式方程即可． 【详解】根据题意，可得 故答案为： 【变式3】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到每周件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据快递员人数不变建立等量关系，根据快递员人数不变，原来总投递量除以每人投递量等于现在总投递量除以每人投递量，列出分式方程． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件， ∵原来总投递量为3600件，现在总投递量为4800件，由于快递员人数不变， ∴． 故答案为：． 题型07 分式方程的实际应用 【典例7】（25-26八年级上·四川南充·期末）春运期间，两列火车匀速行驶．一列长的客运火车完全通过一条长的山体隧道和一列长的货运火车完全通过一座长的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为________ 【答案】 /米 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 根据两车完全通过各自隧道和大桥的时间相等，建立速度关系；再根据货运火车完全通过山体隧道的时间，计算同一时间内客运火车行驶的路程． 【详解】解：设客运火车速度为，货运火车速度为 ， ∴客运火车完全通过山体隧道的路程为，时间， 货运火车完全通过跨河大桥的路程为 ，时间， ∵时间相等，即， ∴， ∴， ∵， ∴原方程有意义， 当货运火车完全通过山体隧道的路程为，时间为， ∴同一时间内，客运火车行驶的路程 ， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路________. 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系并正确列出方程是关键，注意要检验；设原计划每小时修路x米，根据实际工作效率提高和提前8小时完成任务，列出关于时间的方程． 【详解】解：设原计划每小时修路x米，则实际每小时修路米． 原计划修路时间为小时，实际修路时间为小时． 由题意得：， 解得． 经检验是原分式方程的解且符合题意． 故原计划每小时修路50米． 故答案为：50． 【变式2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了，结果共用14天完成了任务．求引进新设备前后工程队每天改造道路各多少米？ 【答案】引进新设备前工程队每天改造道路50米，引进新设备后工程队每天改造道路65米． 【分析】设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路米，根据某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了，结果共用14天完成了任务，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：引进新设备前工程队每天改造道路50米，引进新设备后工程队每天改造道路65米． 【变式3】（24-25八年级上·云南德宏·期末）为迎接我县景颇族目瑙纵歌节，某商家第一次用6600元购进一批舞蹈扇，深受顾客喜爱，很快售完．第二次又以8000元购进同款舞蹈扇，第一次购进每把舞蹈扇的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200把． (1)求第二次购进每把舞蹈扇的价格； (2)商家以每把15元的价格进行销售，当第二次售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于3840元，则剩余的舞蹈扇每把售价至少要多少元？ 【答案】(1)第二次购进每把舞蹈扇的价格为10元 (2)剩余的舞蹈扇每把的售价至少为14元 【分析】（1）设第二次购进每把舞蹈扇的价格为元；那么第一次购进每把舞蹈扇的价格为元，根据“第二次比第一次多购进200把”列方程求解即可． （2）设剩余的舞蹈扇每把的售价至少为元，根据“第二次的销售利润不低于3840元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设第二次购进每把舞蹈扇的价格为元；那么第一次购进每把舞蹈扇的价格为元． 根据题意得， 两边同乘得：， ∴， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解． 答：第二次购进每把舞蹈扇的价格为10元． （2）解：设剩余的舞蹈扇每把的售价至少为元． 根据题意得， 整理得， ∴， 解得：， 答：剩余的舞蹈扇每把的售价至少为14元． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等式的性质给方程两边每一项都乘以最简公分母，注意不能漏乘项． 本题考查分式方程去分母的方法，解题关键是确定最简公分母． 【详解】解：∵ ∴该分式方程的最简公分母为， 方程两边同时乘以 得． 故选：B． 2．（25-26八年级上·北京·期末）已知关于x的分式方程，则x的值为（　　） A．2 B． C．不存在 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解，即x的值为不存在． 故选：C． 3．（23-24八年级上·重庆大足·期末）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设高铁列车的平均速度为，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用表示出普通列车的平均速度，根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用，即可列出方程． 【详解】解：由题意可得，普通列车的平均速度为， ∵乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用， ∴列方程为：． 4．（25-26八年级上·河南周口·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解的情况，把方程的增根代入去分母后的整式方程求解即可． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴两边同乘（），得， 整理得， ∵分式方程无解，且整式方程必有解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得． 故答案为：B 5．（25-26八年级上·山东德州·期末）若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】先去分母求解分式方程，再根据解为正数且分式有意义列出不等式，即可求出a的取值范围． 【详解】∵ 原方程为，将方程变形为， 两边同乘去分母得：， 整理求解得：， ∵ 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ∴ ，且， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴ 且． 二、填空题 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）关于的分式方程有增根，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分式方程有增根时，分母为零，即，代入化简后的方程求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简得． 令，得， 解得：． 故答案为：1． 7．（25-26八年级上·江西新余·期末）某校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米/时，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程． 根据比赛时间比训练前少用3分钟，即小时，利用时间关系列出分式方程即可． 【详解】解：训练前速度为千米/时，跑3千米所需时间为小时； 比赛时速度为千米/时，所需时间为小时． 由于比赛时少用3分钟，即小时， 因此有． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广东广州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为__________． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解及解一元一次不等式． 去分母把分式方程化成整式方程，解方程后得出，根据解为正数且分母不为零，得出且，解不等式即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵解为正数， ∴，即， ∴， 又∵分母， ∴， 即， ∴， 故且． 故答案为：且． 9．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为___________． 【答案】或 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解a的值：一种是整理后整式方程中x的系数为0，整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． 当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根． 分式方程的增根使最简公分母为0，即，得， 将代入，得， 解得． 综上，的值为或． 10．（25-26八年级上·湖北·期末）以下结论：①若，，则的值为；②若是一个完全平方式，则k的值为9；③若，则；④若关于x的方程无解，则m的值为4或0．其中正确的结论是_____（填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查指数运算、完全平方式、分式方程的解等知识，结论①利用同底数幂的除法法则；结论②完全平方式中常数项平方根的两倍为值；结论③通过方程变形求解；结论④分式方程无解需考虑分母为零及化简后方程无解的情况，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①由，，根据同底数幂的除法法则，，故正确； ②为完全平方式，则，解得，故错误； ③由且，两边除以得，即，故正确； ④方程交叉相乘得，整理得， ∵原分式方程无解， ∴当整理后的整式方程无解时，，解得； 当整理后的整式方程有解时，解是原分式方程的增根，原方程分母为0时，或， 将代入可得，不成立，故舍去，不符合题意； 将代入可得，解得， 综上，或，故正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题 11．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解； (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 经检验，当时， ∴原分式方程无解； （2）解：， ， ， ， ， 经检验，当时， ∴是分式方程的解． 12．（25-26八年级上·福建福州·期末）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设机器人A每小时搬运的重量为未知数，结合机器人B与A的搬运量关系表示出B的速度，再根据时间相等的条件列方程求解． 【详解】解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， ， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 则机器人B每小时搬运：（千克）． 答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克． 13．（25-26八年级上·河南安阳·期末）下面是婷婷同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以________，得：    第一步 移项，得：        第二步 合并同类项，得：        第三步 系数化为1，得：        第四步 检验：当时，．    第五步 ∴原方程的解为．        第六步 (1)这位同学解题过程中的横线处应该填________，解题过程错误在第________步；错误原因是________． (2)请你帮她写出正确的解答过程． 【答案】(1)，第一步，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程去分母的方法及解后检验的必要性是解题的关键． （1）先根据分式方程去分母的规则，确定方程两边应乘的最简公分母； 再对照每一步变形，找出错误步骤并分析原因． （2）先确定最简公分母，将分式方程化为整式方程；再按整式方程的步骤求解，最后进行检验． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以 ，得， 婷婷同学的第一步写成了 ，漏乘了常数项 与 的乘积． 故答案为：；；去分母时，漏乘了常数项“”． （2）解：， 解：方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 检验，时， 原方程的解为 14．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）甲、乙二人分别用某种模具做一款机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍． (1)求甲、乙每小时各做多少个零件？ (2)经过培训之后，甲、乙二人每小时做的机器零件个数都有所提升．乙每小时提升的个数是甲每小时提升个数的1.5倍，甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，求培训之后甲、乙每小时分别做多少个零件？ 【答案】(1)甲每小时做30个零件，乙每小时做24个零件 (2)培训之后，甲每小时做34个零件，乙每小时做30个零件 【分析】（1）设甲每小时做个零件，那么乙每小时做个零件，根据甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍，列出方程进行求解即可； （2）设培训之后甲每小时提升的个数为个，那么乙每小时提升的个数为个，根据甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲每小时做个零件，那么乙每小时做个零件，根据题意得        解得    检验：当时， 原分式方程的解为           答：甲每小时做30个零件，乙每小时做24个零件； （2）解：设培训之后甲每小时提升的个数为个，那么乙每小时提升的个数为个，根据题意得      解得      检验：当时， 原分式方程的解为       （个） （个） 答：培训之后，甲每小时做34个零件，乙每小时做30个零件． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）为了促进学生的身心健康全面发展，本学期学校的课间活动时间从10分钟增加到15分钟，让学生身上有汗，眼里有光．体育组老师们准备购买一批足球，足球的价格主要集中在类和类两种，且类比类的单价贵10元，已知用450元购买的类足球数与用350元购买的类足球数相等，现准备同时购买、两类足球． (1)请问类、类足球单价各多少元？（用方程解决问题） (2)若准备同时购进两类足球共计20个（两类足球都要买），总费用不超过720元，请问有哪些购买方案？ 【答案】(1)类足球的单价是45元，类足球的单价是35元； (2)购进类足球1个，类足球19个或购进类足球2个，类足球18个． 【分析】（1）设类足球的单价是元，则类足球的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设购进类足球个，则购进类足球个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设类足球的单价是元，则类足球的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：类足球的单价是45元，类足球的单价是35元； （2）解：设购进类足球个，则购进类足球个， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ， 有2种购买方案： ①购进类足球1个，类足球19个； ②购进类足球2个，类足球18个． 答：购进类足球1个，类足球19个或购进类足球2个，类足球18个． 2 / 37 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